「所有自然數和是負十二分之一」在數學上是沒有矛盾的嗎？

12-02

知道這個以後整個人都不好了。如果說
1+2+3+4+...=1+2+...+n（n趨於正無窮）≥（1+n）n/2（n趨於正無窮）這肯定是大於零的啊。所以到底是哪出問題了？（是不是因為如果級數是發散的那我上面的基本邏輯推理就不能用了？）

謝邀。

按照正常的級數收斂定義，1+2+..自然是發散的。所謂「所有自然數和為－1/12」，是一種不嚴謹的說法，其實也只是一個噱頭，讓這種說法聽起來更有趣一些而已；詳細解釋可以看如何廣義地理解「所有自然數之和」？。順便吐槽一下：知乎現在對重複提問真的是不管不顧了啊，這個主題的問題都快成日經題了吧。。

那個高票答案的重點可以看這兩句話：「因此 $sum_{n=1}^infty n=-frac{1}{12}$ 實際上被物理學家解讀為 $S=sum_{n=1}^infty n e^{-varepsilon n}$ 在 $varepsilon=0$ 附近的 Laurent 展開的零階項的係數。」以及「在解析延拓的意義下， $zeta(-1)=-frac{1}{12}$ 。」很遺憾，你必須要有微積分和復變的基礎知識才能看懂這兩句話。

要知道，所有正整數的「積」可以認為是(2π)^(1/2)呢！（正規積，Lerch公式）

我們對一般的有限個數的加法做過「定義」。通常，可數個數求和是按照數列前N項（有限的！）求和再令N趨於無窮所得。要知道，這裡的求和有些時候已經與我們日常生活中對於（有限）和的認識相悖了。

舉個例子，Riemann曾經證明：收斂但不絕對收斂的級數通過重新排序，所求出的新的和可以是任何數（包括∞）。可見，這裡的「和」有時只能理解成一種抽象的東西（即原數列的函數），有時不同於我們通常的（有限）和。

然而，為了某些需要，我們發明了更多其他的（無窮級數）求和法。之所以稱之為「求和法」，是因為在有限的情形下，這些方法同我們日常的加法求和所得相同，並且保持了「和」的某些性質。但是正是因為無窮的「詭異性」，導致了這些新的求和法在求無窮和時得出令人驚訝的結果，這並不那麼奇怪，把它理解成：「和」在這裡失去了原始意思即可，或者說，我們為了適應無窮級數，對原先「和」的定義作了推廣，它保持了很多有限和的性質，但有時保持不住「大小關係」了，有得必有失嘛！

通常大家所理解的求和是代數意義下的求和，也就是說只對有限次的操作定義，而代數里無限個數的求和是沒有定義的

所有自然數的和當然是正無窮，這是一個發散級數，只不過在改變求和規則的情況下它才可能是-1/12. 在不聲明求和規則的情況下討論任何發散級數的求和都是想裝B又不懂怎麼裝的人做的事情。

這個「和」不是通常求和，而且總結成「所有自然數的和」這麼簡單的描述是錯的——順序哪去了？

數學上可以是沒有矛盾的。你知道「越擴寬和的定義，就（可能）越會失去原有性質」就行。譬如條件收斂的無窮級數和不滿足交換律。

對於發散數列你可以做很多坑蒙拐騙的工作。比如你把所有n拆成n+1 - 1，然後改順序(這個地方是坑蒙拐騙的開始，因為不條件收斂是不能瞎改的，運算不交換)，於是你可以把a個正項和b(b&>a)個負項抵消起來，最後結果是0。
既然可以是0，那麼不抵消某一個常數項，就可以是任意數。所以-1/12很無聊，我還可以收斂到-pi, 1024和10086呢。
只不過有些構造很刻意能讓你學到其中玄妙，而有的構造很有誤導性而已，題中的就是後者而已。
無限和有限是不同的，可數和不可數也是不同的。人家騙你沒文化呢。。

想到我們高代老師的一句話是:
只要你承認一個錯誤，剩下的全是奇蹟。

為呂男神瘋狂打call!!!

http://www.bilibili.com/video/av3509556

加了拉馬努金的標籤……
你這是想讓他氣活吧？

某種意義下(比如Riemann Zeta函數解析延拓)所有正整數的積還等於2π的算術平方根呢

數軸在弦理論里是一個環，要求正無窮大+1等於0。
弦理論是高能物理，都是施加1個垂直於物體運動方向的無窮大的能量再觀察，所以正確的說法是一1/12+一個與係數無關的無窮大。一條弦，你視為1億個點之和還是2億個點，不會影響你施加的無窮大的能量的變化。

前幾天正好看到了這個內容，挺好玩的:
當時也去維基查了下，其實發現就是發散級數的一些東東，自己的知識水平還是有點淺了～

類似的問題還可以有很多:

只想大聲說，數學好神奇～

所謂「求和」不過是定義的一種運算，在常人認知中的求和運算中，這當然是不可能的，當然，如果你改變了求和的定義，這個結果就可能出現了。比如，在切薩羅求和的意義之下。

1+2+3+…+n+…=-1/12
這個式子其實是來源於，黎曼zeta函數ζ(z)在整個複數域C上做下解析延拓之後在點z=-1上的值是-1/12，而它在實區間(1,+∞)上的定義是ζ(s)=1/1^s+1/2^s+…+1/n^s+…，你會發現將s=-1代進右邊去正好是1+2+3+…+n+…，這個並不是zeta函數在z=-1的值，ζ(s)的式子並不能適用於zeta函數的解析式，其實就是由於1+2+3+…+n+…按照極限的定義顯然是發散的。
並且退一步說，網上各種偽證明可以做下修改使得它收斂於不同的值，而不僅僅是-1/12。
綜上所述，在ζ(-1)與1+2+3+…+n+…之間取等號是件很荒唐的事。

實數域是結果是無窮大，這是無疑的。
-1/12這個結果唯一能夠得出來的嚴謹數學方法是複數域上zeta函數的解析延拓函數在x＝（-1+0i）處的函數值。複數域的函數，再經過解析延拓結果的數學意義是什麼？肯定不是實數域的自然數之和了，肯定不能應用於日常生活，因為涉及複數。
另外，解析延拓zeta函數復偶數處函數值均為0（平凡零點），例如zeta（-2）＝0，函數是正整數的平方的和，結果是0，呵呵