二階行列式與三階行列數有著怎樣的幾何意義?

先說結論：二階行列式代表兩個向量組成的平行四邊形的有向面積，三階行列式代表三個向量組成的平行六面體（經網友 @好肥 提醒）的有向體積。

有向面積（體積）就是既有方向又有大小的面積（體積），有向面積（體積）的值可以為 。

1 二階行列式

1.1 幾何意義

二階行列式的代數式是， 。

其中 可以表示為兩個矩形的面積差，下面先假設 ：

我們把行列式的每列（每行也是可以的）抽出來，得到兩個向量， ， ：

兩個向量可以組合成一個平行四邊形：

平行四邊形的面積是等於之前的兩個矩形的面積差的，也就是：

原因也很簡單，我覺得大家動手自己拼一下也就知道了：

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1.2 有向面積

有向面積的值即 可以為 ：

1.3 相關性質

知道了二階行列式是有向面積之後，很多性質就很好理解了：

性質1： ，（乘到行上也可以，這是等價的，就不贅述了）。

這個一幅圖就可以說清楚：

性質2： 。

先看看什麼是 ：

所以：

動手感受一下：

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2 三階行列式

推導方法和二階基本一樣，這裡就不再贅述。

是時候上圖了……前陣子在圖書館看到一本日本的漫畫線性代數教材

幾何意義上面說了，我簡單說一下行列式的來源。行列式來源於與解線性方程，17世紀八九十年代，關孝和和萊布尼茲分別獨立引入行列式概念，行列式進入數學。接著麥克勞林，克萊姆發展了行列式的理論。
注意馬上就有了轉折了，法國人的亞歷山德·西奧菲勒·范德蒙德則在1771年的論著中第一個將行列式和解方程理論分離，對行列式單獨作出闡述。這是數學家們開始對行列式本身進行研究的開端。
第二個有意思的事也來了，1773年約瑟夫·拉格朗日發現了的行列式與空間中體積的聯繫。他發現：原點和空間中三個點所構成的四面體的體積，是它們的坐標所組成的行列式的六分之一。你可以認為發現了行列式在幾何中的直觀意義，它可以表示一維的長度，二維的面積，三維的體積，更高維的體積。