f(1)＝1/2，f(2x)＝2f(x)，求證f(x)＝x/2。？

f(x)是定義在(-無窮，0)∪(0，+無窮)上的奇函數。上面寫不下了，這也是條件。。。
感覺自己像是用神奇的方法證出來了，但是求大神思路，如果證明得出無法證出來的也可以。。。
弱弱的邀幾個大神
----以上是分割線----
感謝各位大神完美的解答,將我這個蒟蒻的腦洞填滿了(XvX滿足感).
應該是證不出來的,特別謝謝yang shen給出反例(%大神).
我一開始想當x取無限接近於0時可以得到一小段連續的解,再通過遞推式推廣到整個定義域...
現在看來我既沒考慮到無理數,極限的思想也是有問題的.
再次膜拜各位大神%%%

---

證明不了，條件缺太多了。

補充連續都不夠，甚至可導可微都不夠，我給你個例子吧：

滿足你的條件，也是連續函數，可導函數，但是顯然不是y=x/2

知乎的公式編輯器怎麼變了呢？我記不住語法啊...

昨天多打了個負號，更正一下...

給大家一個圖形上的直觀感覺吧（為了好看，我把三角函數內部的係數提高到了2000pi）

---

如果有

那麼可以得出有理數點處滿足

如果再補充函數是連續的話就可以推廣到實數域。

題主給的這個條件有點弱了。

---

感覺不對...
比如f(x)當x是有理數的時候是x/2，當x是無理數的時候是0。
感謝評論表示我原來猜的連續的條件還是不夠的，雖然我還沒驗證
所以此處繼續留個坑hhh

---

辣雞說一句，完全證不出來。
只需考慮x&>0的情況，x=2^n（n為整數）時符合，其餘條件下為0。。。

---

將奇函數這條換成函數在0處可導

---

在（0，+無窮）由f（2x）=2f（x）可得到

f（x）必是一條直線
（在平面坐標系中，X軸成倍增加，而Y軸也是成倍增加，所以它必不是曲線）
再根據直線，設個直線方程，代2個點求出為f（x）=x/2
再根據奇函數的對稱性。
證明在定義域內函數為f（x）=x/2
證明完畢

---

這都不是線性變換，證明個毛線。
好歹加個線性吧

---

要是x的定義域是全體正整數的話可以。。。

---

其實就是說要證fx＝xf1~~~明明只說了x＝2的成立。。。。。雖然「1」可以隨便變化然而這個其他的f「1」是不知道值的。

---

取對數以後你這個條件相當於限定了該函數是一個周期函數，周期函數加上一點處的取值顯然不能確定整個函數

---

起碼給我個單調性啊，，，
不然怎麼逼近啊，，，

---

在(1，2)上隨便定義函數，然後做延拓就能做出無數滿足條件的函數

---

我給一個證明吧。
題主你不要自說自畫的改題目了，這讓我很尷尬啊。。。
如果函數定義在整個實數上，且可導，就是正確的，你為啥要改題目。。。。。。
Assume x belongs to Rn, and f(x/2) = f(x) for every x. If f is differentiable in Rn, then f is linear.
Below is the proof.

As f is linear: f(cx) = cf(x) for every c, x. The proof is completed.
那個 @yang shen 給的函數很明顯在0處震蕩無限快，雖然我沒驗證，但很明顯是不可微的。
看懂這個需要一定的數學水平，這是我實分析課的作業，獻醜了。

---

首先聲明：我只是高中生,答案僅供參考,且不能保證真實可信.

就從考試寫選擇題來看,把這個帶進去一定沒錯,例：
f（1）=0.5，f（2x）=2f （x）x∈（-∞,+∞）,那麼f （x）是 （ ）
A f（x）=1/2x Bf（x）=1/2x 2
C f（x）=1/2 Df（x）=1/2x3
答案：A！！！！
相關拓展：1：f（x）*f（y）=f（x+y）特殊值法 係數是1的指數函數
2：f（x）+f（y）=f（x*y）
特殊值法 對數函數

如有任何意見或建議,在評論區指出,歡迎

---

推薦閱讀：