工科博士如何提高數學水平?

12-02

感謝大家閱讀我的問題！我是一個電氣工程在讀博士生，研究中用到的數學有非線性，最優化，和隨機系統。最近一直被自己捉襟見肘的數學水平困擾，盼望大家能給我些怎麼提高數學水平的建議，非常感謝！
我數學其實一直不算好，癥狀是看見繁瑣的公式和複雜的數學符號就頭大。更別提被難題虐了，直接摧毀自信心。高考也沒能去夢想的T大，去了某C9。
今年做研究因為感覺數學知識儲備不夠，我選了幾門數學課，結果還是老樣子。上課很吃力，經常看習題答案之後覺得別人怎麼這麼牛，自己怎麼可能想得到。更刺激了我想把自己一直以來很畏懼的數學學好的決心。
但是我不知道怎樣做才是正確而有效的方法。
我現在的想法是找與研究領域相關的研究生階段的書多看。但又擔憂自己的問題在於沒有良好的數學思維，基礎不紮實，看起書來還是很費勁。您有什麼建議請不吝賜教！非常感謝！

首先，我和題主一樣，本科是學工程的，但是我研究生階段轉來念數學系了，我對題主發出這樣的疑問是深有同感的，並且一點也不感到意外。
先簡單說我的情況，本科是學機械工程的，方向為機械電子工程，自己也經常向學電氣工程的一個朋友詢問她們專業的一些情況。

電氣工程雖然算個工科把，但是這個專業是比較特殊的工科專業，簡單講就是這個專業需要數學水平比較好，research才能做的比較好，否則就什麼都沒學太懂迷迷糊糊本科畢業參加工作了。本科的高數和線代那就不用說了，是基礎，另外復變也要學好，至於題主提到的讀博用到的數學，有一些最優化的東西和隨機的東西，並且為之困擾，我有一些想說的。

題主的問題是在研究過程中遇到一些數學，而自己似乎又駕馭不了這些數學，所以發了這個問。但是題主的想法也有一些問題，就是只找與研究相關的數學看，然後來做研究，這樣其實是十分危險的，可能導致數學也一知半解，並且研究做的也並不太理想。因為對數學的理解決定了你研究的level。

什麼意思呢，簡單說個事情，我本科工科學的是高等數學，我的一位高數老師(一個老者，對於數學和工程的關係有一定深入的理解)說，搞工程的人，搞到最後，大家專業水平其實都差不多，真正拼的其實是大家的數學功底，誰數學底子好，誰做出的東西就會好一些。其實想想也是這樣，許多數學不也正是從工程當中發展出來的嗎？可見數學水平決定了工程人員的level。那麼下一個問題，搞工程的人應該如何提高自身的數學水平呢？

我這個人比較極端一點，要學就學個明白痛快，所以當初一口氣就轉而念了數學系的研究生，確實也有了一些自己的體會。那麼作為題主，以及和題主一樣的搞工程的人，應該怎樣提高自身數學水平來為自己的工程研究服務呢，我有一些建議，純屬自己的想法。

那麼開始。題主既然感覺自身數學底子不是很厚，那麼找書就不能從相關的研究生階段的書開始看。題主自己也說了，基礎不紮實，看起書來還是很費勁。我的建議是，題主先自己感受一下，看本科學的高數和線代的東西自己能不能清楚在腦子裡捋出來，如果有遺忘甚至很多不懂的地方，先把高數和線代擼一邊，擼紮實，很多東西不是會做題就行了，甚至有時候，會做題不重要！比如你做的一些技巧性很強的積分題目，都是實際搞工程中遇到的，解決了，然後再編到書上給大家當習題做，這樣的題做多了你會變得非常skillful，但是對於個人數學水平，其實是沒提高的。

高數和線代打紮實了，題主就可以開始稍稍有方向性的看一些東西了。比如你說你用到一些最優化和隨機的東西，那就可以從相關的本科的書開始看起，最好利用暑假大塊的時間集中攻關，這樣感覺進步比較明顯。優化和隨機都是有本科的基礎課程的把，找幾本好教材看足矣。本科的知識打紮實了再看研究生的書，因為據我所知，越是研究生的教材，編書的人越是假定你本科的東西都知道了，所以很多地方都假設你知道然後直接順理成章寫下來，所以你看起來會比較吃虧，只能自己去把那些東西補回來咯。

另外題主說到了數學思維，其實題主需要的不是數學思維，而是工程思維。數學思維是在長期集中的數學系訓練中得到的，並且不一定對題主有好處，搞工程的人就該具備工程思維，不然反而做不好工程研究。數學思維和工程思維區別還是很大的。比如工程中產生了一個積分或者PDE什麼的東西，數學系的人也許更多感興趣這個積分或者PDE的解析表示和解析解，還要追問積分是收斂的嗎？PDE的解存在嗎？唯一嗎？有沒有通用解法？怎麼給這些積分或PDE分類？而工程師說，我只要能算出來就好了，我只要能拿計算的結果進行我後續的研究就好了。

要去辦點事了，就寫到這，希望對題主有一些幫助，祝題主能如願提高自己的數學，並且做出好的研究。謝謝

作為在機械設計方向讀研的研二學生，回想過去學習數學的經歷，感慨很多，同時又恰好碰見了樓主提的問題，索性就如何提高數學水平來跟各位交流下：
1、首先一點需要確認的是，你學好數學的最初目的是什麼？到底是為數學基礎理論的深入或者創新做出純理論的貢獻（數學家方向）？還是為了解決手頭的工程實際問題而提高數學水平（工程師方向）？抑或僅僅是因為興趣或者對數學高深思想的崇拜和追求（數學愛好者）而鑽研數學？世界那麼大，啥樣人都有，有人是玩數學，有人是把數學當做解決問題的拐杖，也有人把數學產業化應用化當做自己掙錢的工具，目的不同，學習的方向亦有很大的差別，因為數學這東西本身就博大精深，無論往哪個方向深入都足夠你折騰一輩子的，然而，你不可能面面俱到，必須得有一個學習方向和重點，然後以此為方向來學習相應的數學知識或者思維。這一點很重要，還是得想清楚。

畢竟，解決你要想學好數學背後的這個潛在需求，比你單純達到要學好數學這個大而泛的目標更能讓你停止焦慮。

根據題主的描述，學數學主要是為了提高自己做工程研究的能力，因此，不建議題主一來就花大量的時間來深入鑽研太基礎的高等數學知識，其實可以就手頭的研究項目或者課題入手，將你需要解決的工程實際問題分解成多個步驟或者板塊，然後就此來學習需要在研究中用到的數學知識和思維（此為學習數學的時間大頭。）。這樣的話效率會更高一些，不至於花大量的時間去學自己目前暫時用不到的數學知識，同時，這樣一方面能在解決實際工程問題的過程中加深你對數學的理解，另一方面也能能激發你學習數學的興趣和動力。

其實題主思想負擔不要那麼大，因為我相信一個數學再好的人在某個數學的研究領域也有不懂的地方，學習數學也沒有那麼難，以興趣作為你的發動機，以堅持為潤滑劑，經過一段時間的積累過後必有所得。

我算是跟題主一樣，現在不斷在查閱文獻，分析問題，同時，必然也在不斷學習數學，不過經過之前的科研訓練，我發現目前理解最深的、感覺已經作為身體一部分的數學思維和知識都是當初在解決實際科研問題中不斷用到的，同時，它們也是對我研究最有價值的一部分。

————今天時間有點急，所以先說到這——有時間繼續說具體怎麼把科研和學習數學結合起來——

高級專題盡量多看比較淺並且偏應用化的，比如泛函，隨機，pde，或者看一些學校開設的應用化課程的講義…，前期的的分析，高代，拓撲這些東西有時間還是多看看，最基本的數學思維還是需要的，組合要多多刷題

我想到的一個辦法是：

讀一本專業教材時先讀附錄中關於數學的部分。一般這些都不是特別難，只是在微積分的基礎上略微拔高了一點，所以我感覺是個很好的學習方法。