二维中有与皮亚诺曲线等价的现象吗？

12-02

突然看到一个很有意思的数学知识叫皮亚诺曲线，一维可以填满二维，于是想到了二维中有没有相类似的知识？二维可以填满三维的那种

记 $I=[0,1]$

$id:I o I$ 为恒等映射

如果 $f:I o I^2$ 是皮亚诺曲线， $f(a)=(f_1(a),f_2(a))$

那么 $(f imes id) (a,b)=(f_1(a),f_2(a),b)$ 给出了 $I^2 o I^3$ 的相应映射。

而 $(f imes id)circ f$ 给出了 $I o I^3$ 的相应映射。

仿此可以给出 $I^m o I^{m+n}$ 的相应映射。

实际上可以类似构造出填满整个立方体的空间连续曲线，可以参见常庚哲史济怀《数学分析教程》讲皮亚诺曲线的那部分后面给出的例子。