新千年七大數學難題的研究情況如何?

12-02

現在是否已經有解決的么？

2000年5月24日，千年數學會議在著名的法蘭西學院舉行。會上，98年費爾茲獎獲得者伽沃斯以「數學的重要性」為題作了演講，其後，塔特和阿啼亞公布介紹了七個「千年大獎問題」：NP完全問題，郝治（Hodge）猜想，龐加萊（Poincare）猜想，黎曼（Rieman）假設，楊－米爾斯（Yang-Mills）理論，納衛爾－斯托可（Navier-Stokes）方程，BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。

Poincare 已解決
其餘未果

謝邀。
因為覆蓋面太廣的緣故，試著就我了解的內容回答下吧。
首先七百萬目前發出了一百萬，應該拿到的錢的是俄國數學家佩雷爾曼，他解決了龐加萊猜想，如果細細講來的話這是一個非常有趣的撕逼故事。
對於學過拓撲的孩子來說（好吧其實我很水），不難理解龐加萊猜想的內容，可以說類似哥德巴赫猜想這種一句話定理，難度是極大的。據學拓撲的老師對我講，在拓撲界，空間越簡單，問題越難。歐式空間問題難於一般空間問題，低維空間問題難於高維空間問題。而龐加萊猜想就是這樣，首先，1960年Smale 搞定了四維以上的部分，然後66年怒砍菲獎。1983年Freedman 證明了四維的情況，然後86年怒砍菲獎。甚至為了證明龐加萊猜想而發明了新的工具的Turston也在1982年拿下了菲獎。龐加萊猜想堪稱一隻下金蛋的雞。
接下來的事情就很有趣了，我印象很深，大約在我初二那年爆出了國人證粗龐加萊猜想了！！！當時並不懂什麼是龐加萊猜想，只是覺得碉堡了！！！後來漸漸才發現，好吧真是狗血…
具體情節有興趣的同學可以自行百度，我大概總結下：
有一個叫佩雷爾曼的俄國人很屌（其實好像是性格有些問題），獨來獨往，不交流不發文章，儼然隱士，研究數學。有一天發了幾篇文章到了arxiv,然後兩撥人都看了這幾篇文章，然後都證明龐加萊猜想啦，然後就開始撕逼啦，包括丘成桐先生都捲入其中（他主導的國人那一撥），最後2006年菲獎當然無視了撕逼者發給佩雷爾曼啦，然後！！！！！這B拒領！！！！！然後！！！！！一百萬刀也拒領啦！！！！然後就沒有然後了…
P.S.據說我國某教授和佩雷爾曼是好基友，不過這就是另一個故事了…

接下來說說NS方程。關於NS方程，了解的不是那麼多，但是由於認識一些做PDE的老師和同學，或多或少也聽說過一些，總結出一個字，就是難！！！PDE方向極其的多（旁聽過一門PDE課程的第一節課，老師介紹了PDE的目前大致研究方向，目測有二十來個），經常是一個方程就是好幾個方向（正問題啊反問題啊各種XX性分析啊），但是，搞定百萬刀這件事情實在是太難了，目前為止只能打打擦邊球，據說短期內是基本上沒什麼可能解決了。
14年的時候俄媒報道過哈薩克有個數學家搞定了，第一反應卧槽哈薩克！！！尼瑪好吊好吊！！！然後又看到是個70多歲的老頭子…不管你們信不信，反正我是不信的…

黎曼猜想佔個坑…手機要沒電了（好吧我決定太監了…反正也並沒有人看…）

剩下的五個問題，NP問題好像是計算的，並不懂…米爾斯楊理論似乎偏物理，也不懂…BSD和Hodge都和代數幾何有關，還是不懂…

BSD猜想
$n=1$
有Gross-Zagier formular，後Kolyvagin對於modular elliptic curve基本解決。 2014年菲爾茲獎得主Bhargava好像基本解決Q上的elliptic curve case。
$n>1$
未知

我好想知道楊-米爾斯場論在數學家那裡是怎麼看的。

瀉藥。我們考慮下面幾種情形:
(1)題主是一個高中生及以下的數學愛好者。
建議題主閱讀《千年難題-七個懸賞1000000美元的數學》【美】基思·德夫林著沈崇聖譯。上面詳細介(ke)紹(pu)了七個大boss的歷史發展與現實意義。
(2)題主是一個數學系大學生。
建議題主查找龐加萊猜想，或前往聖彼得堡找到佩雷爾曼，他會告(gan)訴(zhou)你。
(3)題主是一名宅男，刷微信時瀏覽到數學七大猜想，頓感不明覺厲。
洗洗睡吧！

以上純屬胡扯，請知乎上廣大數學愛好者與業餘數學家們見諒^_^!