有哪些具特殊性質的數字？

12-02

例如拉馬努金的1729:
哈代有次在倫敦坐計程車去看望拉馬努金，下車時注意到車牌號是1729，當他走進拉馬努金住院的病房時，他說這是一個無聊乏味的數字，並希望這不是什麼壞兆頭。「哈代，你錯了，」拉馬努金說，「這是一個非常有趣的數字。它是能用兩種不同方式表示為兩個正立方數之和的最小的數。」

啊，我來介紹一個有趣的數字：163.

雖然163看起來人畜無害，但是……請聽題： $e^{pisqrt{163}}$ 是奇數還是偶數？

嗯？你的意思是 $e^{pisqrt{163}}$ 是個整數？？

額……我開玩笑的，這個數字顯然是個無理數。但如果我們把它的值算出來：

$e^{pisqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992dots$

小數點後有12個9，確實非常接近一個整數！

由於這個神奇的性質， $e^{pisqrt{163}}$ 被稱為『拉馬努金常數』。

（實際上這個數並不是拉馬努金第一個發現的，埃爾米特在1859年就注意到了這個神奇的數字。『拉馬努金常數』這個名字是源於數學專欄作家馬丁·加德納在愚人節那天開的玩笑，因為這實在太拉馬努金了……）

拉馬努金常數如此接近整數，是個巧合嗎？

這不是巧合，這是可以被解釋的。（我真的覺得很神奇，這樣一個現象竟然可以被解釋。）

為了說明這不是巧合，我們先來複習一下質因數分解=w=

對於每一個大於1的正整數，我們都可以把它唯一地分解為若干質數（素數）的乘積，比如：

$24=2cdot 2cdot2cdot3$ $1001=7cdot11cdot13$

正整數的唯一分解性質被稱為『算術基本定理』。

然而有時候只考慮正整數並不能讓數學家們滿意，比如解勾股方程——

高斯注意到，如果想要找 $a^2+b^2=c^2$ 的整數解，在有理數的基礎上加入一個平方等於-1的數 $mathrm{i}$ 會方便很多，因為這樣我們就可以把等式寫成 $(a+bmathrm{i})(a-bmathrm{i})=c^2$ ，等式兩邊都變成了乘法。

在有理數中加入 $mathrm{i}=sqrt{-1}$ 以後，我們的整數集合 $mathbb{Z}$ 也跟著得到了擴充，變成了『高斯整數』集合，記作 $mathbb{Z}[mathrm{i}]$ ，即所有形如 $a+bmathrm{i}$ 的數的集合（ $a,b$ 為整數）。

高斯整數與正整數一樣，也具有唯一分解性質，即每一個高斯整數都可以被唯一地被分解為『不可再分的數』的乘積。

然而唯一分解性質並不是任何時候都有的。

如果我們在有理數中加入 $sqrt{-5}$ ，相應的整數集合 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 就不具備這個性質，比如：

$6=2 cdot 3= (1+sqrt{-5})cdot(1-sqrt{-5})$

這是兩種不同的『分解為不可再分的數』方法。

那麼加入哪些數，擴充了的整數集合依然可以保持唯一分解性質呢？高斯做了如下猜想：

滿足『在有理數中加入 $sqrt{-d}$ 後，擴充的整數集合依然具有唯一分解性質』這個條件的（無平方因子的）正整數 $d$ 只有 $1,2,3,7,11,19,43,67,163.$

這就是數論領域著名的Gauss class number problem（高斯類數猜想）的一部分，該部分於1967年得到證明。

所謂『類數』，就是衡量擴充的整數集合『離唯一分解性質到底有多遠』的正整數。如果類數是1，那麼我們就可以唯一分解；類數越大，這個集合離『唯一分解性質』就越遠。

高斯還猜想：

如果加入的不是 $sqrt{-d}$ 而是 $sqrt{d}$ ，那麼可以保持整數集合的唯一分解性質的（無平方因子的）正整數 $d$ 有無窮多個。

這個猜想至今沒有得到證明（或推翻）。具體可以看：Class number problem。

$1,2,3,7,11,19,43,67,163$ 這九個數被稱為Heegner數，因為Heegner最先給出了（一個有一點點小錯的）證明。

（這個故事其實略複雜。Heegner並不是一位職業數學家，而是一位無線電工程師（感謝@靈劍），所以當他完成證明時，並沒有引起數學界的重視。後來Stark證明了這個猜想，回過頭看Heegner的證明，發現他的證明幾乎沒什麼問題，只需要做一點點小修正就好了。）

嘿，163這個數字又出現了：最後一個Heegner數。

所以拉馬努金常數的神奇性質跟這個有關？？？

為了看出到底有沒有關係，我們不妨把163換成較小的Heegner數：

$e^{pisqrt{43}}=884736743.9997dots$ $e^{pisqrt{67}}=147197952743.999998dots$

雖然沒有 $e^{pisqrt{163}}$ 那麼驚人，但是它們離整數也相當近。

這樣看來似乎就不是巧合了哎……

沒錯，拉馬努金常數的神奇性質與Heegner數直接相關。

可是，可是，可是『一個奇怪的數接近整數』跟『擴充的整數集合是否具有唯一分解性質』有什麼關係呢？這看起來八竿子打不著呀……

它們之間確實有內在的聯繫，而且『直接相關』。

===============我需要介紹一個概念===============

不知道大家是否注意到一個細節（評論里有人注意到了），我一直在說『在有理數中加入 $sqrt{-d}$ 』而不是『在整數中加入 $sqrt{-d}$ 』。這是為什麼呢？

原因就在於，擴充的整數集合里的『新整數』並不都是 $a+bsqrt{-d}$ 的形式，所以不能一概而論地寫成 $mathbb{Z}[sqrt{-d}]$ 。於是我們自然就有一個問題：

如何擴充整數集合？

接下來我要介紹一個概念：代數整數。

要想擴充整數集合，我們肯定不能隨心所欲地把任何想加的數都加進來。為了找一種合理的擴充方法，我們注意到通常所說的整數具有如下的性質：

所有的整數都是多項式 $X-a$ 的根，其中 $a$ 是一個整數。

如果你不覺得這幾乎是一句廢話，那就讓我來解釋一下這為什麼幾乎是一句廢話……

舉幾個例子：

$5$ 是一個整數，它是多項式 $X-5$ 的根，因為 $5-5=0$ .

$12$ 是一個整數，它是多項式 $X-12$ 的根，因為 $12-12=0$ .

$320$ 是一個整數，它是多項式 $X-320$ 的根，因為 $320-320=0$ .

…………

……停停停！這不是廢話嗎？整數 $a$ 當然是 $X-a$ 的根啊，所以呢？？？

理解了這為什麼是廢話就好=w= 我們來看一看整數滿足的多項式 $X-a$ 具有什麼樣的性質：

第一，這個多項式的係數都是整數。

第二，這個多項式的最高次項的係數是1（被稱為首一多項式）。

有了這兩點，我們就可以把整數的概念擴充為代數整數啦：

代數整數是整係數首一多項式的根。

既然說是『擴充』，那麼我們首先得確認一下整數都是代數整數。

（喂，快確認一下，我等三秒鐘：3……2……1……好，繼續=w=）

除了整數之外，代數整數還有很多，比如：

$mathrm{i}$ 是代數整數，它是整係數首一多項式 $X^2+1$ 的根。

$frac{1+sqrt{5}}{2}$ 是代數整數，它是整係數首一多項式 $X^2-X-1$ 的根。

$X^{811}-254X^{37}+343245X^{23}-2X^9-13$ 的根（們）也是代數整數，雖然我懶得算。

當我們在有理數中加入了 $mathrm{i}$ ，我們的數域就變成了 $K=mathbb{Q}(mathrm{i})$ ，其中的代數整數是所有形如 $a+bmathrm{i}$ 的數，這個代數整數集合記為 $mathcal{O}_K=mathbb{Z}[mathrm{i}]$ .

當我們在有理數中加入了 $sqrt{-5}$ ，我們的數域就變成了 $K=mathbb{Q}(sqrt{-5})$ ，其中的代數整數是所有形如 $a+bsqrt{-5}$ 的數，這個代數整數集合記為 $mathcal{O}_K=mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ .

但也有比較複雜的情況：

當我們在有理數中加入了 $sqrt{-7}$ ，我們的數域就變成了 $K=mathbb{Q}(sqrt{-7})$ ，其中的代數整數是所有形如 $a+bleft(frac{1+sqrt{-7}}{2} ight)$ 的數，這個代數整數集合記為 $mathcal{O}_K=mathbb{Z}left[frac{1+sqrt{-7}}{2} ight]$ .

…………

我們把每個代數整數對應的整係數首一多項式的次數稱為該代數整數的次數。

注意到，次數為1的代數整數就是整數。（這其實就是之前的那句廢話，只是換了一種說法……但這句廢話很重要！！）

===============我知道你等不及了，我也一樣===============

好的！現在我可以來說『接近整數』跟『唯一分解』到底有什麼聯繫了！

如果我們在有理數中加入了 $sqrt{-163}$ ，我們的數域就變成了 $K=mathbb{Q}(sqrt{-163})$ ，而其中的代數整數是所有形如 $a+bleft(frac{1+sqrt{-163}}{2} ight)$ 的數，這個代數整數集合記為 $mathcal{O}_K=mathbb{Z}left[frac{1+sqrt{-163}}{2} ight]$ .

我們有一個非常神奇的函數 $j$ （先不管它具體是什麼），它的定義域是上半個複平面（即虛數部分大於零的複數），記為 $mathbb{H}$ ，值域是複數域 $mathbb{C}$ .

於是我們可以求 $jleft(frac{1+sqrt{-163}}{2} ight)$ 的值，並且我們知道這將會是一個複數。

然而橢圓曲線complex multiplication（不知道怎麼翻譯）中的一個神奇的定理告訴我們：

$jleft(frac{1+sqrt{-163}}{2} ight)$ 的值是一個代數整數，次數等於 $K=mathbb{Q}(sqrt{-163})$ 的類數 $h_K$ .

還記得嗎？我們之前說過， $K=mathbb{Q}(sqrt{-163})$ 所對應的擴充的整數集合具有唯一分解性質，所以類數 $h_K=1$ ，於是 $jleft(frac{1+sqrt{-163}}{2} ight)$ 是一個次數為1的代數整數，所以這是一個整數！

除此之外， $j$ 函數還有一個獨特的性質：它是周期為1的函數，即 $j( au+1)=j( au)$ .

於是我們可以把它展開（這被稱為 $q$ 展開，與Laurent級數有關）：

$j( au)=frac{1}{q}+744+sum_{ngeq 1}{a_nq^n},$

其中 $a_n$ 都是整數（ $a_1=196884,~ a_2=21493760$ 等等）， $q=e^{2pimathrm{i} au}$ .

當 $au=frac{1+sqrt{-163}}{2}$ 時，我們有 $q=e^{2pimathrm{i} left(frac{1+mathrm{i}sqrt{163}}{2} ight)}=-e^{-pisqrt{163}}$ ，代入 $q$ 展開的等式中可以得到：

$jleft(frac{1+sqrt{-163}}{2} ight)=-e^{pisqrt{163}}+744-196884e^{-pisqrt{163}}+21493760e^{-2pisqrt{163}}-cdots$

這是一個整數。注意到等式右側除了前兩項，後面的數都很小很小。

接著，我們把右側的前兩項移到左側，得到：

$e^{pisqrt{163}}- ext{integer}=-196884e^{-pisqrt{163}}+21493760e^{-2pisqrt{163}}-cdotsapprox 0.$

所以 $e^{pisqrt{163}}$ 非常非常接近一個整數。

回顧一下，『接近整數』跟『唯一分解』的直接聯繫在於：

唯一分解意味著類數 $h_K=1$ ，而次數為 $h_K=1$ 的代數整數就是整數。

===============額，我知道上述內容信息量巨大===============

當然了，這不算是徹底的解釋。我們至少還可以問三個問題：

1. $j$ 函數是什麼？

2. $q$ 展開是什麼？

3. 『橢圓曲線complex multiplication』是什麼？

不過……這篇回答的信息量已經挺大的了，而大家所好奇的『直接聯繫』我也（大概算是）講到了。如果還有人（在理解了上述內容的情況下！）還對這三個問題特別好奇，我可以再稍微寫一點點。

也許大家會好奇（評論里也有人問）：高斯怎麼知道163是最大的一個？

確實，19, 43, 67還算離得比較近，然後突然跳到了163……出現這種情況，一般人都不會去猜測163就是最後一個Heegner number吧。至於高斯為什麼覺得是這樣，我覺得答案是：

還有一點可以說的：

類數其實是『理想類群』的元素個數。

我們可以用『理想範數』來證明理想類群是有限群（本質上其實就是抽屜原理），所以類數才是一個『正整數』。庫默爾首先證明了分圓域的情形，一般數域的情形為戴德金所證明。（感謝評論區 @無水不歡指正）隨後閔可夫斯基引入了『數的幾何』給出了理想類群大小的更好的上界。

而早在閔可夫斯基出生之前，高斯非常敏銳地發現了類數與二次型的關係，在沒有『理想類群』概念的情況下就證明了復二次域的類數是有限的。（此時應再看一眼上圖。）

那麼就這樣=w=

先說一個：561

要知道這傢伙奇妙在哪，我們先要介紹一個定理：費馬小定理。

對於任意素數 $p$ 和正整數 $a$ ，如果 $gcd(a,p)=1$ ，則有
$a^{p-1}equiv 1 mod p$

而對於合數，則未必有這樣的結果。

在密碼學中，我們經常需要判斷一個大整數 $N$ 是不是素數。如果我們挨個測試 $1sim sqrt{N}$ 的所有數，複雜度太高。這時候我們就考慮能不能用費馬小定理去判斷一個數是不是素數：任意找一個小於 $N$ 的數 $a$ ，計算 $a^{N-1} mod N$ 。如果它不等於 $1$ ，我們就可以確定它不是素數；否則它就有可能是素數。

然而即使等於 $1$ ，我們也不能確定它就是素數，比如我們判斷 341 是不是素數，取 2 進行計算，我們發現 $2^{340}equiv 1mod 341$ ，但 $341 = 11 imes 31$ .這樣我們的判斷就出現了失誤。

當然，自然而然地，我們想到使用多個不同的 a 進行判斷。比如說我們取 $a=3$ 來判斷 341 就可以判斷出其不是素數。

那麼有沒有可能存在一個合數 $C$ ，對於所有小於 $C$ 且與 $C$ 互素的正整數 $a$ ，都有 $a^{C-1}equiv1mod C$ （這樣的數叫做 Carmichael 數）？看起來似乎是不可能的，或者即使有也會非常非常大，但事實不是這樣的。最小的滿足這樣條件的數就是開頭說的 561 。

由於存在這樣的數，基於費馬小定理的素性測試是不可靠的，之後 Miller 和 Rabin 創立了 Miller-Rabin 素性測試演算法，才算基本解決了這個問題。但它依然是一個概率演算法，雖然出錯的概率很低。2004 年誕生了 AKS 素性測試演算法，這是第一個多項式時間的、確定的素性測試演算法，論文名字就叫《PRIMES is in P》，感興趣的知友可以自己搜索。

安利一個好玩的網站
Math Magic Archive
你會看到
1.

這個網址每個月會更新一個好玩的問題

然後你就會發現，前面那些有趣的式子並不是特例

每個數字都有一點有趣的性質, 這個網站What"s Special About This Number? 收集了從0到9999中大部分數字的特殊性質. 美中不足的是有些數字有遺漏, 並且缺少相關的背景知識解釋.
比如:
0 是加法單位元.
1 是乘法單位元.
2 是唯一的偶素數.
3 是我們世界的空間維度.
4 是可以給任意地圖填色所需的最少的顏色數量.
5 是正多面體的種類數.
6 是最小的完全數.
7 是不能被尺規作圖作出的正多邊形的最少邊數.
8 是斐波那契數列中最大的完全立方數.
9 是相加得到任意正整數所需的最多的完全立方數.
10 是我們使用的進位制.
11 是已知最大的乘法韌性.
12 是最小的盈數.
13 是阿基米德立體的種數.
...
此處省略幾千條

...

9999 是一個卡布列克數.
網站是英文的, 其中的超鏈接自動鏈到The Web"s Most Extensive Mathematics Resource, 如果還是有不懂的概念需要你自己去搜索或者在知乎新發一帖, 我也會盡量為你解答.

196，這個數字非常神奇。
首先我們要知道迴文數，就是正著讀反著讀都一樣的數字。比如88，123321，26562。
關於迴文數有一些有趣的性質。有人發現，似乎任何自然數，將它自身和它的倒序數相加，再將得到的和與它的倒序數相加，一直重複，最終總會得到一個迴文數。
比如12+21=33，12這個數只需要一步就能得到迴文數。
再比如265這個數
265+562=827
827+728=1555
1555+5551=7106
7106+6017=13123
13123+32131=45254
需要五步得到一個迴文數。
1186060307891929990是目前發現過的需要最多步操作得到迴文數的數，需要261步。
似乎所有的數都能通過有限步驟得到一個迴文數，但是196，這個不起眼的數除外。
之前有人已經算到了699萬步，之後更是改進了演算法得到了2.89億位的數，仍未得到迴文數。
人們試圖直接證明所有的數可以通過有限操作得到迴文數，但都失敗了。於是人們把像196這樣可能存在的永遠不能得到迴文數的數稱作利克瑞爾數(Lychrel Number)，而196，可能就是最小的利克瑞爾數。
至於196為什麼那麼神奇，還沒有人能解釋。

先來看一組數：

$1^3+5^3+3^3=153$ ， $16^3+50^3+33^3=165033$ ， $166^3+500^3+33^3=166500333$

發現規律了嗎o(^▽^)o

對於一個n位數字，我們可以把它從左到右分為三段，每段有n/3位數字，這三個數的立方和如果等於原來的數，我們就叫它魔法數（？）。

乍一看好像很神奇，但是其實證明很簡單。

注意到 $16=96/6=(10^2-4)/6, 50=(10^2)/2, 33=99/3=(10^2-1)/3.$

我們把規律寫成數學表達：

用二項式展開證明：

而且魔法數還不止這一組哦，對於其他滿足各個數位立方和等於自身的數，我們一樣可以用它推出一整組魔法數。

那麼首先就要找到其他各個數位立方和等於自身的數。

對於一個n位數，如果它各個數位上的m次方和等於自身，那麼我們叫它完全不變數。

當n=m時，叫做超完全不變數，又叫水仙花數還有自戀數（魔法數是我亂取的，自戀數是維基百科上面寫的哈哈哈）。我們要尋找的是n=3的情況。

哈代證明了只存在4個三位的水仙花數，153，371，370，407.

從371可以得到336701，333667001，……

從370和407可以得到什麼呢，留給大家自己試吧，要利用和 $10^n$ 的關係哦嘻嘻?(′ε｀ )

（其實370可以不用看了……）

521

好吧，這個是我高中保送無聊時在人人網寫的，可以用來表白的數學題目。大概是高考數學、自主招生難度，當時閑的無聊自己編的題目。

設p是素數, $sqrt p$ 的小數部分為x， $frac{1}{x}$ 的小數部分為 $frac{sqrt p-15}{37}$ 。求所有滿足條件的p的值。

答案當然就是521了，高中的朋友可以用這個給喜歡的妹子表白啦！（雖然聽起來很書獃子，但是至少表白被拒了不尷尬是吧）

不知道有沒有人看，解題過程就懶得寫了感興趣的可以評論找我要，總之不難。

（FBI Warning：下面是證明過程，想自己先試試的別往下滑。。）

－－－－補充一下證明過程。 $lfloor{x} floor$ 表示不超過x的最大整數。

$0leq(sqrt p-15)/37<1$ ,得到 $225leq p<2704$ 。

根據已知條件有

（1） $sqrt p-lfloorsqrt p floor=x$

（2） $frac{1}{x}-lfloorfrac{1}{x} floor=frac{sqrt p-15}{37}$

設 $k^2<P> ，將（1）代入（2），注意到 <img src=$ , 有

$frac{1}{sqrt p-k}-lfloorfrac{1}{sqrt p-k} floor=frac{sqrt p-15}{37}$ 。稍微分母有理化一下，

（3） $(37-p+k^2)sqrt p+(37k+15p-15k^2)=37(p-k^2)lfloorfrac{sqrt p+k}{p-k^2} floor$

（3）的右邊是整數，所以左邊也是整數。於是

$p=37+k^2$ 。再代入回（3），有

$frac{15+k}{37}=lfloor(sqrt p+k)/37 floor$ 。還是老套路，左邊得是整數，15+k是37的倍數。

最開始的 $225leq p<2704$ ，得到 $k^2+37<2704$ ，於是 $k<52$ 。

回到那個15+k是37的倍數上。

如果 $15+k=37$ ，得到 $k=22$ ；

如果 $15+kgeq2 imes37$ ，有 $kgeq59$ ，與 $k<52$ 矛盾。

於是k=22，代入到 $p=37+k^2$ ，得到p為521

－－－－－再補充

題目應該把37或者15稍微改大一些，讓k=59也進入解中，再用素數的條件捨去這個解。。

現在的題目我們只用到p不是完全平方數，素數條件有一點略顯多餘。感謝 @白致遠的提醒。

再搬一下這個回答，對稱之美。

（或者說，√2^√2^√2 = 2。

當然是2017啊...
2017就是個很奇妙的數啊。

2017是個「順子數」。
2017=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
+987+654+321。

不僅，2017=12^3+4*56+7*8+9。
而且，2017+29=2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7
+2^8+2^9+2^10。
祝大家雞年一帆風順，事事順利哦！(⊙o⊙)

2017也是個「番子數」。
2017=7^3+7^3+11^3。
祝大家在2017年的努力會事半功倍，得到立方的回報，財富呈現立方增長，財源滾滾！(⊙o⊙)。

另外，2017可以整除（2016！+1）。(威爾遜定理)
還有，對於1＜a＜2017，2017也可以整除(a^2016-1)。(費馬小定理)
祝大家新年除舊歲，迎新春！

最後，祝大家新年快樂！幸福健康，平安快樂，事業如意，學業進步，事事順利！

Update1：不管2017這個數字是否有特殊性質，或者有什麼用途，2017還是個較為奇妙的數字，不是嗎？2017其實不就是一個prime number嗎？是啊...逃了逃了..

Update2：昨晚偶然看到了一個外國人的blog，更為之折服，我是想不出來......
可能需要梯子才能進去：
https://t.co/ocQ3zQuEqE

2017π (rounds to nearest integer) is a prime.
2017e (rounds to nearest integer ) is a prime.
The sum of all odd primes up to 2017 is a prime number, i.e. 3+5+7+11+...+2017 is a prime number.
The sum of the cube of gap of primes up to 2017 is a prime number. That is (3-2)^3 + (5-3)^3 + (7-5)^3 + (11-7)^3 + ... + (2017-2011)^3 is a prime number.
The prime number before 2017 is 2017+(2-0-1-7), which makes it a sexy prime, and the prime after 2017 is 2017+(2+0+1+7). 2017 itself is of course equal to 2017+(2*0*1*7)
Insert 7 into any two digits of 2017, it is still a prime number, i.e. 27017, 20717, 20177 are all primes. Plus, 20177 is also a prime number
Since all digits of 2017 is less than 8, it can be viewed as an octal. 2017 is still a prime number as an octal.
2017 can be written as a sum of three cubes of primes, i,e, p^3 +q^3 +r^3 for some primes p, q, r.
2017 can be written as a sum of cubes of five distinct integers.
2017 can be written as x^2+y^2, x^2+2y^2, x^2+3y^2, x^2+4y^2 x^2+6y^2, x^2+7y^2, x^2+8y^2, x^2+9y^2 (for positive integers x, y)
20170123456789 is also a prime
the 2017th prime number is 17539 and 201717539 is also a prime.
Let p=2017, then both (p+1)/2 and (p+2)/3 are prime numbers.
The first ten digits of the decimal expansion of the cubic root of 2017 contains all different digits 0~9. 2017 is the least integer has this property.
2017 = 2^11 - 11th prime

生活處處數學美啊....

定理：每一個自然數都是「特殊的」。

證明：0是最小的自然數，顯然是特殊的。
假設，所有小於或等於n的自然數都是特殊的。
我們現在考慮n+1這個數。如果n+1不是特殊的，那麼n+1是最小的「不特殊的」自然數。這樣一來，n+1也是特殊的。這與前述假設矛盾。因此，n+1也是特殊的。
根據數學歸納法，所有的自然數都是特殊的。
證畢

（手動滑稽）

495和6174的「數字黑洞」現象。

說明：
只要你輸入一個三位數，要求個，十，百位數字不相同。那麼你把這個三位數的三個數字按大小重新排列，得出最大數和最小數，兩者相減得到一個新數，再按照上述方式重新排列，再相減，最後總會得到495這個數字。
任取一個四位數，只要四個數字不全相同，按數字遞減順序排列，構成最大數作為被減數；按數字遞增順序排列，構成最小數作為減數，其差就會得6174；如不是6174，則按上述方法再作減法，至多不過7步就必然得到6174。（這一數字首先由印度數學家Kaprekar發現，又稱Kaprekar constant）

解釋說明部分來源於百度和維基。

你們聽過「親和數」嗎？220和284就是其中一對。

那個時候和前男友在一起。有一天他送給了我一個鑰匙扣，上面刻了220這個數字，他的那個上面則刻了284。我問他什麼意思，他沒有說，我也沒追問下去。

直到很久之後，我讀到一篇介紹親和數的文章才知道：
如果兩個數a和b，a的所有除本身以外的因數之和等於b,b的所有除本身以外的因數之和等於a,則稱a,b是一對親和數。

兩者表面看起來各不相同、毫不相關，然而彼此卻是互相構成的所有。——大概這就是親和數所代表的含義，也是前男友想跟我表達的情意吧。
可惜當時不懂，最後也還是變成了前男友。

73。

第21個素數。

第8對孿生素數，71和73。

第8個幸運素數，也就是既是素數也是幸運數。

第3個星形素數。

反素數，也就是73和37都是素數，同時，73是第21個素數，而37是第12個素數。

二進位表示為1001001，八進位表示為111。

7和3乘積是21，3二進位為11，7二進位為111，21二進位為10101，73為1001001。

73八進位為111，是八進位中唯一一個素數repunit，也就是都是1的數。

如果p屬於前10萬個素數，那麼73是最大的primitive root mod p。

任何正整數可以寫成不超過73個六次冪的和，也就是g(6)=73。

142857×1=142857
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142

076923×1=076923
076923×3=230769
076923×4=307692
076923×9=692307
076923×10=769230
076923×12=923076

076923×2=153846
076923×5=384615
076923×6=461538
076923×7=538461
076923×8=615384
076923×11=846153

12345679×1=12345679
12345679×2=24691358
12345679×4=49382716
12345679×5=61728395
12345679×7=86419753
12345679×8=98765432

12345679隨便乘以一個80以內的不是3的倍數的正整數所得的數字，每位數字都不重複，並且缺一個數，那一個數就是9減去這個數字除以九的餘數。
比如12345679×79=975308641
79除以九餘七，缺二。
12345679×65=802469135
65除以九餘二，缺七。

123456789×2=246913578
123456789×4=493827156
123456789×5=617283945
123456789×7=864197523
123456789×8=987654312(逼死強迫症)
123456789乘以一個80以內的不是3的倍數的兩位數所得的數字，恰好遍布0到9的10個數字，比如123456789×34=4197530826

第一個想到的數必然是1729

這也是數學史上的一段趣聞。

相傳，在印度天才數學家拉馬努金「晚年」的時候身體欠恙，住在醫院。（拉馬努金一共也不過活了33歲，所以那時也相當年輕。）身為好友的英國數學家哈代前去醫院看望他。

數學家的對話，三句不離老本行。
哈代給拉馬努金說：今天真是無聊透頂的一天，就連我坐的計程車的車牌也無聊透頂，是1729，一點特殊的性質都沒有。

拉馬努金不假思索答道：不不不，並非如此，1729是我見過最有意思的數了，它是第一個有兩種不同的兩個數立方和表示的數。

wait a minute！是不是有點繞？慢慢來，什麼叫「兩種不同的兩個數立方和表示的數」？

看下面這個你就明白了：

1729＝13+123＝93+103

哈代當時就被拉馬努金征服了（誤）

不得不說，拉馬努金這種不世出的數學天才，對數字的洞察力太恐怖

-------------------昏割線---------------------
啊沒看問題描述，真是愚蠢。。

那來第二個，259，看起來沒什麼特別誒。

但是我們也來拆一拆：
259＝2^8＋3＝2^4＋3^5，可以寫成兩種不同的2的次冪和3的次冪的和。
當然不止這一個，還有
5＝22＋3^0＝2＋3
11＝23＋3＝2＋32
17＝2^4＋3^0＝23＋32
35＝2^5＋3＝23＋33
那麼，除了5，11，17，35，259以外，還有沒有別的數呢？
大家可以試試找一找。

2+2=2×2=2^2=4，
4-2=4÷2=√4=2。

19260817

【自然對數的底：e=2.71828...】

exp(πi)=-1
這是歐拉發現的一個著名的等式。
一般形式是exp(iθ)=cos(θ)+i·sin(θ)。
上帝欽點的兩個無理數——e和pi，被完美統一在同一個數量關係中。
e和π甚至出現在廣義相對論、薛定諤方程、玻爾茲曼分布、傅里葉變換、複利計算、高考壓軸題等方方面面之中。

不知道有多少人在高中時代注意到人民教育出版社高中數學必修一中關於納皮爾發明對數的那篇文章，裡面不經任何解釋就強行出現了e，令人費解。
後來學過運動學和微積分之後，回頭再看，儘管明白了e是如何得到的，卻不明白為什麼是e。

exp等於exp的變化率，等於自身變化率的變化率，等於自身變化率的…變化率……指數函數是唯一的對於一元函數微分運算元的不動點——蘊含著深刻的關於遞歸和無窮的哲學道理。

震驚、震撼。

這個公式是上帝寫的么？歐拉是歷史上最多產的數學家，也是各領域（包含數學的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫藥等）最多著作的學者。數學史上稱十八世紀為「歐拉時代」。歐拉出生於瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力。他一生謙遜，很少用自己的名字給他發現的東西命名。不過還是命名了一個最重要的一個常數——e。

關於e，以前有一個笑話說：在一家精神病院里，有個病患整天對著別人說，「我微分你、我微分你。」也不知為什麼，這些病患都有一點簡單的微積分概念，總以為有一天自己會像一般多項式函數般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了一個不為所動的人，他很意外，而這個人淡淡地對他說，「我是e的x次方。」

這個公式的巧妙之處在於，它沒有任何多餘的內容，將數學中最基本的e、i、pi放在了同一個式子中，同時加入了數學也是哲學中最重要的0和1，再以簡單的加號相連。高斯曾經說：「一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家。」

還有斐波那契數列的那個神秘常數，所謂的黃金分割比：
(1±√5)/2
也蠻有趣的。

【計算機科學領域】

一般來說，程序代碼中最好不要出現字面值常量，尤其是意義不明的常量，被稱為「魔幻數字」，嚴重影響程序的可讀性。

最經典的 magic number 大概是這個了吧：0x5f3759df
應用於平方根倒數快速演算法，這個演算法是用來對曲面法向量進行歸一化的。詳情請參考維基百科的介紹：
Fast inverse square root
演算法之精妙，令人拍案叫絕。

【抖個機靈】
3。
這個數字和長壽有很大的關係。

後記：本人非數學專業科班出身，如果有表達上或者道理上的謬誤，敬請不吝賜教，謝謝！

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