數學解題時怎樣辨別思路是否正確可行？

12-02

在逐步確立一種思路時，可能會遇到困難與瓶頸，這個時候怎麼辨別是【思路正確但是沒有用足條件或其他原因導致的阻塞】還是【這種思路不可行】？解題時如何界定何時該放棄另尋他路。

Before you generalize, formalize, and axiomatize, there must
be mathematical substance. -----------H. Weyl

找一個最最簡單的例子，演算一下你的思路是不是正確，看一看需要增加什麼條件。如果你的思路work，那麼找一個複雜一點的例子，再來一次，如果還是work的，你總結一下剛剛的計算，就知道怎麼推廣了。一般這樣就可以過濾九成不靠譜的方法了。

要有效的過濾掉不靠譜的方法就是學會很多non-trivial 的例子，你必須了解這些例子，愛用它們，常常玩弄。所謂的一般理論其實就是基於這些例子產生的。我發現很多學分析的人不會構造反例，這是一個巨大的缺陷。我覺得反例和證明是學好數學（至少分析，方程這個領域）的兩大基石，不可偏廢。真正理解定理的標誌除了會證明以外，必須會構造至少一個反例來說明其中的條件是需要的，同時也會構造出幾個正的例子來理解定理。如果只是「抽象地」把握數學是走不遠的,必須掌握數學的實體。陶哲軒把解決難題分解成以下簡單的23個步驟（笑）：
基本思路就是我以上提到的，就是一步一步往前走，通過逐步攻克具體的例子來慢慢達成最後的結果。

For comparison, actual solutions to a major problem tend to be arrived at by a process more like the following (often involving several mathematicians over a period of years or decades, with many of the intermediate steps described here being significant publishable papers in their own right):

Isolate a toy model case x of major problem X.

Solve model case x using method A.

Try using method A to solve the full problem X.

This does not succeed, but method A can be extended to handle a few more model cases of X, such as x』 and x」.

Eventually, it is realised that method A relies crucially on a property P being true; this property is known for x, x』, and x」, thus explaining the current progress so far.

Conjecture that P is true for all instances of problem X.

Discover a family of counterexamples y, y』, y」, … to this conjecture. This shows that either method A has to be adapted to avoid reliance on P, or that a new method is needed.

Take the simplest counterexample y in this family, and try to prove X for this special case. Meanwhile, try to see whether method A can work in the absence of P.

Discover several counterexamples in which method A fails, in which the cause of failure can be definitively traced back to P. Abandon efforts to modify method A.

Realise that special case y is related to (or at least analogous to) a problem z in another field of mathematics. Look up the literature on z, and ask experts in that field for the latest perspectives on that problem.

Learn that z has been successfully attacked in that field by use of method B. Attempt to adapt method B to solve y.

After much effort, an adapted method B』 is developed to solve y.

Repeat the above steps 1-12 with A replaced by B』 (the outcome will of course probably be a little different from the sample storyline presented above). Continue doing this for a few years, until all model special cases can be solved by one method or another.

Eventually, one possesses an array of methods that can give partial results on X, each of having their strengths and weaknesses. Considerable intuition is gained as to the circumstances in which a given method is likely to yield something non-trivial or not.

Begin combining the methods together, simplifying the execution of these methods, locating new model problems, and/or finding a unified and clarifying framework in which many previous methods, insights, results, etc. become special cases.

Eventually, one realises that there is a family of methods A^* (of which A was the first to be discovered) which, roughly speaking, can handle all cases in which property P^* (a modern generalisation of property P) occurs. There is also a rather different family of methods B^* which can handle all cases in which Q^* occurs.

From all the prior work on this problem, all known model examples are known to obey either P^* or Q^*. Formulate Conjecture C: all cases of problem X obey either P^* or Q^*.

Verify that Conjecture C in fact implies the problem. This is a major reduction!

Repeat steps 1-18, but with problem X replaced by Conjecture C. (Again, the storyline may be different from that presented above.) This procedure itself may iterate a few times.

Finally, the problem has been boiled down to its most purified essence: a key conjecture K which (morally, at least) provides the decisive input into the known methods A^*, B^*, etc. which will settle conjecture C and hence problem X.

A breakthrough: a new method Z is introduced to solve an important special case of K.

The endgame: method Z is rapidly developed and extended, using the full power of all the intuition, experience, and past results, to fully settle K, then C, and then at last X.

The technology developed to solve major problem X is adapted to solve other related problems in the field. But now a natural successor question X』 to X arises, which lies just outside of the reach of the newly developed tools… and we go back to Step 1. ----陶哲軒

謝邀。
這個問題有點泛。但我想指出一點：腦子裡面有模糊的思路還不夠，要學會把自己的想法表述出來。

很多人學數學的時候，面對一個問題，腦子裡面似乎有點模糊的想法，但又說不清楚到底該怎麼做。其實這很正常，面對一個問題，一般不可能腦子裡面馬上浮現出完整的解答過程，人腦是人腦，不是機械式的計算機，人腦總是要先從有個直觀概念到慢慢形成完整的邏輯鏈條。但是你要學會把你腦子裡面的粗糙想法說出來，寫下來，學會把這些想法表述成1234的步驟——我想先幹什麼，再幹什麼；要證明原命題，或許我可以考慮先做如下問題（某個特例或者弱一點的問題）；等等等等。

這麼做的好處是什麼呢？第一，你把你的想法系統化，有利於你發現困難的點在哪裡：有些步驟你可能已經做出來了，那麼你可以集中精力去做你做不出來的那些步驟，而不必重新「載入」整個原問題。第二，你可以把你的想法告訴別人，看看別人能不能補充什麼想法——這就要求你的想法具有「可理解性」，別人如果聽不懂你在說什麼，就沒法和你交流。第三，如果實在做不出來，那麼對照答案以後，你可以想想你自己想的時候哪些地方沒想到，哪些困難的地方你沒有克服，而答案是怎麼處理這些困難的地方的。當然也有可能是你自己原來就想偏了，答案和你的想法完全是不同的方向。不過一個問題也不是只有一個解答，哪怕你看到了一個答案，你也可以想想你原來的想法到底可不可行，說不定把答案中的某些部分「嫁接」到你原來的想法裡面也能得到另一個答案。

在這裡，我說的都是解題時的感受。不涉及真的做數學研究。請各位大佬輕噴。

首先我覺得要心裡有底。

這是兩方面，對於題目有底對自己的水平有底。

不要覺得題目會很複雜（除特殊情況，比如你清楚的知道某題很難），不要覺得要拐九曲十八彎才能把題做出來。這並不只是因為要心理暗示鼓勵自己，還是因為數學題可以難得沒邊，但要是真那麼難誰都做不出來，就不應該出現在這裡（習題中，考試中）。它在你可接觸的範圍內說明它是可做的。我高中時輔導一個初中生初中平面幾何，我發現他經常出現嘗試一個思路，都畫了七八根輔助線了還沒成功，卻堅持不放棄的情況。我就和他說，這時候就該想想是不是最開始就錯了。他就老跟我說，「萬一呢？萬一呢？」我覺得，要先考慮那萬分之九千九百九十九，再考慮萬一。畢竟，哪有那麼多萬一啊。

對自己的水平有底。這也很重要。知道自己水平大概是什麼樣。做數學，最怕把自己知道的不夠的事情賴給想的不夠。「要是這樣弄，誒，當時我不就做出來了嗎…」實際上，很多思路都是不可能第一次就被你想出來的，都是需要見過類似的，或者有關的從而受啟發想出來的。因此，如果你對一個概念本質上還是生疏的，就不要老把問題歸結到自己「沒想到」上。要多去看例子，先學別人的思路。（這一段和題主的問題不直接相關，但我一定要提一下）

其次就是提高自己的水平。

要想完全解決樓主的問題，必須要干一件事：沒事的時候多思考。而且最好是不帶草稿紙的那種，比如走路時洗澡時。有人說，為什麼他們一拿到求不定積分的時候很快就能想到分部積分？為啥他們不試試換元呢？其實不是他們運氣好，他們很有可能也試了。但是壓根沒在上面浪費時間。數學好的人只需要大概在腦子裡過一遍，就能夠大概預想到換元後會出現什麼東西，很快就意識到越換越複雜，就迅速嘗試別的方案。又大概想了一下分部積分後會出現什麼什麼東西，隱約覺得可能什麼能消掉，就趕緊用草稿紙試一試。因此他們在心裡已經有底後，思維水平很高，腦子裡就有草稿紙所以厲害。

相反，如果你想到什麼思路都無法先在腦子裡預演一下，全都得謄到草稿紙上，不僅慢而且會不捨得換思路，往往就會困難些。

以上是答主作為學生的一點經驗，希望可以幫助到您。

當你把題目解出來後你才知道。。。

如果只討論中學的數學考試，除了圓錐曲線的題以外，（你估計）能五分鐘之內算出正確答案的思路就是正確的（基本上考試中一道題能允許你做的時間），算不出來要麼思路錯，要麼這個思路複雜度太高應該換一個。
大學考試的話。。。平時作業都講了的，模式識別一下，直接套就行，老師不會在這個時候坑你的。

我在上中小學時，數學題里給出的數據都會用到（而物理題不一定），如果一種數學解題思路有沒有用到的數據，說明這思路多半是錯的

這個問題可以歸類到{圖靈機停機問題}

答案是不存在某種演算法，可以判斷另外一種演算法是否會有結果

沒有這樣的判斷方法, 如果有的話, 恐怕數學也不會讓那麼多人望而生畏了.
所以一般來說, 數學上去證明只能靠摸索. 唯一可以取巧的方法是借鑒. 所謂借鑒, 就是先多看看別的題目或者是他人的證明. 了解了那些套路之後, 在自己解題時, 有時就會覺得: "這個問題和之前看到的某個問題好類似呀." 然後就可以試著套那個問題的證明了. 往往成功的可能性會大一些.

高中學渣強行答一波
在做複雜的解幾的時候，基本上只有到最後一步化簡才知道自己是對是錯。
因此之前只能靠自信和信仰

刷題經驗啊

難道靠靈光一現？( ??д?? )不然那些數學世界難題為什麼那麼難，因為大師們也沒相應經驗啊。

做多了，自然而然就有感覺了

讓你感覺麻煩的結題，正常情況下都有優化解（高中範圍內啊，我就一小本科）

給一題：

現在有2017盞電燈全是熄滅狀態，標號「1，2，3，....，2016，2017」

這時候小明無聊，開始按照「1」的倍數是按一次電燈按鈕，再按照「2」的倍數去按一次電燈的按鈕

問題是最後剩那幾個編號的電燈是開著的？

正常思路：

循環的方式去做1~2017的模擬循環演算法

優化思路：

1.亮燈滅燈，2次操作，如果最後燈亮，那必然是對電燈進行了奇數次操作

2.把順著的每個數的操作換個思路想成：求每個數有多少個約數

3.約數都是兩兩同時出現的，只有約數中含有平方數的這個數，TA的約數個數是奇數個的

4.OK，那就可以求出來，1的平方，2的平方。。。。一直到44的平方

這種題，一般正常情況下很難想到優化的方法，做著做著，就有感覺了

不是別人聰明，只是他們想的比我們多

這個問題很有意思。

隨便舉個簡單粗暴通俗易懂的例子：

目標：我要獲得100萬。

思路：找200萬個人，問他們每個人要5毛錢。

這個思路是可行的，因為「找到200萬個人」這件事情能做到到，而且看上去很容易（共和國13億+的人口呢）；問一個人要5毛錢看上去也不是沒戲（13億里最起碼有1300萬是負擔得起5毛錢的吧，而且事實上確實有問陌生人要一點零錢應急的現象存在，這表明這種事情是有旁例的），但綜合起來看，很難。但這不代表完全搞不定，依稀記得似乎有類似這種事情的實例。

同樣的，
目標：我要獲得100萬。

思路：我先找到100萬粒沙子，然後用「麻櫟麻利哄」把每一粒沙子都變成一塊錢。

這就是典型的不可行的思路。找到一百萬粒沙子不是什麼難事兒。但是，「用『麻櫟麻利哄』把每一粒沙子都變成一塊錢」這種事情倒是沒人干過，沒人知道怎麼干，也沒人知道如何去尋找干這件事情的方法，and。。。簡而言之，這件事情，它不是「可能」搞的定的事，所以這個思路不靠譜。
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所謂思路，就是解決問題的方法、路線圖，step one by one。要想它靠譜，那麼就得每一步至少「看上去能完成」，這樣才是一個可能可行的辦法。反過來，要是需要什麼「麻櫟麻利哄」之類的東西，怎麼著也沒法靠譜。

顯然，不難看出……

大家瞄一眼就好，也許範圍不夠呢。
→實力雄厚，知道考點，有部分些套路吧(猜測中……)。
比方說解極限，微分方程……

算