矩陣與行列式有什麼區別?

12-02

行列式是一種運算其實質其實就是一個數.
矩陣可以看作一種算符（operator），矢量左乘一個矩陣可以看作把矢量進行一次線性變換。

矩陣誕生之初是為了解線性方程。
我們來看這麼一個方程：
5x+6y+7z=31
3x-4y+z=-4
x-z=-1
這個方程組很好解，但是我們換一個角度來看一看這個方程組。
上面這個方程可以用矩陣的方式來表示，這也是矩陣最早的用途：(還沒學會怎麼用自帶的，見笑……)

上面那個公式就是之前方程的矩陣表示形式了。
如果把 $left[ x,y,z ight]^{T}$ 看作一個矢量，把 $left[ 31,-4,-1 ight] ^T$ 看作另一個向量。那麼左邊那個係數矩陣就可以看作一種運算元，這個運算元操作某一個矢量，使之線性變換，成為了新的一個矢量。（這個說法不是很嚴謹，實質上，矢量本身並沒有變，只是空間的基變了，所以表示該矢量的各分量都變了，見後文說明。）
前面那個矩陣就叫做變換矩陣，這個就是由解方程引出的，後來在微積分和代數學中廣泛應用的矩陣了。
這個矩陣可以操作三維歐氏空間上的所有向量使之成為新的向量。事實上，這個變換矩陣是對對應兩個線性空間的（或者說是一個三維歐氏空間由一組基表示變成了由另一組基表示）。還用上述例子，如果原空間的一組基是我們常用的一組基: $left[ 1,0,0 ight] ^T$ , $left[ 0,1,0 ight] ^T$ , $left[ 0,0,1 ight] ^T$ 所表示的。那麼經過變化矩陣的操作以後，這一組基變成了： $left[ 5,3,1 ight] ^T$ , $left[ 6,-4,0 ight] ^T$ , $left[ 7,1,-1 ight] ^T$ 。在這組新的基下，原向量可以表示為： $31 imes left[ 5,3,1 ight] ^T + -4 imes left[ 6,-4,0 ight]+-1 imes left[ 7,1,-1 ight] ^T$ ,所以，你可以這麼想：矩陣的本質，就是對空間的一種變換。當然，我說的矩陣都是方陣。不方的矩陣先不說了。。。幾乎是處女答了，還很不完善，後續慢慢補充，先滾回去敲代碼了……

矩陣相當於向量，行列式相當於向量的模。
一般教學上都先介紹行列式，再進行對矩陣的介紹，我覺得這樣是不好的。應該先了解矩陣。
一開始，在實際應用的時候，會出現很多很多的未知數，為了通過公式解出這些未知數，就進行聯立方程組進行求解。比如要知道x1,x2的值，就聯立方程{a*x1+b*x2=i
c*x1+d*x2=j}，
這樣子來求解。可是啊，現實生活中，特別遇到一些複雜的工藝的時候，就會出現超級多的未知數，所以就會有超級多的方程需要聯立求解，像上面的那個2階方程還好，遇到20多階的方程，這打死都不想算下去，太心累。
可是不算也不行啊，那怎麼辦呢？仔細觀察，x1，x2的值其實是由a/b/c/d/i/j等這些數決定的，也就是說，我們要找求的未知數，取決於它們的常數項。那咱就對這些常數項進行研究唄。首先把這些常數項都列出來，這就形成了矩陣。現在，我們就是要對這個所謂的矩陣進行研究，找找它的特點。
對數據找特點嘛，就對這些數字隨便加減乘除咯，摸索著摸索著，突然有人發現，如果對矩陣用一種特殊的演算法，來作為其中之一的特徵，好像比較有用。於是，這個演算法就是對矩陣進行行列式計算。相當於行列式就是這個矩陣的一個特徵值或者說屬性值。就像向量中的向量的模一樣。運用這些特徵，大夥發現，這個行列式還挺有用，可以驗證這個方程組有沒有解。
這就是行列式和矩陣的區別。

從線性代數而言，一個矩陣包含了一組向量。

若是兩個二維向量，我們可以張出一個多邊形。此時行列式的解就是被這兩個二維向量張出來的多邊形的（有向）面積

如圖，兩個紅色向量和他們平移出來的兩個綠色向量在二維空間xoy中張出了一個多邊形。
若是把兩個紅色向量用矩陣描述，我們就有一個二維方陣。此時圍出來的多邊形的有向面積就是行列式，他的面積就是行列式的絕對值。

為什麼只有方陣才有行列式？
是因為如圖，二維空間中的向量只能由兩個坐標所規定。
而要計算一個多邊形的面積，只能計算由且僅由兩個向量所規定的多邊形。
（如果由三個向量組成，那麼他就不成多邊形了）

推廣到n維的情況。
n維的n體由n個由n個坐標組成的向量所組成。
所以只能計算方陣的determinant

如有錯漏，敬請指出。

簡單說，矩陣是一組數組成的形式。行列式則僅僅是矩陣的一種運算，運算的結果是一個數。

行列式是以矩陣為變數的函數，輸入一個方矩陣，輸出一個數。

n階行列式：取不同行不同列n個元素的乘積的代數和構成的一個數

n階矩陣：n×n個數按一定規則排列成n行n列的一個表格