如果 π 是合取的，「π 包含整個世界」就成立了嗎？

12-02

流行文化中經常流傳「π 包含整個世界」或「π 包含了所有信息」，理由是「所有的（有限？）數字序列都能在 π 中找到」。用數學上的話講，他們以為 π 是合取的（甚至更強）。但這是一個沒有證明的命題。

但是如果 π 是合取數，難道就能說「π 包含整個世界，包含所有信息」？或者說，比如 0.10111001010011100101110111... 這個數，我難道能說他「包含了所有能用數字序列表示的信息」？至少包含了所有銀行密碼信息？

除了「合取性沒有證明」之外，反駁「π 包含整個世界」還應該增加什麼論證？

問題是。那些東西你都不知道是什麼。
只有你知道了它們是什麼，你才能在pi里找到它們。但你不知道它們是什麼的時候，pi什麼也不能告訴你。
314159，可能是某個人的支付密碼，也可能是某一次高考一道填空題的答案，還有可能是未來刺殺美國總統犯人的編號。
但是只有你知道了那個人的支付密碼，你做出了那道高考數學題，以及那個犯人被逮捕並且編號之後，你才知道它代表了這些。
而在你不知道的時候，這些數字對你沒有任何意義。
所以你不過是在pi中尋找你已經知道的信息而已。

另外，我在想，這個世界是決定論的嗎？
我覺得很有可能不是。這個世界很大程度上是隨機的。此外，人是有自由意志的。
也就是你只能得到隨機事件的一次確定性實現。所以pi其實沒有包含未來，而只是未來的每一次實現都能在pi找到。
當然這只是我個人的偏見，信仰而已。

作為一個數學外行，只想講一個故事：
某天水手小明跟船長說：「船長，船長，是不是什麼東西知道在哪就不算丟？」
「是的。」
「那你的懷錶沒有丟。」
「哦？你知道它在哪裡？快告訴我！」
「是啊，我知道，它在大海里。」

純扯淡。

1234567890，這十個數字，也是包含所有信息，因為所有數字都能在其中找到。比如說69438，就是第6，9 ，4，3，8，這5個位。

發現問題在哪裡沒有？「所有數字都能在pi裡面找到」這句話是正確的。但是問題在於，所有信息不在pi裡面，而是在「找」裡面。

$pi$ 簡直是個渣渣，到現在還沒證明出來是 Normal Number。

0.1234567891011121314... 絕對是個 Normal Number，全宇宙都在這裡了，而且每個數都可以很容易在這個數中找到。

但是，這並沒有什麼卵用。

提問的動機是，之前有人詢問類似的說法，回答都到「沒有證明合取性/正則性」為止。我認為這個回答是不充分的，甚至是在承認「這個說法可能正確」。

許多人說不包含無窮數列等，怪我設定不嚴，但仍不充分。這似乎是在承認「只要能用有限序列表示的信息，就都包含在 π 中」。更弱一些好了，我聲稱「π 包含所有人的銀行密碼信息」，一群人輕信謠言驚慌失措了。我希望你的論證能反駁我。

現在我試著自答：

假設 π 是十進位合取數。
那麼 π 的十進位表示中包含我的銀行密碼序列，沒錯。
但這句話信息量為零（取資訊理論定義），不能說 π 包含我的銀行密碼信息。
只有當我說「我的銀行密碼是 π 的第 n 位起的 k 位數字」才是完整的信息。
哪怕是「π 的前一萬位不包含我的銀行密碼」也有很大的信息量。

因此，合取數包含所有（有限）序列，但不攜帶任何信息。

不存在反駁, 因為這句話基本上是對的, 其實把東西都定義清楚就好了:

定義1. 給定集合 C, 取 S(C) 為由 C 中元素構成的有限序列構成的集合. 對任意合取數 r, 取 E(r) 為所有 (k,d_k) 構成的集合, 其中 d_k 為 k 在 r 的十進位展開小數部分第一次出現時的首位所在的小數位. 我們稱 r 對 C 包含了所有信息, 如果存在一個從 S(C) 到 E(r) 的單射.

定理2. 合取數 r 對 C 包含了所有信息當且僅當所有合取數均對 C 包含了所有信息.
證明. 略.

定義3. 我們稱一個集合 C 是可被表達集, 如果存在一個 (從而對所有) 合取數 r 使得 r 對 C 包含了所有信息.

定理4. 所有有限集均為可被表達集.
證明. 略.

例5. {0,1,...,9} 是可被表達集, {a,b,c,...,z,0,1,...,9} 是可被表達集.

所以, 如果你所感興趣的信息的集合是某個 S(C) 的子集, 其中 C 是某個可被表達集, 那麼可以認為在 C 的意義下, 如果 Pi 是合取數, 那麼你所感興趣的信息均可以在 Pi 中找到.

不成立。不僅π不可以, 任何一個數都不可以。π的子序列是可列舉的，是可數無窮多，可數無窮怎麼包含不可數無窮？（問這類問題的八成是程序員，因為在他們的觀念里，一切都是離散的）

這句話是錯的，證明如下:

我們把π後所有的連續數字列的集合記作集合P，把有理數集記作Q(本來好像就記作Q)。我們可以說明，兩個集合的康托爾勢是一樣的。因為有理數可以構造成一個數列，而π中最多可以包含所有的自然數。

可是我們都知道，實數集的康托爾勢比有理數大，因此我們肯定可以找到一個不包含於π的實數。

證畢。

請用pi和一個自然數表示根號2

π里「顯然」不包含e，證畢。

童鞋們不要問我怎麼「顯然」了，我就是來抖個機靈但是未遂的……

李白站起來說：「很簡單，超越李白的兩條路是：一、把超越他的那些詩寫出來；二、把所有的詩都寫出來！」
伊依顯得更糊塗了，但站在一旁的大牙似有所悟。
「我要寫出所有的五言和七言詩，這是李白所擅長的；另外我還要寫出常見詞牌的所有的詞！你怎麼還不明白？我要在符合這些格律的詩詞中，試遍所有漢字的所有組合！」

「啊，偉大！偉大的工程！」大牙忘形地歡呼起來。

「這很難嗎？」伊依傻傻地問。

「當然難，難極了！如果用吞食帝國最大的計算機來進行這樣的計算，可能到宇宙末日也完成不了！」
「沒那麼多吧。」伊依充滿疑問地說。

「當然有那麼多！」李白得意地點點頭，「但使用你們還遠未掌握的量子計算技術，就能在可以接受的時間內完成這樣的計算。到那時，我就寫出了所有的詩詞，包括所有以前寫過的和以後可能寫的，特別注意，所有以後可能寫的！超越李白的顛峰之作自然包括在內。事實上我終結了詩詞藝術，知道宇宙毀滅，所出現的任何一個詩人，不管他們達到了怎樣的高度，都不過是個抄襲者，他的作品肯定能在我那巨大的存貯器中檢索出來。」

如果π是合取的，也就是相當於這個《詩云》——劉慈欣。

「明白了，尊敬的神，最後一個問題：有必要把所有的組合結果都存起來嗎？為什麼不能在輸出端加一個判斷程序，把那些不值得存貯的詩作刪除掉。據我所知，中國古詩是要遵從嚴格的格律的，如果把不符合格律的詩去掉，那最後結果的總量將大為減少。」
「格律？哼，」李白不屑地搖搖頭，「那不過是對靈感的束縛，中國南北朝以前的古體詩並不受格律的限制，即使是在唐代以後嚴格的近體詩中，也有許多古典詩詞大師不遵從格律，寫出了許多卓越的變體詩，所以，在這次終極吟詩中我將不考慮格律。」
「那，您總該考慮詩的內容吧？最後的計算結果中肯定有百分之九十九的詩是毫無意義的，存下這些隨機的漢字矩陣有什麼用？」

　「意義？」李白聳聳肩說，「使者，詩的意義並不取決於你的認可，也不取決於我或其他的任何人，它取決於時間。許多在當時無意義的詩後來成了曠世傑作，而現今和今後的許多傑作在遙遠的過去肯定也曾是無意義的。我要作出所有的詩，億億億萬年之後，誰知道偉大的時間把其中的哪首選為顛峰之作呢？」

同樣，對π里的東西來說，99.9%的數字組合併沒有什麼實際作用，但你怎麼知道未來沒用了？

「真是偉大的藝術品！」大牙由衷地讚歎道。
「是的，它的美在於其內涵：一片直徑一百億公里的，包含著全部可能的詩詞的星雲，這太偉大了！」伊依仰望著星雲激動地說，「我，也開始崇拜技術了。」
一直情緒低落的李白長嘆一聲：「看來我們都在走向對方，我看到了技術在藝術上的極限，我……」他抽泣起來，「我是個失敗者，嗚嗚……」

「你怎麼能這樣講呢？」伊依指著上空的詩云說，「這裡面包含了所有可能的詩，當然也包括那些超越李白的詩！」

「可我卻得不到它們！」李白一跺腳，飛起了幾米高，又在地殼那十分微小的重力下緩緩下落，「在終極吟詩開始時，我就著手編製詩詞識別軟體，這時，技術在藝術中再次遇到了那道不可逾越的障礙，到現在，具備古詩鑒賞力的軟體也沒能編出來。」他在半空中指指詩云，「不錯，藉助偉大的技術，我寫出了詩詞的顛峰之作，卻不可能把它們從詩云中檢索出來，唉……」

所以，如果π合取，說它包含整個世界沒什麼問題，
但重要問題在於檢索，所以這種說法也沒有什麼意義。

結論：並沒有什麼*用。

那從π里取點錢花行不？

看你怎麼定義「包含」。

顯然那張廣泛流傳的圖片里的定義是：任何信息編譯成數字以後都可以在 pi 中找到，但是這個定義隱含了一個前提：所有信息都能被編譯成十進位數字，或者說，存在一個由所有數字到所有信息的映射（一個數字只能對應一個信息，否則要是定義規定編譯規則是：所有信息都被編譯成 0，那樣未免太無趣了）。

按照題目假設，假定 pi 是一個正規數。現在先不找出這種編譯規則，而是假定這種編譯規則存在，那麼應該可以建立上述由所有信息到所有數字的映射，然而事實上，我們可以建立一個由所有數字到一條數軸上所有點的映射，但是我們知道，所有數學曲線的勢比一條直線上所有的點的勢要大，也就是說，不需要所有信息，僅僅是所有數學曲線的集合（aleph2），已經遠遠大於一條數軸上的點的集合（aleph1），不能建立起一一對應的關係，就更不用說所有信息了。

所以，即使 pi 是正規數，即使接受圖片中的定義，pi 也是不可能包含了「一切信息」的。

Update：
目前 @徐辰的答案看上去言簡意賅，但是卻是經不起推敲的，我承認也許「顯然」e 不會在 pi 中直接出現，但是 e 是有定義的（一個極限），而這個定義是有限的，那麼這個定義就可以輕而易舉地被編譯成數字再包含於 pi 之中。

如果無數多的猴子在無數多的打字機上隨機的打字，並持續無限久的時間，那麼在某個時候，它們必然會打出莎士比亞的全部著作。但這些猴子並不知道這一段序列在哪，就算知道也看不懂，所以並沒有什麼卵用.

沒有用的信息等於沒有信息

讓我家的貓在鍵盤上滾一天，
一天後我發現居然有1+1=2！
我家的貓跟著我果然聰明！
緊接著我發現了1-1=2
果然跟了我這傻貓也太蠢了。

最多也就可列可數，連實數都包含不了。怎麼包含世界。

比如1/7就不包含在π里，如果π里包含某個循環小數，那π在第某位之後不是無限循環了么

只能說明pi的所有子序列可能與萬物一一對應，也就是可能具有同樣的類似於基數的概念。而這種對應法則目前來看是超出人類可觀測範圍的，類似於教徒心中「存在」全知全能的神一樣，如果不能給出觀測手段，你如何證明心中「存在」的那個對應的法則是否真的存在？

當然我也不能證明那個法則不存在，所以我打算創辦一個唯一pi神教，在此正好調查一下相信pi中有世界的人有多少，看人數夠了我就去寫教條了啦。

pi要包含所有信息，那麼你需要一個索引類的東西來告訴你pi的第幾位代表什麼。這樣，首先你要造出這個索引，就得獲得世界裡所有的信息，不現實吧，其次如果造出了這個索引，那還要pi幹嘛。