你是如何看待你的(與數學工作者的)數學直覺？
在數學的學習中肯定會碰到直覺的問題：比如人人都有的直覺【有限個有限集的卡集也是有限集】，也有少數人會有很特別的直覺【比如不動點定理】。可能有一些天才會有很特別的直覺（比如拉馬努金的那幾個"複雜"的恆等式）。
肯定有人試過（比如我），在完全憑藉直覺的情況下，讀一本體系完整，語言清晰的數學書籍，究竟能看流暢的看多少？在試過之後我發現，最後遇到的問題就是後面的概念為很多前面概念的堆砌，再用直覺來理解就很困難了。（比如抽代的概念）
但是當你從這種直覺回到嚴謹證明時，可能會發現這竟然如此困難。但是不可否認的是，這種直覺有時候確實會幫助你堆砌一些思路，有時候真的行得通。
問題的背景講完了，這裡直覺的概念可能還是不太清楚，下面舉幾個我眼中「直覺」的例子（可能不全，因為只是個人的一些直覺）：
（1）證明關於拓撲的定理時（比如度量空間里的open ball）需要的一些圖形想像；再比如證明卡集X×Y有限當且僅當X, Y均有限時，自動把(x, y)想像為歐式平面的坐標，瞬間反應出X×Y的基數為|X||Y|。
（2）非圖形想像直覺，比如抽屜原理（The Principle of Drawer），甚至關於素數分布的一些估計。
等等。所以這裡請學長與老師們隨便聊聊，你有的直覺，以及你對直覺的看法。
更希望有些對此有看法的老師們可以給出一些關於數學直覺的實驗與數據。
在此感謝。
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剛剛在math stackexchange上找到說的感覺很有道理的一句話：
The distinction between intuition and rigor, to me, is the difference between working on the level of what is being modelled vs. working with the model.
我覺得一個東西是不是「符合直覺的」，和某人的數學經驗有關。舉個例子，比如我說
是一個群
我反正剛開始學代數，根本不覺得這個直覺。現在也不覺得這個直覺 ＝ －＝
再考慮一下這個，
不收斂，因為跑得不夠快。
跑的很快，所以收斂。
你要是沒學過數學分析，你可能會覺得，這沒道理啊。隨著n變大，每一項不都趨近於零么。你要是學過數學分析，你可能會覺得，「哈哈這個我學過，叫harmonic series「。你要是學了很多年，你可能會覺得「這個很合理，harmonic series跑的不夠快嘛！」
我覺得有直覺固然好。沒直覺，也不用著急。正如陶哲軒大神所說：
One can roughly divide mathematical education into three stages:
- The 「pre-rigorous」 stage, in which mathematics is taught in an informal, intuitive manner, based on examples, fuzzy notions, and hand-waving. (For instance, calculus is usually first introduced in terms of slopes, areas, rates of change, and so forth.) The emphasis is more on computation than on theory. This stage generally lasts until the early undergraduate years.
- The 「rigorous」 stage, in which one is now taught that in order to do maths 「properly」, one needs to work and think in a much more precise and formal manner (e.g. re-doing calculus by using epsilons and deltas all over the place). The emphasis is now primarily on theory; and one is expected to be able to comfortably manipulate abstract mathematical objects without focusing too much on what such objects actually 「mean」. This stage usually occupies the later undergraduate and early graduate years.
- The 「post-rigorous」 stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one』s chosen field, and is now ready to revisit and refine one』s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the 「big picture」. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
所以你看，一口氣吃不成胖子。（至少我是這麼安慰自己的
熟悉是直覺最重要的來源，一旦你對某一個topic很熟悉的時候，相關的命題即使沒去或者不會證明也能猜出結果，這就是所謂的猜想。
舉例：平面上兩點間線段最短，同等周長的圖形園圍成的面積最大。這兩點靠直覺可以猜出來，小學生大概都能猜對。但是實際的證明涉及到精確的定義，兩者都需要變方法。一般來說，本科生才能真正的理解這兩個問題。
直覺在數學研究中是重要的，因為研究級別的數學是很複雜的，一個證明好幾個引理，少者十多頁，多得幾十頁。好的直覺能節省很多時間和精力。謝邀。
直覺也分不同層次、不同難度的。在我看來最難的直覺在於幾何（包括代數幾何）、拓撲、組合等等領域的複雜結構和奇異現象。比如cellular structure和stratification什麼的，一個高維流形邊上粘幾個維數低一點的流形，每個小流形的邊上又粘一堆維數更低的流形，然後一級一級粘下去，然後每一級粘的映射還不一樣。最後到底得到了什麼東西？我反正很難想像。。只能靠算拓撲不變數去探測它的結構。還有一個高維流形裡面兩個子流形相交，交出來是什麼東西？這裡面有拓撲結構也可能有組合結構，比如R^n上的hyperplane rearrangement什麼的，或者高維球堆積什麼的，都是很燒腦、很需要直覺的問題。
對於我們這樣的普通人來說，好的直覺是需要培養的，也是可以培養的。
比如說，如果能熟悉一些例子，那麼一些結論在相對簡單的情況對不對，一些公式可能長什麼樣兒，都是可以感覺出來的。熟悉例子的方式，大概還是多看多算吧。
然後，請允許我從一個小小的學生的角度胡謅幾句我對經典的代數幾何中的直覺的看法吧～歡迎圈內人拍磚，輕拍重拍皆可--
（插播代數幾何冷梗一枚：）反正我們已經是眾所周知會「blow up families and go back to check whether that"s flat" 的狂熱分子了，也該多搞搞局部降維攻擊，平衡一下blow up造成的效果。
（更抽象的代數幾何，比較偏範疇論/代數拓撲的那一類，那是拿整個代數幾何當自己的例子，將代數視為自己的直觀。這種我暫時無力討論，只能仰望望望望……
好想看到自己熟悉那套語言如同母語，用抽象符號表意如遣詞造句一樣流暢的樣子！不過，就我這語文水平，這個標準線好像也沒有很高……）
對我而言，一個結論幾何的那一面往往是直覺的來源：傳統上幾何關注的許多特質，比如維數，是否有界（緊的），是否光滑，相交起來是不是橫截；兩個幾何對象之間的對應是單射，是滿射，還是「基本上差不多」（birationally equivalent）；以及極限，啥啥的。即便維數高了確實沒法畫出來，但是偶爾，低維的那些類比也還是可以給人一點大概的方向感。同時，幾何這貨有好多種實踐方式，有拓撲意義上的，流形意義上的，微分流形意義上的，復的，代數的，（算術的，不過我基本不懂就不多說了），雖然氣場各個不同，可又時常互有對應，互可借鑒，使人有個猜測，啥樣的結論可能對。
而代數，代數就是幾何圖景給指了一條路以後，比較嚴格地跟進的手段。代數承擔著嚴格化辭彙的功能--比如維數，我們直觀上希望這個指標只和一點的鄰域有關；在n維空間時取值為n；兩個空間作笛卡爾積，總空間維數是倆的和（當然，在更廣義的fibered space上，也有相應的直覺對於維數的取值作出限制。不過我不知道fiberation怎麼用相對簡單的語言來描述，所以，這一團就留給讀者吧，歡迎評論～），等等。滿足這些個設定（或者說公理）的維數，代數上有若干種定義方式；並且，可以嚴格地證明，在某些好的情況下，各種定義是等價的。
代數也承擔著驗證幾何直觀的功能--當然，這裡就進入大坑模式了：很多時候，我們嚴格化出來的指標，並不滿足我們的幻想。也就是說，直覺是有可能出錯的--但代數手段的一個有魅力的地方在於，它往往能通過修正定義，使得那些不太常見的也不太好的情形下（singular cases），那些指標的取值有些修正，以至於，整個結論對於這些邊角之處依舊成立。這些取值和直觀取值之間有或明或暗的對應關係，所以可能可以把原取值逆向工程出來；另一方面，這些修正後的取值，亦能保證結論整體上的一致性和優美性。
很多時候，這些改過的取值反倒暗示了singular cases的一些更深刻的結構，又給研究者開闢了一大片（荒）地。
比如說，一個很經典的定理，Bezout定理，說道：復射影平面上兩條度數分別為m，n的光滑曲線，如果橫截相交，交點個數都是mn。橫截相交的大概意思就是不相切，更不重合；這基本上是出現概率為1的狀況（當然代數幾何里不按概率講。代數幾何里稱此為「一般狀況」，有另一種直觀上與概率1很相似的嚴格描述。）。現在，我們希望這結論對一些特殊場合還對，或者說，至少別太跳--那，假如第一條曲線連續地趨向於覆蓋某條直線m次，以至於極限狀態時，它在平面上的像基本上就等於那條度數為1的直線，這情況下，取個極限後，我們能看到的交點數一下子就變成了n個--於是，瞬間，這結論對此情形就不成立叻。
改進的辦法是，我們管這些交點叫做m重點，在計算交點個數的時候每個點算m次，這樣bezout定理就依然成立。而從另一重意義上，管這些點叫做m重點是正當的：後來的代數學家們，給了這樣的點（集）一個更正式的名字--零維，長度為m的子概型（概型，英文是scheme，是幾何空間的一種相當抽象化的對應。0維，也就是離散的點集的維數。）。另一些零維長度m的子概型的例子，是互不相同的m個正常的點；當那些正常的點移動得越來越越來越接近以至於最終撞成一個點的時候，這最後的極限--代數幾何里管它叫做flat limit--就是個幾何上看只有一個點，代數上還有豐富的隱藏結構的「長度m子概型」。在更高維的情況（把點換為曲線，曲面，曲空間，曲時空…咦時間怎麼也變成復的了……咳咳我不懂物理，所以大家不要在意這些細節...and don"t quote me on this...），這種現象就是所謂的non-reduced structures。
再把這翻譯回直觀，可以說：這些non-reduced structures，悶騷地蜷縮在真實的幾何對象之內，哪個角度都看不出來，放大鏡也沒用，只有拿無窮小量去試一試，才發現--原來在某些方向上，還是有些比所有小都小的自由度，供我們的幾何對象稍微形變一點點。
總結一下就是，直觀可以帶著人前進，然後嚴格化語言隨之跟進，猜想被證明或者被擴充，形成新的直觀，如此往複--當然這是理想狀況啦，畢竟科學是個隨著時間逐步被構建的存在。不過在經典的代數幾何里，這麼說還有另一重原因--
---以下開始跑題----
好吧既然我已經扯到形變理論（英文：deformation theory）了，那就再不妨說一說由David Mumford老先生領銜挖的一個坑：
（不知道這是不是他榮譽加身後激流勇退轉做應用的誘因之一……據說不是，而且坑都挖了這麼多年了……但，誰知道呢。）
egin{quote}
Law (1.34) (Murphy』s Law for Hilbert Schemes) There is no geometric possibility so horrible that it cannot be found generically on some component of some Hilbert scheme. -- pp. 18, GTM 187.
end{quote}
用人話說，就是Hilbert scheme -- scheme，也就是概型，前文提到過它們是幾何空間的某種抽象化的推廣；hilbert scheme因為是一類狀態空間所以大家還蠻關心它們的--基本上是所有病態幾何特質的集中營；而且，這些病態特質還不是混入人民中的一小撮；相反，基本上是整個整個的精神病院那一種；正常人才是少數。
（我已經儘力意譯了。另外，我們不黑douban。謝謝。）
上文所述的non-reduced structure，就是這個精神病院典型的癥狀之一--non-reduced的典型體現就是，在某些方向上，幾何空間可以形變無窮小的一點點，但是這個形變沒法擴充到宏觀上--這使得拿著一階無窮小量當指示劑的童鞋們得到一些錯誤的信號。而且，這些錯誤信號還不是在每個方向上都有，沒有各向同性，但這也不好說是優是劣了，畢竟有那麼一些正常的方向意味著我們還是能往上甩甩定理。
（參見以下survey paper，有人想和我一起念么……
http://math.stanford.edu/~vakil/files/Mjul0705.pdf）
（這裡再次出現無窮小量這個史上著名幽靈--嗯，大家還記得微積分發展史上那個把無窮小量定義為一個比0大但比所有正數都小的詭異時代吧。兩百年後，e-N語言終於給了這個過程一個數學上存在的合理性。但是，這一套語言若我們穿回去教牛頓，大概也是其徒增不便吧。此處的無窮小量，也有代數上的嚴格描述。出於同樣的原因，我們也不展開了。只順便安利一件事：大的背景鋪好後，代數的無窮小量比e-N搞出的分析里的那個，邏輯上簡利許多，這也是為嘛大家更喜歡拿代數上那貨計算。有興趣的同學可以查詢first order deformation--algebraic geometric explanation）。
（模空間理論真是，處處是坑啊。誰跟我說不用面對康托集的世界就是正常的啊，上騙受當了啊……）
這樣的領域，很多時候就得，case by case地做了--除非高人橫空出世搞出些新的constructions。但是，按照不同研究者興趣點之所在，這也許依然是個好事呢。
大坑歡迎你。
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我一直自認為我對形狀有天然的敏感。給我一個scatter plot，我能猜出相關性。給我一條線，我可以猜出autocorrelation。給我兩條線，我可以猜出lead lag relationship。我還可以猜出來我這些結論多顯著。
這對我做科研一點幫助也沒有。但我會偶爾看到文章作者用古怪的identification strategy從數據里強挖不存在的關係，我的直覺就可以幫我call out bullshit。我以前還不相信，但是學得越多就越感覺不得不承認：靈感是汗水的結晶
熟能生巧唄。
前段時間暑假的時候，一個好友來找我玩，那天晚上我們下了兩盤象棋（兩人技術都其爛無比，但是我爛得更明顯）。我連輸兩局之後，他提議來玩殘局，於是打開了手機象棋APP里的殘局，擺桌上，兩人一起攻克，直到有一個其難無比的局，我們都破解不了，於是想著要不用窮舉法來解？
然後我們開始一步一步試，逐步把錯誤走法排除掉，大概弄了半個小時，終於解出來， 再重新理了兩遍才把之前的走法完全理清楚。
然而對於一個專業的象棋選手而言，破解一個殘局不應該是採用窮舉法來解，他們應該是在日積月累的經驗中，對某一個殘局迅速排出多種錯誤的走法，再從其餘的走法中篩選。
數學也是這樣，當你對某些知識熟悉到一定程度後，會對某些條件迅速做出初步的推論，如：
問：馬賽克能不能找到一般的方法進行還原？
答：不能，因為線性方程組的秩小於未知量個數。
問：在圓內能否用四條直線割成九塊面積相等的部分？
答：感覺很難...自由度是7，但是限制條件有8個，很可能無解。來自 @Hank
問：高斯為什麼畫正十七邊形？
答：因為3,5,17均為費馬數。（有關老師布置錯作業的故事貌似是假的）
我個人的理解是直覺這個東西的培養需要你要敢於去嗅其中的數學味道。
我這裡說的嗅的意思是說，當你看到一個數學結論的時候，要大膽的想像：這個結論可能可以擴充到什麼程度。
然後你再去設法去證實或者證偽這個想像正確不正確。
因為想像是你自己的，你要證實或者證偽也是屬於自己的，最後直覺也是屬於你自己的。
光做別人布置的題是培養不出什麼直覺的，只有自己想像，自己出題給自己才更有用。
當然做別人出的題也很重要，很多都是打基礎的。
一直在思考微分方程穩定性問題，現在想的是李雅普諾夫的V函數判定法能夠不能夠再擴充些，更好用些，最好和某種極限環判定法建立聯繫。
另外，個人證明哥德巴赫猜想有一些突破，但最後障礙依然在素數分布規律上，還在瞎想用什麼數學工具可以找出可以更好的描述其規律的階段。
多圖慎入。
我個人認為『』數學直覺『』是三力之果：1長時間反覆思考，包括考察若干具體例子，見多識廣；2.大量反覆試算以確定邊界縮小包圍圈；3.神來之筆的非理性靈感。至於數學大師們是如何看待數學直覺的就不得而知了。根據我閱讀數學文獻經驗，很少有數學大師討論自己的思維痕迹（包括直覺），也許因為這是他的獨門絕招，也許因為他自己也說不清，也許因為行業慣例-說出來就顯得很low.
上文中的橢圓函數（雙周期亞純函數）如下：
最初的數學都有幾何直觀作為相應的切入點 當發現現有的東西無法解決更複雜問題的時候 就需要新的領域和新的知識作為開路者 然而新的領域知識一定在具像化之後不能和已有的知識發生衝突 也就是說把已有的知識當作是更高階知識的一種特例 這時候我習慣將特例在更抽象的知識下按照定義性質 定理 推論自己推導一遍 以此積累我的直觀也就是所謂的直覺
等等，題主。我先確認一下，你說你憑直覺看完了抽代？？？ _(:з)∠)_
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