除了靠猜和（不優雅的）構造，如何函數化特殊數列？

例如：
數列，1,1,1,0,-1,0,1,0,-1,0…,我的思路是從第三項的循環部分構造正弦函數，而前面的兩個1就會很突兀，所以聯想（cai)到sinc(x)在x逼近0是為1。所以我最後決定用sgn(sinc(Pi(x-2)/2))來表示通向數列（函數）。但因為此函數「醜陋的」不光滑性質，有些失望。
所以，問題是，有沒有很Mechanical方法去猜數列一般函數？

已試過如下方法：
想_天賦不夠，讀書太少_回去學去;
查Oeis網站_沒有查到_等;
用mathematica的FindSequenceFunction去解_大多都出不來_呵呵。

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感謝@Gee Law
我的原意：
原數列只是一個例子，來源自Bernoulli number的一些推導和簡化，希望找到連續函數使得其能推到小數伯努利數，e.g. BernoulliB[1.5]。
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另更問題描述其實是舉個例子，但不局限於此例子，個人認為原例子與光衍射有關，故用到Sinc函數，並非在玩小學奧數題。

1,1,1,0,-1,0,1,0,-1,0,...
= -1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,...
+ 2,1,0,0, 0,0,0,0, 0,0,...


所以答案就是

cos(pi*(x-2)/2) + max(2-x,0)


所以現在的問題就變成了如何去求max函數的「光滑」的解析式，搜了一圈好像沒什麼辦法，只看到了這個：Is there an analytic approximation to the minimum function? 。這裡面的東西都只是近似，不能得到完全精確的值。

Stupid Question...

函數展開式係數正好是你要的

當然這個是數列頻域上的表達式,轉化回時域用Z變換...

你問學信號的同學是什麼吧...

OEIS當然不收錄這種瞎搞的數列......

讀書太少想太多...

不可計算的計算性方法（會得出可計算的式子，但是得出式子的過程不可計算）：知乎專欄。

非計算性方法（可能得出不可計算的式子）：【亂出題的都進黑屋！】慢增長整整數列的通項公式_數列吧_百度貼吧

實際上為什麼執著於優雅和初等函數呢？這兩件事情都很無聊（何況題主沒有定義優雅），初等函數不能表達一切可計算函數，可計算函數不能表達一切初等函數。

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更新 1：題主這是 X Y Problem 的典範啊，而且還是 zero-knowledge questioning。把一個數列延拓的方法感覺有很多，這裡拋磚引玉一下。

考慮該數列的某種生成函數，例如指數生成函數或普通冪級數生成函數，那麼我們熟知數列和函數各階導數的關係，於是我們可以用分數階導數、實數階導數進行延拓。