數學期望的含義是什麼？

12-01

數學期望也有翻譯成」預期「的，在一些研究中，例如資產定價理論里，幾乎是把這個數學上的」預期「和人心理上對資產價格的」預期「等同了。但看這個例子：扔一個均勻硬幣，正面+1分反面-1分，則數學「預期」是0，但是每個人都知道結果只可能是+1或者-1，不可能是0，自然不會有人」預期「結果是0分。
總之，誰能給數學期望一個直覺上容易接受的解釋嗎？

簡而言之，甜甜圈的重心也不在甜甜圈裡。

先上總結，期望是基於概率基礎的，是對未知的預期。TZ應該分清楚一次的實際結果和你預期的結果兩者的區別。
以離散情況為例。
$E(X)=sum_{}x_{i}p_{i}$
你首先是已知在每一狀態 $i$ 下的取值 $x_{i}$ ，以及概率 $p_{i}$ 。然後你才能推斷出期望。而概率在大多出情況下是由頻數近似而來的。
頻數就是在事件發生的次數/實驗的總次數。在這個定義中，就已經隱藏了大樣本的條件了。
因而，期望就是在多次實驗之後，你預期的結果。而不是你下一次，或者某次實驗的結果。

一句話，均值是隨機變數，隨機變數，隨機變數（具有概率特性）！（重要的話說三遍），期望是常數，是常數，是常數（不具有概率特性）！（這兩個完全是兩碼事，樓里有些回答自己都沒搞清楚）

隨機變數只是「事件」到「實數」的一個映射，如樓主，我也可以說正面=5，背面=7，這樣期望就是6，因為事件具有概率性，故隨機變數具有概率性。

方差是隨機變數到期望值距離的期望，隨機變數最有可能落在「期望值」附近，不信你算算D(X)=1(D(X)=E((X-E(X))^2)和E((X-1)^2)=2和E((X+1)^2)=2。不管你信不信，從數學上講，老子就是最有可能取值為0。這也說明了根據數學期望做決策也存在一定的不合理的因素。

觀測n個的隨機變數Xi（i=1,2, ..., n）（觀測n次），n次觀測值的平均值依概率收斂於n個隨機變數期望的均值（大數定律）。

n個隨機變數和的分布的極限分布是正態分布（中心極限定理）。

數學期望就是取平均數的意思

三個數字，1 2 6 平均數是3 數學期望也是3 因為1 2 6出現的概率各為1/3 所以期望是1*1/3+2*1/3+6*1/3=3

按照你對預期的理解，數學期望不能翻譯成預期，因為數學期望是取平均數。

均值的均值
均值的均值的均值...

一句話，概率加權平均，其中權重是概率。數學上又是積分又是測度的處理，為的是把這種評論嚴格化。

題主想要理解數學期望的物理含義，首先你得給你的問題賦予明確的物理意義，不妨我們重新定義該問題：在一場賭博遊戲中，給定一個均勻的硬幣，記隨機變數為每次你的收益，即拋出正面贏一塊錢（x=1），拋反面輸一塊錢（x=-1），如果你拋了足夠多的次數，那麼你的平均收益為0，即期望在該設定下的物理意義。

我認為@He Jingyu 的答案不完全準確，並且第一句就誤導了知友。
期望Expectation，是由概率密度函數定義的，手機就不給公式了。是講一個變數所符合的分布的特性。
均值Mean，是樣本的特性，假設一組分布未知的樣本，均值仍然是可以計算的。更極端一點，這幾個樣本分布特性並不一樣，仍然可以求出均值。
為什麼這兩個概念會經常混淆呢？
因為實際中概率密度函數很難求，期望往往是其中一個未知的參數。然而，如果把獨立同分布的一組樣本均值作為一個新隨機變數，其期望是等於單個隨機變數的期望的，而且隨著樣本數的增加，新隨機變數的方差是越來越小的，因此可以作為期望的一個估計。大部分時候均值都是這麼用的。
希望有幫助。

字面上理解就是我們期望能夠得到的值，而數學意義上是加權平均。直觀地理解，一個我們知道其參數的分布來說，其所有情況的權值，根據其概率的加權平均不就是你在無數次對這個分布進行隨機能得到的權值的期望值嗎？

你也只知道一次的結果不是+1就-1，也就是概率五五開，那很多次之後，就是一半是+1加上一半是-1，不就0了么。
對很多次之後結果的期望是0。注意，是很多次之後！

從期望的定義出發，拿出概率課本。

如果無窮級數Σxi ·pi絕對收斂，則稱此級數為隨機變數X的數學期望，記E(X)＝Σxi·pi，其中i從1到正無窮。

拋硬幣的模型的級數是發散的，所以不存在數學期望。

以前我還真不知道為什這個級數要絕對收斂，謝謝題主哈哈~

任何公平的賭博，理性來說，收益都是零。

就題主所問，在樣本容量夠大的情況下。得分基本就是0。換句話說玩太多了(得分為0)就和不玩(得分為0)得分幾乎一致。個人覺得理解為預期真的沒問題。

眾數: 概率密度最大的取值, 也許更接近題主所謂「預期」的概念, 對應的現實含義是下次實驗最有可能發生的值; 而數學期望, 其數學定義就是加權平均, 一定是離不開多次加枚平均的過程(劃重點: ①多次, ②加權平均)。

期望值既然是描述隨機問題的一個手段，那麼當然反應的應該是一個「平均」的情況。以樓主問題而言，預測下一次硬幣的正反可不是平均情況，而是特定一次的情況。
換一個情形。假如我和你玩遊戲，扔硬幣，正面我給你一塊錢，反面你給我一塊錢。玩多次遊戲以後你的「平均」收益就可以用這個期望值0來描述。

以下條目寫得很明白
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%9C%9F%E6%9C%9B

樣本容量等於總體時的概率值…@陳浩先生能這麼說么

看了如上的回答，都沒有很本質的回答這個問題，諸如平均啊什麼的，覺得中學生都能理解，題主肯定也明白。。基於我正在玩手機，只能簡單談下這個問題。數學期望本身並不是一個平均數，也是一個隨機變數。從統計角度，一個基於樣本的無偏估計。從概率角度，需要定義事件的集合，sigma域，測度等。期望這個隨機變數就是各個隨機變數在其生成sigma域上的最佳逼近元。。