三門問題，將所有情況排列開來，得出的概率和正確答案不符，求解釋?

12-01

我選了門1，主持人打開門2，門2裡面的是山羊，那麼，現在所有可能的情況如下，一共是4種，見下圖

可以看出，我如果不換門，那麼門1後面是跑車的幾率是四分之二，即50%，換門3的話，得到跑車的幾率仍是四分之二，即50%。換不換門都無所謂。

但是網上搜的正確答案是應該換門，而且給出了相關的解釋。其中的一些解釋我都能看明白，但是並不很直觀，現在我把所有可能的情況都列出來，更直觀一些，但是得出的結果卻不一樣，求解釋。

顯然這不是「所有的情況」，你連基本的p3/3都沒列齊不是嗎？

好吧，你既然展開了門和羊車的排列，那理所當然也一定能想到有這樣6種情況
但是主持人沒有開門3，所以S5 S6被排除了，對不對？
排除法，不是不能用，是需要正確地用——你也應該將S3 S4的隨機概率除2才對嘛，對不對？
它們要被」排除一半「才是真正意義上的隨機概率。
所以換到車的概率是 2 / (2+2/2)=2/3
不換拿到車的概率是（2/2）/（2+2/2）=1/3

我們不試圖給門編號，這麼考慮試試看：決定主持人開哪個門的，是你的初始選擇
當你選了羊，這個概率是2/3，那麼主持人只能替你排除掉一個羊，換來的必然是車
當你選了車，這個概率是1/3，那麼主持人隨便開一個門，你換就拿不到車
(其中開羊1門和羊2的概率是1/3下的兩種對稱情況，各自概率為1/3再除以2，是1/6，合計仍然為1/3）

諾，換了就有車的情況是不是2/3?

或者說你這麼告訴自己：
我選了羊，那換門就一定是車；我選了車，換門一定是羊
喲，你看，是不是換了拿車的概率還是2/3?

所以問題很簡單，所有試圖用編號解決問題的，都很容易會犯相同的錯誤——輕率排除而不是全部展開。把主持人的人擇當成了隨機概率分布
或者你這麼想，主持人也是隨機開門，衍生一個特殊三門問題，那麼是個什麼情況：

認真算算，如果是真正的概率事件，哪裡有不同？
不同就在於紅色部分是真的概率上的「未發生」，而不是人擇
即：三個門之後有兩羊一車，你隨機選擇一個門A之後，主持人從剩下的門B，門C裡面隨機開了一個，是羊，那麼現在應該換還是不應該換呢？
如果是這個題面，那麼顯然換和不換各自是4/8但是毫無疑問一般的三門問題，是以」主持人知道那扇門後面有車「為前提的

【把題主可能最困惑的地方放在前面：問題在於出現情況1、2和出現情況3、4的概率不一樣。】

按照你的思路把表格列出來，一共有以下6種可能，如果車和羊被完全隨機地放在某扇門後面，它們概率均等。

首先，你在完全不知道每扇門後面是什麼的情況下，選擇門1.

接著，知道每扇門後面是什麼，並且必須開啟一扇有山羊的門的主持人，開啟門2.這個條件很重要，因為他的選擇是基於你的選擇做出的。此時主持人可以做出的選擇如下：

從上圖可以看出，在主持人隨機選擇的情況下，如果是情況1、2，主持人開啟門2的概率是50%；如果是情況3、4，主持人開啟門2的概率是0；如果是情況5、6，主持人開啟門3的概率是100%.

為了接下來更加清晰地說明，這裡將情況1、2下的「選擇開門2」寫作「開門2（A）」，將情況5、6下的「選擇開門2」寫作「開門2（B）」。

那麼，在主持人未開門時，開門2（A）情況出現的概率是1/6，開門2（B）出現的概率是1/3.
在主持人開門2後，開門2（A）情況出現的概率（同時也是情況1、2出現的概率，也就是選擇不換門能贏得車的概率）是1/3，開門2（B）情況出現的概率（同時也是情況5、6出現的概率，也就是選擇換門能贏得車的概率）是2/3.得出結論，應當換門。

也就是說，題主列出的四種情況是正確的，但四種情況發生的概率是不同的，前兩種情況出現的概率更大。類比一下的話，就像以下命題：「某理工大學有男女兩種性別的學生，那麼隨機挑選一個，是妹子的概率為1/2。」題主覺得對么？（也許這是很多工科男的夢想……）

拋磚引玉，希望能看到更專業/更易懂的回答。

此問題用不到貝葉斯，從博弈的角度看其實很簡單。不管你最開始選了哪一扇門，主持人打開一扇空門以後，剩下的那扇門一定和你原先選的門裡面的東西不同，你原先選了羊，則剩下的門後面是車，反之則反是。因為你原先選的門裡有2/3的概率為羊，所以剩下的那個也有2/3的概率是車。

我用Java程序模擬了100億次實驗，結果如下：

實驗證明，原選擇成功概率為1/3，新選擇成功概率為2/3.Java代碼如下。

package com.hjw.test.others;


public class ThreeGate {
	// 總實驗次數，100億次

	private static long experimentCount = 10000000000L;

	// 嘉賓堅持不換贏的次數

	private static long insistSuccCount = 0;

	// 嘉賓堅持不換贏的比例

	private static float insistSuccPro;

	// 嘉賓換門贏的次數

	private static long changeSuccCount = 0;

	// 嘉賓換門贏的比例

	private static float changeSuccPro;

/* * 三扇門用1、2、3表示。在一次實驗中，先隨機產生放汽車的門（1、2、3其中一個）， * 再隨機產生嘉賓的選擇，再從另外兩扇門中剔除一個"錯誤答案"之後，得到的另一扇門，最後比對"答案"，贏者計數一次。 * 最後分別計算堅持原來選擇和選擇換門贏得比例 */ private static void test() { for (long i = 0; i &< experimentCount; i++) { int carGate = ((int) (Math.random() * 100)) % 3 + 1;//carGate只能是1,2,3中的一個數 int gentlemenChoose=((int) (Math.random() * 100)) % 3 + 1; int otherChoose=getOtherChoose(gentlemenChoose,carGate); if(carGate==gentlemenChoose){ insistSuccCount++; }else if(otherChoose==carGate){ changeSuccCount++; } } insistSuccPro=(float) (insistSuccCount/ (double)experimentCount); changeSuccPro=(float) (changeSuccCount/ (double)experimentCount); StringBuilder sb=new StringBuilder(); sb.append("總實驗次數：").append(experimentCount).append(". "); sb.append("堅持原來選擇成功的次數為:").append(insistSuccCount).append(",比例為：").append(insistSuccPro).append(" "); sb.append("改變選擇成功的次數為：").append(changeSuccCount).append(",比例為：").append(changeSuccPro); System.out.println(sb.toString()); } //得到去除一個錯誤答案之後的那扇門。 private static int getOtherChoose(int gentlemenChoose,int carGate){ //假設gentlemenChoose=1， //假設嘉賓沒有選中，則gentlemenChoose代表一頭羊，主持人去掉一個錯誤答案之後，另一扇門就是汽車。 if(gentlemenChoose!=carGate){ return carGate; } //假設嘉賓選中了，嘉賓選了汽車，另外兩扇門都是山羊,隨意返回一個不是carGate的數字即可 else{ if(carGate==1||carGate==2){ return 3; }else{//carGate==3 return 1; } } } public static void main(String[] args) { test(); } }

問題出在這四種情況的概率並不相等。除非題目改成主持人自己也不知道哪扇門後面是跑車，他打開山羊的門完全是碰巧，這種情況下你列舉的四種情況才是等概率的。

按照原題，主持人知道每扇門後面分別是什麼，且遊戲規則規定他必須打開山羊的門，無論玩家選了哪扇門。在這樣的條件下，你列舉的前兩種情況各是1/3概率（因為主持人只能去開門2，沒得選），後兩種情況各是1/6概率（因為主持人要在門2和門3中間隨機選一個）。

我比較喜歡用一個簡單的解釋逆推，如果你在不換門的情況下拿到車，前提是什麼？前提是你必須在第一次就選對！

我覺得可以這麼想!
首先，3個門，每個門有跑車的概率都是1/3

然後你選擇了其中一個門，這時候你自動將這次的event分成了兩個結果。也就是說，你得到跑車的概率是1/3（你選擇的門），得不到跑車的概率是2/3（你沒有選擇的那兩扇門）。

第三步，主持人在你得不到跑車的那兩個門中去掉了一個錯誤答案！
這時候還有兩個門沒開，一個是你選擇的1/3概率的門，另一個是2/3！（注意不管主持人幫不幫你去掉一個錯誤答案，你的兩個結果的概率始終沒有變，即1/3和2/3）

最後，答案很清楚了，一個是1/3門，另一個是2/3門！當然是換啦！！

從排斥事件的概率來看比較容易理解，沒必要糾結每種情況.選擇不換門的話，得到跑車的概率是你一開始選擇時候就選中跑車的概率,1/3，那麼你換門得到跑車的概率即為2/3.

簡化一下問題，
假設門編號是將自己的選擇記為門1，
主持人選擇記為門2，
剩餘的門記為門3。

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重點在於主持人知道車的位置。

一種直觀的解釋是假設遊戲被重複300次。

平均100次你會選到山羊A，100次山羊B，100次跑車。

由於主持人一定會選山羊，所以題主列出的幾種請況中：

情況1平均發生100次（需換門），
情況2平均發生100次（需換門），
情況3平均發生 50次（不換門），
情況4平均發生 50次（不換門）。

也就是說換門後勝率是不換門時的2倍。

這個問題的原因在於我們語言的暗示所造成的歧義上面，主持人說選一個門，他是隨機選的還是只選空門直接影響了最後的結果，比較有意思的是，大家討論的焦點並不在產生歧義的地方，而是在基於這個歧義所建立的推論上。這裡用貝葉斯公式針對不同的理解給出了計算方法，供參考：三門問題與貝葉斯公式

如圖所示～

在第一隨機選擇的情況下。
如果第二次不進行選擇，概率為0.33。
如果第二次選擇是隨機，概率為0.5。
如果全部選換，概率0.67。

我一直覺得，三門問題不是個數學問題，而是個心理學問題

我覺得實際的問題就是在主持人開門之後讓選手決策是否換門。假設這時候來了一個選手2，從選手2的觀點來看就是概率就是1/2了。
我覺得這一個題目不適用條件概率的計算方法。因為條件概率求的是」事件A在另外一個事件B已經發生條件下的發生概率「。這個遊戲當中，事件A是抽中車，事件B是主持人開羊的門。由於羊有兩隻，故主持人開門的概率是100%，且沒有提供出選手抽中車的任何信息。故事件A和事件B是獨立事件，故P（A|B）=P（AB）/P（B）=P（A）=1/2。
有人會說P（A）應該是1/3，但是實際上以上假設中事件A是抽中車，而不是」第一次選擇即抽中車「。在以上遊戲中，選手第一次選選門和主持人開門雖然時間上具有先後順序，但是因為主持人開門沒有提供出選手第一次選門結果的任何信息，故在概率上兩者等價於同時發生。
就像在3個球（2個白球，1個紅球）裡面不放回，也不觀看結果的連續抽取2個球，抽中紅球的概率等價於一次性抽取兩個球。如果在抽球的時候允許選手觀看結果，則第一次即抽中的概率是1/3，需要進行第二次抽球的概率是2/3，第二次抽中的概率是1/2,，故總的概率=1/3+2/3*1/2=2/3。但是是否發生第二次抽球是不確定的。
而在羊車門的遊戲當中，已經確定主持人開門的概率是100%，故該遊戲從結果上就是讓選手2選1。
PS：其實題主的本意和我的一樣，應該是第一次選車和主持人開門是一起發生的事件，所以只能產生4種結果。就像是投擲一次4面的骰子出現的結果一樣。如果不用條件概率的觀點拆分成兩個事件的話，4種結果的確是等概率的。
「羊車門」經典概率題中不換門選中車的概率是多少？ - 數學
我之前沒有搜索到題主的這個問題，就又另外開了一個相同的問題啦。也歡迎大家到我的問題底下答覆。