蒙提霍爾問題（又稱三門問題、山羊汽車問題）的正解是什麼？

12-01

假設你在參加一個抽獎遊戲，主持人在三個小碗分下面放了1塊錢、1塊錢和10000塊錢的籌碼。你選中哪一個，你就可以領到對應的錢。當你選定一個碗之後，主持人翻開剩下兩個碗里，下面有一塊錢籌碼的碗給你看。並且，給你一次機會選另外一隻碗。請問：應不應該換？為什麼？

個人認為換不換是一樣的…但是他給了一個別的答案…極度好奇…

涉及到概率的問題，如果想解釋得通俗易懂，讓非專業人士也能很容易明白，那就不適合引入太多的專業術語和概念。為了方便大家的理解，我的回答不會涉及任何特別專業的辭彙。

我們先玩三個遊戲吧。

遊戲1.有三個盒子，一個盒子里有鑽石，其它兩個什麼都沒有。你先選了一個盒子，放在你的書包里。主持人把另外兩個放在他的書包里。這時候問你，要不要用你的書包換主持人的書包？

分析：你的書包只有一個盒子，主持人的書包有兩個，很顯然，主持人的書包里有鑽石的可能性更大。所以應該選擇換！

遊戲2.有三個盒子，一個盒子里有鑽石，其它兩個什麼都沒有。你先選了一個盒子，放在你的書包里。主持人把另外兩個放在他的書包里。然後主持人從他的書包里扔掉一個沒有鑽石的盒子。這時候問你，要不要用你的書包換主持人的書包？

分析：主持人從他的書包里扔掉一個沒有鑽石的盒子，這個行為並不會改變書包里有鑽石的概率。所以既然遊戲1要換，那麼遊戲2同樣要換。

遊戲3.有三個盒子，一個盒子里有鑽石，其它兩個什麼都沒有。你先選了一個盒子。然後主持人從另外兩個盒子中扔掉一個沒有鑽石的盒子。這時候問你，要不要用你的盒子換剩下的那個盒子？

分析：遊戲2相對於遊戲3，唯一的不同是增加了「書包」這個概念，但其實有沒有把盒子裝入書包，並不會對結論產生影響，本質上遊戲3和遊戲2是同一個遊戲。所以遊戲3同樣要換。

而遊戲3就是題目中所描述的蒙提霍爾問題。因此結論只有一個字：換。

題主感到疑惑的地方在於：最後還剩兩個空碗（或門，下同），為何選擇其一的概率不同？我嘗試拋開數學推導，給一個直觀解釋。

題主顯然是片面考慮問題了。其實那隻被主持人打開的碗你也是可以選擇的，只不過已經知道它沒有獎金（或汽車）罷了。然而這個真實存在的選項卻被你腦補忽略了。

所以對於選碗來說仍然是三選一。你現在面臨的真正問題是堅持自己的初次選擇：1/3概率；還是換選另兩個碗（包括那個打開的空碗）：共2/3概率。

換一種更清晰的說法——

這遊戲相當於你和主持人博弈，你只能選一個碗，主持人就選剩下的兩個碗。顯然主持人的勝率是2/3。這個勝率和主持人是否打開一隻碗沒有關係，和主持人是否知道碗里有沒有獎也沒有關係，都是你自己先選的啊親！

現在給你一個機會，用你手裡的一隻碗交換主持人手裡的兩隻碗，你換不換？

如果上天能夠給我一個再來一次的機會

我會對主持人說三個字：

我要換！！！

特別鳴謝
《Business Insider》作者：Walter Hickey 翻譯：沉香玉

三門問題並不是什麼腦筋急轉彎，而是一個十分嚴謹的概率題。

如果有的朋友還是沒繞過來，可以找一些數學科普書來看，基本上講到概率時都會提到三門問題。

來自中文維基百科

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看完我們三分鐘漏洞百出的科學小視頻，你的生活也並不會變得更好。

三門問題是個很有趣的概率問題，未受過概率訓練的人會覺得非常反直覺。我最早聽這個問題的時候並沒有學過概率論，所以一直以來都很想認真搞清楚背後的機制。
三門問題如果沒有學過測度論的話，是很難從概率的角度理解乾淨的，而測度論不要說對於普通人就是大多數數學系的本科生也未必能學透。所以對三門問題的討論，普通的科普是很難說清楚的，就連維基上得用bayes的解釋也是有問題的。
絕大多數對三門問題的概率解釋，實際上相當於把答案假設好，然後裝模做樣的計算一番得出正確的答案，這樣的辦法是不行的。
下面我試著把三門問題從概率的角度徹底說清楚，對於概率問題來說，只要能把問題的概率空間構造出來，那麼理論上所有相關的概率問題都可以解決掉。三門問題里涉及4個概率空間，然後要用概率轉移函數的辦法才能把這4個空間構造成一個整體的概率空間。如果把三門問題寫清楚，其實概率轉移函數也就學的差不多了。
4個概率空間
第一個 $(Omega_{1},2^{Omega_{1}},mathbb{P}_{1})$ 其中 $Omega_{1}={omega_{1},omega_{2},omega_{3}}$ 其中 $omega_{i}$ 代表車在第 $i$ 個門裡。 $mathbb{P}_{1}(omega_{i})=1/3$
第二個 $(Omega_{2},2^{Omega_{2}},mathbb{P}_{2})$ 其中 $Omega_{2}={x_{1},x_{2},x_{3}}$ 其中 $x_{i}$ 代表人選了第 $i$ 個門。 $mathbb{P}_{2}(x_{i})=1/3$
第三個 $(Omega_{3},2^{Omega_{3}})$ 其中 $Omega_{1}={y_{1},y_{2},y_{3}}$ 其中 $y_{i}$ 代表主持人去掉第 $i$ 個門。
第四個 $(Omega_{4},2^{Omega_{4}})$ 其中 $Omega_{4}={z_{1},z_{2},z_{3}}$ 其中 $z_{i}$ 代表主持人去掉某個門後車在第 $i$ 個門。
第一個概率轉移函數 $kappa_{1}=((omega_{i},x_{j}),y_{k})$ 根據遊戲規則，為若車在 $i$ 人選了 $j$ 主持人去掉 $k$ 的概率。
第二個轉移函數 $kappa_{2}=((omega_{i},x_{j},y_{k}),z_{l})=delta_{il}$ 就是如果 $i$ 和 $l$ 相等就取1否則取0。
然後用概率轉移函數的辦法建立乘積空間，這個乘積空間就是我們要的三門問題的概率空間。
三門問題中不換門而選中的概率是個條件概率,已知選了 $i$ 門，主持人去掉 $j$ 門的情況下車在 $i$ 門的概率用Lebesgue積分計算如下： $mathbb{P}_{1}igotimes mathbb{P}_{2}igotimes kappa_{1}igotimes kappa_{2}(Omega_{1} imes x_{1} imes y_{2} imes z_{1})=int_{Omega_{1}}mathbb{P}_{1}(domega_{1})int_{x_{1}}mathbb{P}_{2}(dx_{2)}int_{y_{2}}kappa_{1}int_{z_{1}}kappa_{2}=1/18$ ，而 $mathbb{P}_{1}igotimes mathbb{P}_{2}igotimes kappa_{1}igotimes kappa_{2}(Omega_{1} imes x_{1} imes y_{2} imes Omega_{4})=int_{Omega_{1}}mathbb{P}_{1}(domega_{1})int_{x_{1}}mathbb{P}_{2}(dx_{2)}int_{y_{2}}kappa_{1}int_{Omega_{4}}kappa_{2}=1/6$ 所以最後的概率是1/3

註：
1.這個答案不是寫給沒學過數學的人看的，看不懂是很正常的，這不是裝逼，只是為了把問題真真正正的說清楚。
2.大多數聰明人都會用各種辦法給出正確的答案，但是學數學的人天生有一種不安全感，這種不安全感促使他們把問題用這種殺雞用牛刀的辦法寫清楚。

正解應該是要換，可能這個答案非常反人類直覺，為什麼要換呢，感覺是一樣的啊？於是我們舉一個極端的例子來方便理解。

假設我們有100扇而不是3扇門，只有一扇門後面有你想要的汽車，其他門後面居然全部都是羊駝

這個時候你選擇了1號門，你想這種百里挑一的機會我怎麼可能中呢，還是回家洗洗睡了吧。正當你要絕望的時候，突然主持人跳了出來說：我可以把剩下的98扇是羊駝的門打開，然後你再來決定換不換如何？於是出現了以下場景：

主持人好心地幫你打開了剩下是羊駝的98扇門，留下了37號門和你原先選擇的1號門。這個時候我問你，憑你的直覺，汽車會在哪扇門後面呢，你換不換呢？

從概率的角度考慮，你1號門後面有汽車的概率依然是百分之一，但是37號門後面有汽車的概率「刷」地一下變成了99%! 換吧騷年，不換可能就要騎著羊駝回家了 =)

Pictures credit to Numberphile

1、主持人抽走一隻山羊後，使得問題具有下面的特性：
特性1.如果當前選的是山羊，那麼就應該換另外一個；如果當前選的是汽車，那麼就不應該換另外一個；
2、由於問題本身具有一個特點——山羊比汽車多，所以問題具有下面的特性：
特性2. 第一次隨機從兩隻山羊和一輛汽車裡選，當前選中是山羊的概率比選中是汽車的概率大。
結合1、2，我們可以知道當前選中是山羊的概率比較大，所以應該換。

那麼究竟哪裡出了問題，我們來看看各個條件是如何對問題產生影響：
1、主持人抽走一隻山羊對問題產生了影響，即導致了問題具有特性1；
2、問題本身具有一個信息，即特性2。
大家都很容易知道主持人的操作會對問題產生影響，但第二個信息恰恰是這裡非常關鍵的一個可以利用的信息，但是很容易被忽略，所以很多人想不明白究竟最後結果是如何發生變化的。

我實在是太固執了，一直覺得主持人開碗之前是1/3，開碗之後換不換都是1/2，但是實驗告訴我錯了。

%change or not N = 3; change = true;

Total = 10000; count = 0; for i = 1:Total car = randi(N); %rand(randi(10)); %偽隨機數問題 first_choose = randi(N); %打開N-2個沒有汽車的門 if (first_choose == car) lefted = mod(car + 1,N)+1; %如果一開始就猜對了，則隨便留一個 else lefted = car; %如果一開始猜錯了，只能留汽車了 end if (change) last_choose = lefted; else last_choose = first_choose; end count = count + (last_choose==car); end str = ["不", "換"]; fprintf("換不換? %s: 正確率:%f ",str(change+1), count/Total);

實驗結果是：
換不換? 換: 正確率:0.667300

"If you change, you win when your original choice was wrong; if you don"t change, you win when your original choice was right." — Horst Hohberger

朋友圈同學轉的：

小明在一個學校上學，有一個妹子非常喜歡小明卻太羞澀難以表達。於是妹子天天祈禱，終於感動了上帝。
上帝找到小明:有個妹子喜歡你，我給你10000個妹子的名字，如果你把她的名字挑出來你們就能在一起。
小明想，我也不知道誰喜歡我啊，隨便寫一個吧。於是小明隨便寫了個名字給上帝。
上帝:小明啊，我現在從這10000個裡劃掉9998個錯誤答案，你可以選擇堅持當前的或者換剩下的那個。
小明想:反正是1/2，不換了。
上帝:這麼SB的人註定不配有妹子了。

其實理解條件概率就好啦

先說結論：這個題在題主給定的條件下是沒有辦法解的，因為我們不知道主持人的行為規則，也就不知道主持人翻開一個碗對應什麼事件。
令事件 $A$ 代表你選擇的碗里有10000元， $B$ 代表主持人翻開一個碗有1元。
我們知道用貝葉斯公式：
$P{A|B} = frac{P{A} P{B|A}}{P{B}}$
顯然， $P{A}=frac{1}{3}$ ，然而由於不知道主持人的行為，所以無法計算 $P{B|A}$ 和 $P{B}$ 。

如果我們加入主持人行為的條件就有辦法給出具體的解。
1. 假設主持人知道碗里的錢的數量，並且永遠只翻開有1元的碗。
於是 $P{B|A}=1, P{B}=1$ ，那麼 $P{A|B}=frac{1}{3}$ 。所以一定要換。

2. 假設主持人不知道碗里的錢的數量，翻開的碗是等概率分布的。
於是 $P{B|A}=1, P{B}=frac{1}{3} cdot 1 + frac{2}{3} cdot frac{1}{2}=frac{2}{3}$ ，那麼 $P{A|B}=frac{1}{2}$ 。換與不換無所謂。

3. 假設主持人知道碗里的錢的數量，並且僅翻開1元錢的碗如果你選擇的碗有10000元，否則翻開10000元的碗
於是 $P{B|A}=1, P{B}=frac{1}{3} cdot 1 + frac{2}{3} cdot 0=frac{1}{3}$ ，那麼 $P{A|B}=1$ 。所以一定不能換。

此問題不用從概率角度深入，從博弈的角度看其實很簡單。不管你最開始摸到了什麼，主持人打開一個以後，剩下的那個一定和你原先選的不同。因為你原先有2/3的概率是一塊錢，所以剩下的那個也有2/3的概率是1000元。

寫過一篇文章： Monty Hall 問題

之前這個問題也覺得是1/2
但是換一個思路就突然明白了：
1、你第一次就選中正確的門的幾率是多少
2、主持人100%知道哪個門是錯誤的，他排除的門100%是空門
用上面兩個思路來設想
100扇門。
問：你第一次選中正確的門的概率是多少？答：1%
主持人100%知道錯誤的門，他排除了98個門，剩下1個門沒開。
問：你第一次選中正確的門的概率是多少？答：1%
那剩下那個門99%就是有獎勵的。
主持人知道的信息是對概率計算有重大影響的，但不影響你第一次選擇正確的概率。

正確答案：換的話，贏的概率是2/3；不換的話，贏的概率是1/3。

下面是直白的解釋：

第一次你選擇的選項是正確的概率是1/3，這個沒有異議吧？

在主持人去掉一個錯誤選項後，

那麼第一次你如果選對了，這時候換你就會換成錯誤答案；

如果第一次你選錯了，這時候換你就會換成正確答案。

自然換的話，概率就會變成1-1/3=2/3

你可以自己在紙上模擬一下，很容易就看出端倪。

或者你可以這樣想，題目給你的不是三個選項，而是兩組選項，

第一組是你選擇的選項，

第二組是你沒有選擇的選項，

那麼我們第一次選擇的是第一組，正確的概率是1/3，

如果去掉錯誤選項之後我們換了，

我們就等於選擇了第二組的兩個選項，

這時候正確率是2/3，就很明確了吧？

首先先給我的結論，概率是二分之一，所以沒有必要換，下面是過程：
1、探討概率問題是沒有必要的，因為概率只在假設時或者是在主持人開門之前是有效的，在主持人開門之後，虛擬的概率會變成實際存在的事實，就像薛定諤的貓一樣，概率只在開箱之前起作用，而在開箱之後，概率雲會塌縮成既定的事實，貓要麼死要麼生。所以這裡主持人開門的行為造成的概率的塌縮，假設有共有10個門，那麼在主持人每開一個門之後，中獎概率都會變化，從1/10、1/9、1/8...直到最後。
2、既然拋開了概率問題，那麼擺在我們眼前的就是很簡單的二選一了，因為到了最後兩個門，汽車在後面的概率都是二分之一。所以沒必要換門。
補充、有的人可能不會理解，假設100道門，那麼主人公一開始就抽中的概率只是百分之一，這幾率太小了。但事實卻告訴了我們這完全有可能實現，因為事實已經用本身驗證了這種情況的發生。這裡再舉一個例子，假設有一個男人，他父親肯定是男人（廢話），他爺爺肯定是男人，他太爺爺肯定是男人，他太太太太...爺爺肯定也是男人，也就是說在這個系族裡，每一代都會有男人誕生，這個應該算一個小概率事件，那麼此時，這個男人的妻子懷孕了，那麼按照概率學來說，再次生下男孩的概率要極小極小。而實際上我們都知道實際生男生女的概率都是1/2（只探討數學，遺傳基因之類的學科不考慮）。這個問題就和三門問題是一樣的，看起來不可能發生的小概率事件因為有了事實的驗證而使其的存在合情合理，不論主人公是在多少門中選的那一個，主持人都會將其餘的門敞開，而給主人公留下兩個門，這才是最後的事實。

其實太好回答了。你選擇了一個碗，猜中幾率1╱3。不過，這時主持人要你選擇，你可以用你的一個碗換剩下的兩個碗，你會換嗎？當然會換了，換完後你有兩個碗，猜中幾率為2╱3。在換之前，主持人打開了你沒選的碗中一個只有一元的碗，（因為主持人事先知道哪個碗是大獎，所以不會選錯。）這時再和你換，你會換嗎？當然換了，那個打開的碗沒有大獎，也就不會影響結果。而且概率還是2╱3。
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那些說是1╱3的是你沒想明白，主持人是給了你兩次選擇的機會，可不是一次。
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那些說1╱2概率的，是沒明白，你說是沒有第一次選擇時的概率，而不是整個事件的概率。

我來個小白版的概率解答。

為了解答這道題，首先得有點概率論基礎。

我們來學習或者複習下。
1，試想你面前有兩個信封，A信封面有100塊錢，B裡面沒有錢。那麼你隨機選擇一個，得到100塊錢的概率是多少。
既然是隨機選擇，那麼每個信封被選中的概率就是1/2，那麼選中A的概率是1/2，此時你可以得到100塊錢。選中B沒有錢。那麼得到100塊錢的概率就是1/2＋0＝1/2。同樣也可以說，你有1/2的概率得到100塊錢（不同措辭而已）。

2，試想你面前有兩個信封，A信封面有1/2的概率有100塊錢，B裡面沒有錢。那麼你隨機選擇一個，得到100塊錢的概率是多少。
既然是隨機選擇，那麼每個信封被選中的概率就是1/2，那麼選中A的概率是1/2，A信封中有100塊錢的概率是1/2，那麼此時得到100塊錢的概率是1/2 * 1/2 ＝ 1/4。選中B沒有錢。那麼得到100塊錢的概率就是1/2 * 1/2 ＋ 1/2 ＊ 0 ＝ 1/4。

如果比較容易理解上面的結論，那麼這道題比很容易解答了。
原題目如下：

假設你在參加一個抽獎遊戲，主持人在三個小碗分下面放了1塊錢、1塊錢和10000塊錢的籌碼。你選中哪一個，你就可以領到對應的錢。當你選定一個碗之後，主持人翻開剩下兩個碗里，下面有一塊錢籌碼的碗給你看。並且，給你一次機會選另外一隻碗。請問：應不應該換？為什麼？

雖然沒有明說，但其實這道題的目的就是得到那1000塊錢。
這道題的結果之所以和直覺相悖，就是因為題目中加粗這句話。先留意下，最後再說。

先說不換，這個很容易。
你選中哪個就是哪個，因此，有1/3的概率選中1000塊錢的碗。所以得到1000塊錢的概率是1/3。

再說換。
再次注意，2個碗下有1塊錢，1個下面有1000塊錢。
第一，我們有2/3的概率選中1塊錢的碗。此時，另兩個碗中，1個是1塊錢，1個是1000塊，主持人給你看1塊錢的碗。我們換，則一定得到1000塊錢。也就是說，換的話，有2/3的概率，我們肯定可以得到1000塊錢。
第二，我們有1/3的概率選中1000塊錢的碗。此時，另外兩隻碗下都只有1塊錢，主持人任意給我們看一隻，我們選另一隻，則只能得到1塊錢。也就是說，這時候我們必定只能得到1元。
則換的話，得到1000塊錢的概率是2/3 ＊ 1 ＋ 1/3 ＊ 0 ＝ 2/3。

因此，結論就是換的話有2/3的概率得到1000塊錢，不換的話只有1/3。

為什麼這道題的結論會和直覺相悖呢？並不難理解，就是因為那句話。

當你選定一個碗之後，主持人翻開剩下兩個碗里，下面有一塊錢籌碼的碗給你看。

主持人翻碗並不是隨機的，而是給你看下面有一塊錢的。這其實是變相給我們提供額外的信息，這個碗下面沒有。
不換就是沒有利用這個信息，換的話就是利用了這個信息。
因此直覺上來說，當然換的話概率更高，因為你利用了更多的信息。

可能有人還會有一絲疑問，即便主持人翻開了只有一塊錢的碗，剩下兩個碗有1000塊的概率也是一樣的吧。換不換不還是沒區別嗎？這裡要搞清一點，主持人是在你選擇之後才翻開其中一個碗的。你選擇一個後，碗之間的機會已經不平等了。
這些都是幫助直覺上理解的，解答的話還是用上面的數學。

極限法：
如果有999999999個碗，你選了一個，主持人翻開了99999997個，都是一塊，那換不換呢？
當然換啦，一下選中10000塊的幾率是1/999999999呢。

這個問題分析我們要先確定一個條件，我們首先可以堅持「一定換」這個條件來對問題進行分析。
堅持換理論，我們把問題改為紙牌，兩張黑牌一張紅牌，抽到紅牌算贏。如果堅持「換」的話，那麼我們第一次選到黑色牌就贏了，選到紅牌就輸了。而三張牌裡面有兩張黑牌，所以黑牌有2/3的幾率贏。
如果第一次選到黑牌，主持人排除掉一個黑牌，剩下那個肯定是紅牌，換了就贏。如果第一次選到紅牌。那換了肯定是黑牌。而三張牌裡面只有一張是紅牌。so

重點是 主持人是知道答案的，所以他的選擇改變了原本隨機的平等條件（和他是不是有意提示你無關）

其實可以簡單理解，只要分成3步

1.原本情況一：你選中（概率是1/3）
情況二：你未選中（概率是2/3）

2.主持人公布後：情況一（一開始選中）：若換選中概率0%，不換選中概率100%
情況二（一開始未選中）：若換選中概率100%，不換選中概率0%

3.也就是是說：若換情況一（一開始選中）：100%未選中（概率是1/3）
情況二（一開始未選中）：100%選中（概率是2/3）