有哪些數學定理或者數學知識驚呆了你？

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高考結束後，由於我有一本數學詞典，我在上面看到了素數定理，由於素數是離散的，而素數定理的表達式是連續的（x/log（x）與素數個數函數pi（x）的極限居然是1），離散背後居然與連續扯上了關係。真是不可思議！

還有就是黎曼假設，居然所有的非平凡零點都位於0.5這條線上，同樣讓我震驚！

還有miller rabin素數判定演算法，既簡單又有效，很讓我驚嘆人類的智慧。

大家是否有類似的體會呢？說說具體例子吧

任何一隻貓都有菊花（誤
所謂的毛球定理。

這個定理告訴我萌： $S_{2n}$ 上的連續向量場就一定存在零點(*/ω＼*)
很直觀的應用是：任何一個時刻地球表面一定有一個點是風平浪靜的~(也就是空氣靜止，如果我們只考慮水平方向的風。)

卡布列克數
123456790+0987654321=1111111111
1111111111^2=1234567900987654321

4938+17284=22222，
22222^2=493817284
真是一種對稱美，簡單美。

黎曼映射定理

Curry-Howard 同構

不是每個東西都有體積。

具體地說，我們無法為每個 $mathbb{R}^{3}$ 的子集（事實上是 $mathbb{R}^{n}$ ）指派一個非負實數 $V$ 滿足

$V(A)=1$ , $A$ 為單位立方體。
$A$ 與 $B$ 不相交時，有 $V(A+B)=V(A)+V(B)$ ,
$Asubseteq B$ 時，有 $V(A) leq V(B)$ ,
$V(A)=V(A+ar{w})$ ,即平移後體積不變。

大白話就是這樣的：

單位正方體的體積是 1 ；
兩個集合不相交，總體積就是二者之和；
當一個集合屬於另一個集合的時候，它的體積一定不大於另一個集合；
一個集合平移之後體積不變。

當你覺得這些都是顯然的時候，我特么告訴你這樣的體積不存在。

一個非常經典的反例是Banach，它把一個三維空間的單位球通過分割、平移和拼接，使得結果為兩個大小和原來一樣的單位球。
這是我遇到過的最震驚的數學知識了，有興趣的可以去看測度論。裡邊有很多種體積（測度），每種都有嚴格的定義和適用範圍（即 XX 可測集合才有 XX 測度），而並不是所有三維空間的子集均可測，因此產生了上述「悖論」。當然，對於我們遇到的絕大多數集合，體積（測度）這玩意還是存在的。

更新： @余翔這個答案講得非常好，大家可以看看。
為什麼定積分可以求面積？ - 余翔的回答

寫一個科普吧：《利用複變函數來科普費馬大定理的現代證明》
來源：很多年前，有一位MM曾經問過我，能否用相對簡單的語言描述現代數學中的一些大定理的證明框架。後來我感悟到，數學概念是一個門檻。若能科普，則應該涉及儘可能少的概念，顯然Atiyah-Singer指標定理不在其中。有趣的是費馬大定理的現代證明框架反倒很清晰（儘管證明細節高深與複雜），只需要一點複變函數知識就能看懂。下文的「單值化」概念可簡單等同於參數化。

估計工科大二水平的人應該可以看懂了。

肯定不止一個，這裡先說一個，這個被列為計算機史上最重要的幾十個定理之一。

1， Max flow/min cut theorem 最大流最小割定理，此乃運籌學線性規劃/圖論網路流模型/理論計算機近似理論/圖像分割應用里的非常經典的一個定理。
模型大致意思就是，從一張權重圖（weighed graph）找到從出發點(S=0)到到達點(t=5)的最大的流量（每條邊有capacity）。

妙處有四：
(0),首先這一點是所有network flow problem所共有的性質。眾所周知Mixed Integer Programming（MIP）問題一般是NP hard，因此演算法複雜度是指數級的。但是，網路流問題寫成一個MIP之後，我們解他的Linear Progamming Relaxation(LPR), 可以證明他的解該是整數的變數已經是整數了，也就是說LPR=MIP原問題，而LP解是Polynomial複雜度的。因此網路流問題這個原本是NP難問題，被理論證明為是Ploy可解的問題。（證明思路是求證係數矩陣是Total Unimodular.）
(1), 因此我們把Max Flow Problem可以直接寫成一個LP問題，而這個最大流LP問題可以等價於找一個最小的邊的切割問題，即它的LP dual problem，然後妙處在於這個等價問題上會有更好的性質去找更好的演算法(如Ford–Fulkerson algorithm)。
(2), 這個問題的演算法設計思路階段，可看作approximation algorithm範疇。而近似演算法的本意通常為解決一個NP難問題，因為演算法複雜度原因，演算法家通常退而求其次設計一近似演算法，使得演算法複雜度polynomial，但是可理論證明這個演算法得到的解是原問題global optimal的一個倍數K之內。然而高潮來了，這個最大流最小割定理設計的一套基於residual network的演算法，這個係數K=1。什麼意思呢？也就是說，近似演算法在這裡即能求得全局最優解！Perfect.並且，這個基於LP dual problem設計出來的演算法，實際效果上被驗證是比LP經典演算法Simplex Method快很多的。
(3), Yuri Boykov大神運用這個定理在圖像分割領域大展拳腳，其開山之作Graph Cut為這個領域開創了一片新的天地，成為這一領域最常用的倆個演算法之一，引用率達8000+。其正是基於這個定理既能保證全局最優，演算法複雜度又在polynomial基礎上的。

相關論文：

An Experimental Comparison of Min-Cut/Max-Flow Algorithms for ...

Fast Approximate Energy Minimization via Graph Cuts

Interactive Graph Cuts for Optimal Boundary Region Segmentation ...

Graph Cuts and Efficient ND Image Segmentation - CiteSeerX

更多運籌學與人工智慧的結合，敬請關註：

[運籌帷幄]大數據和人工智慧時代下的運籌學

最後按照慣例廣告一波：

歐洲、北美、全球留學及數據科學深度私人定製諮詢，從此DIY - Ruobing Shen的文章 - 知乎專欄

e^(pi *i) = -1,直接驚呆

用傅立葉級數展開，可以將「派」化成一些無窮級數的累和

stirling公式，第一見到時驚呆了，怎麼也想不到階乘這種東西居然也有漸進表達式

「任何曲線都可以用函數逼近。」

這個知識其實從中學時就知道，但是見識受限當時並沒有想太多，直到後來遇到了這個尼古拉斯凱奇曲線：

再後來又接觸了諸如matlab，mathematica的數學軟體，才發現原來隨便畫張圖都可以把它的函數通過數學軟體弄出來。

從此打開了新世界的大門…

$sum_{n=1}^{infty } frac{1}{n^2} = frac{pi ^2}{6}$

看到的時候吃了一驚
看到歐拉的胡亂解法又吃了一驚
等到看到嚴格的解法就不吃驚了

A metric space (X, d) is complete if every Cauchy sequence in X converges in X.

1x2x3x4x5x6x7x8x9x10居然等於10！

1.拓撲裡面各種反例；閉曲面分類定理；1維流形的分類
2.Riemann映射定理picard大定理
3.lebesgue控制收斂定理
4.泛函裡面重新敘述的貝爾綱定理
5.流形上微分形式的積分的定義和stokes公式
6.大數定理，中心極限定理
7.伽羅華基本定理
【持續補充中】

最帥的Menelaus定理證明方法

$e^{ipi } +1=0$ 看來看去還是歐拉公式最叼

高斯和歐拉兩個人都很震驚我…
樓主那個高斯的li(x) 感覺完爆了費馬和梅森
還有高斯那個「可以用尺規構建一個正n邊形的充要條件是n=f0f1… fi為費馬素數
以及伸縮級數等等……
歐拉肯定把「發明數學定理」的技能點點滿了…

1，心型線：極坐標r=a(1-sinθ)的圖像是心型線:

（還記得笛卡爾的情書嗎？）

2，在[0,1]的線段上描一個點可以保存無窮大的信息量。
舉個例子，你把一本《新華字典》數字化，都是0和1組成的數字流，我們把它轉換成10進位，它必然是很長很長的一串數字，假設是67134...然後我們在最前面加個0.，變成0.67134...它就變成了一個[0,1]上的實數，把這個點描出來，就保存下了這本書。然後你根據這個點與0點距離可以還原出0.67134...從而還原出《新華字典》。

3，理髮師悖論
一個理髮師，他只給那些不自己剃鬚的人刮鬍子。請問，他能否給自己刮鬍子？

4，兩個共軛實數的 n次方和接近一個整數，當趨向n無窮大時，n次方和等於一個整數。
有一個相關的Project Euler Problem 318 就是考擦這個特性:Project Euler Problem 318

5，莫比烏斯環
存在這麼一個曲面，你沿著曲面一直走，結果你會走到曲面的背面去。

然後我在公司隨手做了一個莫比烏斯環：

6，無窮大和無窮大是不一樣的。
（1）整數個數和自然數個數相等；
（2）一根長度為1的線段上的點數與邊長為1的正方形甚至立方體內的點數相等；
上面兩類無窮大分別稱為0級和1級無窮大。詳情可看這篇文章：無窮大——你從沒聽說過的事情 Infinity7，世界上存在表面積無限而體積有限的東西，比如：如何構建一個表面積無限而體積有限的模型？ - 數學
（還有很多分形圖像是周長無限但面積有限的，比如雪花符號的分形）
8,....
（還有，看贊的情況更新，O(∩_∩)O哈哈~）

學數理邏輯的

我們總是能證明。這個問題是無解的…