用 e^x 的泰勒展開證明歐拉公式是否正確？

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直接用泰勒展開應該是在實數域的展開，然後拿來在複數域做證明，感覺不對。

歐拉公式 $e^{iz}=cos(z)+isin(z)$ 其實是不需要特別證明的，因為根據 $exp(z)$ ， $sin(z)$ 和 $cos(z)$ 的定義立刻就得到了，但下面的Euler公式
$e^{pi i}=cos(pi)+isin(pi)=-1$
需要花點力氣來證明。

首先注意 $exp(x)$ 和 $mathrm{e}^x$ 之間的細微區別
定義 (指數函數) 定義指數函數 $exp:mathbf{R} omathbf{R}$ 為
$exp(x):=sum_{n=0}^infty frac{1}{n!}x^n,xinmathbf{R}.$
注. 這裡的指數函數只定義在實數上，我們稍後推廣到複數上。
根據冪級數的性質，可以得到指數函數具有下面基本性質：

對於每個實數 $x$ ，級數 $sum_{n=0}^infty frac{1}{n!}x^n$ 都是絕對收斂的. 所有對於每個 $xin mathbf{R}$ ， $exp(x)$ 都存在且為實數，冪級數 $sum_{n=0}^inftyfrac{1}{n!}x^n$ 的收斂半徑是 $infty$ ，並且 $exp$ 是 $(-infty,infty)$ 上的實解析函數。
$exp$ 在 $mathbf{R}$ 上可微，並且對於每個 $xinmathbf{R}$ ， $exp$ 。
對於每個 $x,yinmathbf{R}$ ，有 $exp(x+y)=exp(x)cdotexp(y)$ 。

可以用指數函數來定義Euler數 $e=2.718cdots$
定義. (Euler數) 定義Euler數 $mathrm{e}$ 為
$e:=exp(1)=sum_{n=0}^inftyfrac{1}{n!}$
$exp(x)$ 和 $mathrm{e}^x$ 之間區別很微妙，因為有下面的命題
命題. 對於每個實數 $x$ ，有 $exp(x)=e^x$
注這個命題對實數才成立，如果 $x$ 是複數， $mathrm{e}^x$ 我們還沒有定義，右邊的 $mathrm{e}^x$ 表示的實數的指數運算。根據這個命題，我們將交互地使用記號 $exp(x)$ 和 $mathrm{e}^x$ 。

我們現在將指數函數推廣到複數
定義. (復指數函數) 對於複數 $z$ ，定義函數 $exp(z)$ 為
$egin{equation}exp(z):=sum_{n=0}^inftyfrac{1}{n!}z^n end{equation}$
注. 使用比例判別法可知，對於每個 $z$ ， $exp(z)$ 都收斂，仍有 $exp(z+w)=exp(z)exp(w)$ 。我們有時也用記號 $e^z$ 來表示 $exp(z)$ ，但此時 $mathrm{e}^z$ 並不表示指數運算，只是 $exp(z)$ 的另一種寫法。
定義了復指數運算之後，就可以定義三角函數了
定義. (三角函數) 如果 $z$ 是複數，那麼定義
$egin{align*} cos(z):=frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\ sin(z):=frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}) end{align*}$
分別把 $cos$ 和 $sin$ 叫做餘弦及正弦函數。
注意這裡 $e^{iz}$ 表示的是 $exp(iz)$ ，不是指數運算，並且由於已經對於複數 $z$ 定義了正弦和餘弦，那麼它們對於實數 $x$ 就自動地有了定義。根據定義立刻得到
$e^{iz}=cos(z)+isin(z)$
根據 $exp$ 的冪級數定義，得
$egin{align} cos(z)=sum_{n=0}^inftyfrac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}\ sin(z)=sum_{n=0}^inftyfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1} end{align}$
最後定義 $pi$ 為
$pi:=inf{xin(0,infty):sin(x)=0}$
要證明 $cos(pi)=-1,sin(pi)=0$ 需要花點時間，然後就得到了著名的Euler公式
$e^{pi i}=cos(pi)+isin(pi)=-1$

解析延拓

正確.
C上的指數函數和三角函數都是用taylor級數定義的,那個證明只是定義的簡單推論.

誰告訴你泰勒展開只定義在實數域上的啊？
建議題主參看任意一本複分析的教材
此外冪級數定義就是指數函數諸多等價定義的一種，直接使用沒有問題。（準備知識自己學好么）

from wikipedia 泰勒級數

定義

在數學上，一個在實數或複數a鄰域上的無窮可微實變函數或複變函數?(x)的泰勒級數是如下的冪級數。。。

因為定義，在複數域上的exp就是這麼乾的，類似的在定義在函數上的exp比如常常在量力中見到的 exp(k
abla)
所以exp(I pi)其實沒那麼神異。

維基百科

歐拉公式是指數函數在複數域的定義，定義是不需要證明的。但是我們可以說明為什麼我們如此定義:因為這樣定義出來的函數是指數函數在複數域的解析延拓。

這是因為Cauchy Integral theorem.

其實證明遠遠不需要這麼麻煩。高中知識就可以解決。