複數的物理意義是什麼？

11-30

在信號與系統複數信號物理意義中有問題的詳細解說，但由於我是學物理的，所以對其解釋不是很明白，希望可以從物理的角度去理解，如果能結合電磁波傳播的波動方程解說是最好不過了

這個必須回答！

複數最直觀的理解就是旋轉！

4*i*i = -4

就是「4」在數軸上旋轉了180度。

那麼4*i就是旋轉了90度。

另外，e^t是什麼樣呢？

但當你在指數上加上i之後呢？

變成了一個螺旋線。是不是和電磁場很像？（想拿歐拉公式去跟女生炫學術的男生注意了：她們，真的，不CARE）

當然，更重要的意義在於複數運算保留了二維信息。

假如我讓你計算3+5，雖然你可以輕鬆的計算出8，但是如果讓你分解8你會有無數種分解的方法，3和5原始在各自維度上的信息被覆蓋了。
但是計算3+5i的話，你依然可以分解出實部和虛部，就像上圖那樣。

基於以上兩個理由，用複數來描述電場與磁場簡直完美到爆棚！
我們即可以讓電場強度與複數磁場強度相加而不損失各自的信息，又滿足了電場與磁場90度垂直的要求。另外，一旦我們需要讓任何一個場旋轉90度，只要乘一個「i」就可以了

受 @physixfan 答案的提醒，再補充一點。
正弦波在頻域可以看作是自然數中的「1」，可以構成其他數字的基礎元素。當你需要5的時候，你可以看成是1*5（基礎元素的五倍）也看以看成2+3（一個基礎元素2倍與基礎元素3倍的和）。這些用基礎元素構成新元素的運算是線性運算。
但是現在你如何用線性運算吧2sin（wt）變換成4sin（wt+pi/6）呢？

利用歐拉公式，我們可以將任何一個正弦波看作其在實軸上的投影。假如兩個不同的正弦波，可以用數學表達為：

好了，現在如果我想用第一個正弦波利用線性變換為第二個，我們就只需要將A乘對應的係數使其放大至B（本例為乘2），然後將θ1加上一定的角度使其變為θ2（本例為加30度），然後將得到的第二個虛數重新投影回實軸，就完成了在實數中完全無法做到的變換。

這種利用復指數來計算正弦波的方法也對電磁波極其適用，因為電磁波都是正弦波，當我們需要一個電磁波在時間上延遲/提前，或是在空間上前移/後移，只需要乘一個復指數就可以完成對相位的調整了。

（圖1圖3系自製，轉載不註明出處註定一輩子學理工沒女朋友）

題主關注我的專欄吧，近期會寫科普傅里葉的東西……與時間無關的故事 - 知乎專欄

謝 @Death Thermal 邀。我想了一下覺得與費米子有關。

首先說下我對物理意義這個詞的理解：這個詞指僅從某個物理的原理/基本方程出發就能推導出某物存在的必要性。

短答案：因為旋量表示一定是復的。

長答案：一個d維(d=2n+1或2n)Clifford代數的維數最小的忠實(faithful)不可約(irreducible)表示是旋量表示(spinor representaion)，該表示在同構的意義下唯一(unique)，維數為 $2^n$ 且一定是復表示。

如果上面論斷是錯誤的(我不太確定最小這點,比如Randon-Hurwitz number 怎麼聯繫到這裡的？)，那麼下面事實保證了結論的正確性：
一個d維(d=2n+1或2n)Clifford代數的 $2^n$ 維表示(狄拉克方程需要的表示)唯一、忠實、不可約且一定為復表示。

舉個例子，二維Pauli矩陣 $sigma_2$ 是復的其它的 $sigma$ 是實的。

為什麼有物理意義？因為如果Dirac知道 $gamma$ 的反對易關係但是不知道複數，他求解 $gamma$ 就會發現複數。也就是說他沒有從三次方程的解出發也能得到複數域這種數學結構。

@Octolet 摸摸我覺得你說的對稱性的感覺是對的，不過我是從費米子這邊考慮的感覺這邊引進複數更必要。

---------------------------------------吐槽開始啦！————————————————————————
我覺得前面那些什麼複數表示旋轉之類的和問題都無關。沒有物理複數也表示在複平面上的旋轉，沒有物理 $mathbb{C}^1$ 和 $mathbb{R}^2$ 是同構的你用複數或者三角函數表示振動都行啊。但是沒有複數就沒有狄拉克方程了。

對於那些說複數沒有物理意義的，讓我引用楊振寧的一句話：「量子力學裡最妙的就是相位。」相位可不是複數嘛。

複數不僅有意義，而且可以用圖示來優雅地解釋。

1、實函數與數軸變換
大家都認識 $y=e^x$ ，對於這樣的初等函數，我們從小就學會使用直角坐標系來刻畫它們：

它們的特點都大同小異：把實數軸對應到實數軸。然而，既然是一維函數，用二維圖像來描述未免太過奢侈。如果我們把數軸塗上不同顏色，再把一條新數軸上對應的函數值塗上相應顏色，就可以清晰地用數軸-數軸對應來展示函數這一關係：

可以發現每個函數的作用無非是在有些地方把數軸往中間壓了壓，在有些地方又把數軸往兩邊扯了扯（觀察圖中小棒棒之間的間距是變窄還是變寬）：

$e^x$ 越往左越擠壓數軸，越往右越拉伸數軸
$x^2$ 離0越遠，對數軸的拉伸越厲害（在圖上左半邊圖像和右半邊圖像重疊在了一起）。如果有一個小球在實數軸上向右滑行，那麼它的像則先向左滑行到0，然後再向右滑行。
$x^3$ 離0越遠，對數軸的拉伸比樓上更厲害，但是不同的是，向右滑行的小球的像也一直向右滑行。

是擠壓還是拉伸，就看函數在那一點的導數的絕對值是小於1還是大於1。因此導數大小的意義就是局部小區間在變換下的伸縮倍數。導數正負符號的意義是小區間是否反向，比如第二個函數 $x^2$ 在x小於0時導數也小於零，那麼指向右方的數軸負數部分經過變換指向了左方。

2. 複數與平面變換
既然可以用上面的數軸-數軸對應來描述一維函數，那麼類似地，就可以用平面-平面對應來描述二維函數。我們用一個複數表示平面上的點，用字母i區分縱坐標，就可以來研究複數函數 $w=f(z)$ 的性質，其中 $z=x+iy,w=u+iv$ 。假設我們已經默認了複數的運算：

加法： $z+w=(x+u)+i(y+v)$
乘法： $zw=(xu-yv)+i(xv+yu)$
極坐標分解： $z=re^{i heta}=rcos heta+i imes rsin heta$ ，其中 $r$ 是複數代表的平面向量到原點的距離， $heta$ 是和橫軸正方向的夾角。

拿出一個塗色的平面網格（從左上開始逆時針依次塗成紅黃藍綠色），把每個網點的像算出來，按順序連起來，就可以來研究複函數了。
2.1. 複數的加法：

從圖中可知，加法就是平面的平移，平移量恰好是那個複數對應的平面向量。

2.2 複數的乘法：
根據上面的運演算法則很容易得到函數 $w=iz$ 的二維對應關係是 $[x,y]Rightarrow [-y, x]$ ，畫在圖上就是：

仔細看可以發現，各點乘以 $i$ 的效果是平面逆時針旋轉了90度，也就是 $frac{pi}{2}$ 弧度。

各點乘以 $e^{i heta}$ 的後果是平面逆時針旋轉 $heta$ 弧度，這裡是30度。

乘以一個一般的複數，就是把整個平面按它對應的角度旋轉 $heta$ 弧度，再均勻放大 $r$ 倍。

因此，複數的加法就是自變數對應的平面整體平移，複數的乘法就是平面整體旋轉和伸縮，旋轉量和放大縮小量恰好是這個複數對應向量的夾角和長度。二維平移和縮放是一維左右平移伸縮的擴展，旋轉是一個至少要二維才能明顯的特徵，限制在一維上，只剩下旋轉0度或者旋轉180度，對應於一維導數正負值（小線段是否反向）。

3. 複變函數與伸縮旋轉
如果在每一個點處的旋轉、放縮和平移量都不同（導數不同），就可以得到比較複雜的複數函數，舉個例子：
3.1. $w=e^z$
$e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}$ ，從上一小節的知識可知， $e^z$ 的作用就是把平面上每個點按自己對應的坐標放大 $e^x$ 倍、旋轉 $y$ 弧度。我們立即可以猜測這個函數在x較大的地方放大的倍數更多，因為放大率 $e^x$ 更大；在x軸上只伸縮不旋轉，因為沒有 $e^{iy}$ 旋轉分量；在y軸上只旋轉不伸縮，因為沒有 $e^x$ 放縮分量：

請看左圖中的橫向中軸，它在右圖中的像也是橫向中軸，只不過左邊壓縮，右邊擴展，這正是我們一開始就提到的一維指數函數。而這個圖，恰好就是一開始那個數軸-數軸對應朝兩邊擴展形成平面-平面對應的結果。
再請看左圖中的豎直中軸，它在右圖發生了彎曲，貼在了單位圓周上，因此變成了一系列純旋轉的複數乘子。這一點在一維中可完全沒有類似物，請謹慎類比。
其他點介於純粹旋轉和純縮放之間。最後，請你回過頭再仔細看看這幅圖，你會發現這幾段話也適用於圖中的每個小正方形。小正方形變換前後的旋轉和伸縮比例對應於函數的導數，本例中函數的導數就是原函數自己。

3.2. $w=z^3+10$

加10就是整體向右平移10個單位，可以最後再看。
咱們來看 $w=z^3$ ,令 $z=re^{i heta}$ ,可以得到： $w=r^3e^{i imes 3 heta}$ ,這說明單位圓以內( $r<1$ )函數壓縮，單位圓以外( $r>1$ )函數拉伸，離原點越遠拉伸越厲害，正方形網格應該越來越大。
原正方形的四個彩色頂點的角度是135、225、315和45度，分別乘以3再取餘360到[0,360]度之間變成45、315、225、135。因此正方形的像從左上逆時針看顏色從紅黃藍綠變成了綠藍黃紅。

圖像也和上面的分析完全吻合：

舉上面兩個例子是想向大家展示伸縮和旋轉是優雅地解釋複數的有力工具。

4. 複變函數和小正方形
接著我們隨便看幾個複數函數對應的平面變換圖像：

漂亮吧，但是且慢！為什麼第二個函數圖像比較丑？因為二維函數很複雜，有一小類二維函數的變數之間具有一定關係，導致的結果是雖然整體變換多姿多彩，但是如果只觀察局部，這些函數一定把足夠小的小正方形變成小正方形，不會壓扁它或拆散它，只不過平面不同地方小正方形放縮和旋轉程度不同。第二個函數就不屬於這種特殊的函數類。

這種性質很好，圖像很美的函數稱為解析函數，它的變數之間的聯繫稱為柯西黎曼方程，局部小正方形的放縮和旋轉幅度恰好等於這個複函數在那一點的導數值（和第一段一維函數的原理極其類似，在那裡一維導數用來刻畫伸縮和左右方向）。簡單的一維函數，可以唯一地向兩邊擴展成為對應的復解析函數。

如果把初始的正方形網格用極坐標進行參數化，解析函數仍然把小正方形變換為小正方形，與上圖對應的圖像為：

以後看到復變(準確地說是解析)函數，可要記得它們的本質是對平面局部做旋轉和縮放，但保持小正方形形狀不變。而一個複數就是一個能把平面進行均勻縮放和旋轉的乘子。最後，請記得我的彩色正方形！

轉載不用通知我，請註明出處。

我想糾正題主的一點是,抽象數學工具不是設計出來就有意義的.當年數學家引入複數的時候也跟物理一點關係都沒有.
注意一下,"複數有什麼物理意義"和"複數在物理上運用時有什麼解釋"是兩個不同的問題
就好比乘法不是用來設計成買菜的,但是買菜的時候3元/1KG,買2KG就是2*3元,你不能就此說"乘法的意義就是在單價和數量確定時給出總價"
所以你要問"引入複數有什麼物理意義",那答案肯定是一點都沒有
但是複數在物理上當然可以有很多應用.別的回答已經舉了很多很多例子,那些都是物理上使用複數工具,然後研究者想辦法去賦予一個人類可以理解的意義.

看了半天沒有一個滿意的答案, 怒答一發.

不少學物理的人都覺得"物理意義"是一個沒有良定義的概念, 而且由於這個詞在民科之中極高的出場率, 導致大家對這個詞都很反感. 但是, 這並不代表我們不能為複數在物理中的大量應用找到一個合理的, 足夠"物理"的解釋.

引入複數的一個很"物理"的原因是因為對稱性.

大家最早在物理中接觸複數, 基本都是在簡諧振動那部分. 簡諧振動的動力學方程是:
$frac{d^2x}{dt^2} + omega^2 x =0$
這個方程, 其實蘊含著SO(2)對稱性.

為了看出這一點, 先注意到, 這個方程是一個二階線性齊次方程, 在知道其初值條件 $(x(t_1), dot{x}(t_1))$ 之後就能求解初值問題, 得到軌跡 $(x(t_2), dot{x}(t_2))$ . 考慮 $(x(t_1), dot{x}(t_1))$ 和 $(x(t_2), dot{x}(t_2))$ 之間的關係, 可以定義一個算符 $L(t_1, t_2)$ , 這個算符作用在 $t=t_1$ 時的初始條件 $(x(t_1), dot{x}(t_1))$ 上可以得到 $t=t_2$ 時的位移和速度 $(x(t_2), dot{x}(t_2))$ .

顯然, $L(t_1, t_2)$ 滿足的最簡單的一個關係就是: $L(t_2, t_3) circ L(t_1, t_2) = L(t_1, t_3)$ . 同時, 由於 $frac{d^2x}{dt^2} + omega^2 x =0$ 這個方程滿足時間平移對稱性, 所以我們有:
$L(t_1, t_2) = l(t_2 - t_1)$ . 因此 $L(t_1, t_2) = l(t_2 - t_1)$ 滿足的關係實際上是
$l(Delta_2) circ l(Delta_1) = l(Delta_1 + Delta_2)$ .

我們都知道, 方程 $frac{d^2x}{dt^2} + omega^2 x =0$ 的解有周期性, 也就是說 $L(t_1, t_2) = l(t_2 - t_1)$ 還滿足
$l(Delta + 2 pi / omega) = l(Delta)$ . 對於 $mathcal{L} = { l(Delta)}$ , $l(Delta_2)circ l(Delta_1) = l(Delta_1 + Delta_2)$ 說明 $mathcal{L}$ 是個交換群, $l(Delta + 2 pi / omega) = l(Delta)$ 說明 $mathcal{L}$ 同構於SO(2), 也就是所謂的旋轉群. 不僅如此, 由於方程 $frac{d^2x}{dt^2} + omega^2 x =0$ 是齊次線性方程, 所以 $L(t_1, t_2) = l(t_2 - t_1)$ 其實是 $mathbb{R}$ 上的2維線性空間 $(x(t), dot{x}(t))$ 上的線性變換.

到了這一步, 我們可以知道為什麼要引入複數了. 因為首先複數本身可以看成 $mathbb{R}$ 上的2維線性空間, 並且SO(2)在複數域這個 $mathbb{R}$ 上的2維線性空間上有一個自然的表示: ${e^{i heta}| heta in [0,2 pi) }$ 在複數乘法下自然構成了一個同構於SO(2)的群. 所以用複數我們可以方便地表示簡諧振動的解. 這件事嚴格來說是這樣做的:

首先, $(x(t), dot{x}(t))$ 作為一個 $mathbb{R}$ 上的2維的線性空間, 跟 $mathbb{R}$ 上的二維線性空間 $mathbb{C}$ 是同構的. 我們有同構映射 $f: mathbb{R}^2 omathbb{C}$ 以及 $f^{-1}: mathbb{C} omathbb{R}^2$ .
其次, $mathcal{L} = { l(Delta)}$ 同構於 ${e^{i heta}| heta in [0,2 pi) }$ , 有同構映射 $g: mathcal{L} o {e^{i heta}| heta in [0,2 pi) }$ . 有 $g(l(Delta))=e^{i omega Delta}$ . 我們希望 $g$ 是由 $f$ "生成"的, 也就是說 $f circ l(t) circ f^{-1} = g(l(t))$ . 我們可以取 $f((x(t), dot{x}(t)) = i omega x(t) + dot{x}(t)$
對於一個初始條件 $(x(0), dot{x}(0))$ , 有 $(x(t), dot{x}(t)) = l(t) (x(0), dot{x}(0))$ .
對於 $forall m{x} in mathbb{R}^2$ , $l(t) m{x} = l(t) circ f^{-1} circ f m{x} = f^{-1} circ (f circ l(t) circ f^{-1}) f m{x} = f^{-1} circ g(l(t)) circ f m{x}$
所以, 我們可以寫出簡諧振動的解, 為: $i omega x(t) = ext{Im}(e^{i omega t}(i omega x(0) + dot{x}(0))$ 以及 $dot{x}(t) = ext{Re}(e^{i omega t}(i omega x(0) + dot{x}(0))$ .

這就是好幾個高票答案所謂的"複數表示旋轉"的一個本質原因.

__________吐槽開始分割線__________
上面有個回答我引用一下:

沒有複數，大不了實部虛部分開寫，矩陣階數乘二而已，物理該咋辦還是咋辦。

這個答案的答主作為一個學物理的學生, 這樣的理解是不合格的. 複數域在ta的眼裡, 只是 $mathbb{R}$ 上的一個2維線性空間而已, 而複數域作為一個域的代數結構完全被ta忽略掉了. 如果真是這樣, 那麼我們無法說明用複數表示振動的合理性.
__________吐槽結束分割線__________

量子力學裡引入複數, 雖然說歷史上似乎是因為量子力學跟波動方程的關係引入的, 但是本質的原因不太一樣. 從對稱性的角度上來說, 經典量子力學裡的對稱性是Unitary對稱性, 相應對稱群是U(n). 而最簡單的情形U(1)群跟SO(2)恰好有很緊密的聯繫, 在複數上表示也很方便.

從物理的角度看, 用複數表示還是用矩陣表示其實不重要, 重要的是代數結構, 或者說描述對稱性的對稱群在什麼代數結構上表示比較方便. 所以, 真正的問題不是"複數對於物理有什麼意義", 而是"複數域這個代數結構對物理有什麼意義", 這樣的代數結構包含了怎樣的對稱性?

但是這個問題其實也還沒有回答完. 物理中其實有著更複雜的對稱群, 為什麼人們"止步"於複數域 (就是說更複雜的對稱群一般考慮在 $mathbb{C}$ 上的線性空間上的表示)呢?

其實, 還真的有引入比複數域更複雜的代數結構來研究比SO(2)更複雜的對稱性問題的例子, 比如著名的四元數, 可以用來研究三維旋轉問題(SO(3)群的表示). 但是, 這些比複數域更複雜的代數結構一般來說其性質遠沒有複數域那麼好, 比如四元數雖然是個除環, 但是不是域, 乘法不可交換.

這就說明了為什麼物理中要引入複數域, 並且"止步"於複數域. 複數域上一些基本的對稱群有自然的表示, 並且複數域的代數性質和分析性質都非常非常好, 所以物理學很自然地需要這個代數結構.

以上.

捷克物理學家 Lubo? Motl 正好有篇文章解釋複數在物理學中的地位〈Why complex numbers are fundamental in physics〉（網址：http://motls.blogspot.com/2010/08/why-complex-numbers-are-fundamental-in.html）。

因為我們所需要的某些代數結構實數不支持。

Update: 一個簡單的關係：虛數單位 $i$ 是 SO(2) 的生成元。只要有需要在二維平面上做旋轉的地方，就自然而然會有複數。

複數只是一種表示，你完全可以採用同構的東西來取代它，比如很多人提到的
$a+bisimeq left[ egin{array}{cc} a -b \ b a \ end{array} ight]$
所以，複數本身沒有任何物理意義。當然，如果精確到同構的話有一些物理上的概念需要用複數這個結構來表示，不過我學的不多就不說這些了。
說實話，我覺得一個非物理概念具有物理意義是一件很奇怪的事情。不過，如果說到複分析的話還是有一些和物理有關的東西可以講的。

但是，我們仍然可以用物理中的東西來理解複分析。這裡就不再談什麼複函數在局部相當於伸扭什麼的幾何性質了，幾何意義和物理意義不是一個東西。

複函數和向量場有著很大的關係。
首先，全純函數的實部和虛部都是調和函數，並且它們的等值線正交。於是一個全純函數的實部與虛部分別給出了滿足一定邊界條件的靜電場的場線和等勢面。當然，也可以用複函數來獲得一些其他的二維 Laplace 方程的解（比如導體板上的電流分布、熱流分布、平面不可壓縮流體等問題）。

這看起來有點巧合，下面是複函數與向量場看起來不那麼刻意的聯繫。
我們通常用兩個複平面之間的變換來表達一個（單值的）複函數，這裡採用一種新的表示方法：把每一點 $z$ 賦予一個複數 $ar{f}(z)$ 的向量表示，這樣，一個複函數就可以用一個平面向量場來直觀表示出來了（Polya 向量場）。
可以證明，在這種表示下這個場的散度與旋度同時為零當且僅當這個複函數是全純的。另外，環路積分 $oint_Cf(z)dz$ 的實部與虛部分別是這個環路的旋度與散度。

（按照上面的方法）冪函數 $f(z)=frac{1}{z}$ 對應的向量場和電偶極子的場線是一樣的， $f(z)=frac{1}{z^2}$ 則類似於四極子。常數場 $f(z)=z^0$ 在球極投影之後看又是一個無窮遠點的偶極子， $f(z)=z$ 則是四極子。其他的冪函數以此類推。這樣，洛朗級數，就可以看成是無窮個偶極子的疊加。你在有限遠出往原點走，就能看到局部形態慢慢變成偶極子的形狀再變成四極子的情況，往無窮遠點處走也是類似的。
至於留數定理，就是說只有 $f(z)=frac{1}{z}$ 給出的偶極子在環路積分下不消失，這樣，一個環路積分唯一的效果就是它對各個極點、奇點處展開中偶極子的作用效果。
（待續……）

另外，復射影幾何與量子力學有關。
一個量子態 $|psi angle$ 通常是被歸一化的， $langlepsi|psi angle=1$ ，並且可以乘上一個全局相位因子不影響其物理意義。這樣，我們也可以理解成量子態是把所有的 $lambda|psi angle$ 壓縮到一個等價類裡面後的結果。這樣的話我們就得到了復射影幾何。
我們知道莫比烏斯變換 $f(z)=frac{az+b}{cz+d},(ad-bc eq0)$ 在複分析中起到了重要的作用（比如它刻畫了單位圓盤上的全純自同構群），它看起來很不自然，不過它其實是射影幾何中的基本變換。
二維情況下，採用球極投影，我們可以把擴充複平面與黎曼球面等價起來，而這個球面就是量子信息中的 Bloch 球。在量子力學裡面重要的酉變換可以被視為是一個莫比烏斯變換的子群，這一類變換在黎曼球面上的作用效果是球面上的旋轉，也就是通常說的對一個 qubit 的量子門作用總是 Bloch 球面上的一個旋轉。
假如引入複數的推廣——四元數的話，我們可以看到四元數 $1,i,j,k$ 分別就是 Pauli 矩陣 $I,X,Y,Z$ ，利用這些東西可以方便地表示 Bloch 球上的任意旋轉。

PS：大部分內容來自《複分析：可視化方法》（Visual Complex Analysis）

回答另一個問題提到了Motl，然後想到了他寫的一篇文章，然後想在知乎推薦一下，一搜，還真有問這個的問題。答案中刷一遍，已經有人 @陸燕南推薦了Motl的文章了。於是我就說一些沒有幫助的話。

「複數的物理意義」這個問題本身是應該小心思考的。很多時候我們是這樣討論數學概念的物理意義的：物理上怎麼用這個數學，這個數學的物理意義就是怎樣的。

舉個例吧，三角函數用複數表示（歐拉），這不是物理；物理上的波因此而寫成複數，不能就說複數的物理意義是波（假如寫成e的冪的話）。否則的話，那乾脆一句話所有物理用的數學都有物理意義，具體什麼物理意義呢？就看它用在哪兒。——結了。

從數學出發的思考，可以問「這在物理上有哪些重要的用處」。而「有什麼物理意義」這個問題，則應該是從物理出發的思考才對。例如，一開始就是建立了一個模形，但推導中途或結果出現了一些意想不到數學行為；由於模型的出發點是具有物理意義的，所以希望給所導致的數學現象找到相應的物理意義。這就是真的找物理意義，而不是問一個數學的東西在物理中的用法。

本問題下面高票答案回答的其實只不過是複數的幾何意義。

複數本身不需要有物理意義, 但物理學的某些領域需要複數來描述。

複數域 $mathbb{C}$ 和二維平面 $mathbb{R}^{2}$ 的區別在於 $mathbb{C}$ 上是具有復結構的, 而這個復結構你可以理解為一種作用
i的矩陣表示為 $left( %左括弧 egin{array}{ccc} %該矩陣一共3列，每一列都居中放置 0 -1 \ % 1 0 \ % end{array} ight)$

偏個題。
世上本沒有意義，用的人多了自然就有意義了。

讓高維對象參與運算，並擁有像實數那樣好的性質，曾經是很多數學家的夢想。因為高維對象能夠帶著幾何信息參與運算，用實數表示的坐標來計算會丟失幾何信息。

現實是，只有1,2,4,8維具有較好的代數結構，1維對應於實數，2維對應於複數，4維對應於四元數，8維是八元數，它們的性質依次變差，而複數幾乎與實數具有同樣的運算性質。將它們統一起來的是幾何代數，但運算性質也不是那麼地好。

複數的構造方式有多種，其本質是引入一個平方為-1的基底i。即由1和i兩個基底張成的2維空間。它還可視為矢量空間span{e1,e2}在幾何代數下的另一組基底的表示span{e1.e2, e1/ e2}，第一個基為內積，對應實數，第二個為外積，是二矢，對應於i。從這個角度看，外積的反對稱性反映了虛單位中包含著二維的方向信息。複數最神奇的是既可視為二維坐標參與加法，又可以視為變換參與乘法。兩種性質的統一是2維代數的特殊性決定的。而這種性質並不是普遍存在的，其它維度都沒有，兩種角色必須分開。

至於物理意義，應該是幾何意義的延伸吧。有了一個好的數學工具，用上了自然就有意義了。

@Heinrich 的回答很有意思，讓我想起利用複數可以快速進行坐標（二維直角坐標）旋轉：

$r_{1} e^{iphi_{1}}=r_{0} e^{iphi_{0}} imes e^{i heta}=r_0 e^{i (phi_{0}+ heta)}$

個人觀點：對於記憶不住旋轉矩陣的學生來說，利用複數進行坐標旋轉是一個快速而正確的方法。

複數本身是一個代數閉域，不過在研究解析函數的時候具有完美的性質。

至於信號中的物理，無非是把三角函數改寫成複數而已，不必過分窮究意義，只看作工具即可。

上面各位的回答都很精彩。
我來補充一個比較特殊而且很不科學的理解。就是在某些情況下一個i可以看成對時間的一階偏導（當然可能會差出一個常數）。舉個例子說就是對於類似 $psi=e^{it}$ 結構的函數來說， $frac{partial^2}{partial t^2}psi$ 和 $ifrac{partial psi}{partial t}$ 其實差不多。薛定諤方程就是這樣的例子，對於時間只是一階偏導，實際上卻可以是波動方程。同時這個形式也保留了概率流的守恆。
當然這只是一個不科學的解釋，而不是為什麼要把數域擴大的理由。

個人的經驗是，（在經典物理相關中）有複數就有指數，有複數就有圓，有圓有指數就有波動方程。所以一般你看到複數就可以直接去找波在哪裡了。這個十有八九是準的，儘管有時候出現的不是那麼明顯（比如矩陣力學），但是總歸是有的。

當然在相對論中也有複數，我覺得那個純粹是為了湊度規的號差而給t標上了i。。。

沒有物理意義，物理和數學的聯繫點是坐標，通過坐標將函數映射到空間之中。複數存在的意義就是其可以使得在二維映射中的函數有很好的性質比如解析。所以通常上複數都用於簡化函數。通常說物理意義是有特定場景前提的。否則都是空談。

複數就是兩個實數，定義了運算規則、有順序的兩個實數。這是複數最最本質的定義。

運算規則定義為：

加法：

$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$

乘法：

$(a,b) imes(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

其它的運算盡量滿足與實數類似的公式。

能用2個實數描述的事情大多可以考慮用複數描述。幾個例子：

1. 平面的向量、點，都可以用2個實數描述，所以複數可以表示這樣的幾何圖形。

2. 一些變換可以用複數描述。比如平面圖形既要縮放，也要旋轉，這個事可以用2個數表示，也就可以用複數表示。

3. 特定頻率的正弦波，可以用幅值和相位兩個數確定，所以複數可以表示正弦波。繼而在機械振動、電磁學等領域複數都有廣泛應用。把複雜的波形寫為正弦的級數，就可以把波形用多個複數表示。所以複數可以用於各種各樣的信號處理。

類似的例子是無窮無盡的。能用兩個實數描述清楚的事，不妨嘗試用複數描述一下。

複數就是定義了運算規則、有順序的兩個實數。沒有任何玄妙的地方。

——————進階————————

我們也可以把更多實數合在一起定義為一個「數」。比如剛體在三維空間的旋轉運動，可以用3個數表示。然而，3個數合在一起，數學運算的性質不好。於是用4個數合在一起表示剛體在三維空間的旋轉運動，就是四元數。在剛體旋轉問題中，問題本身有3個自由度，我們卻用了4個數。因而，剛體旋轉問題中的4個數是不能任意的選取的，而是有約束的、有限制的。

但是沒有約束的，真正的四元數，可能在其它物理問題中有應用。

把幾個數合為一個「數」，並賦予良好的運算性質，就是一種在物理中有意義的數學方法。

補充：預感到會有很多人噴我，於是在前面說幾句。
我學習的內容只局限於自己專業的一畝三分地，而我後面的答案也是建立在這一畝三分地上的。如果跟我抱有不同意見的同學，那是再正常不過了。
我自己對於複數的學習歷程也經歷了從不了解，到覺得新奇，再到覺得精妙，再到覺得平凡這樣的過程，所以我很歡迎有人能跟我討論一些複數精妙的性質，作用，意義等等，也很希望每一個人都深入思考一下，以前自己覺得很精妙的東西，到底妙嗎，妙在哪？

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答案是：沒有意義。複數不但沒有物理意義，而且把它引入物理帶來的理論層面的意義也是被高估的。

首先：任何！！！數學！！！理論！！！都沒有！！！物理意義！！！

其次：沒有複數，大不了實部虛部分開寫，矩陣階數乘二而已，物理該咋辦還是咋辦。（引入複數理論上的意義被高估）

樓上說的越多的，越是被技巧繞進去的，不太想多解釋。

當然你要說完全沒有數學的話，物理能走多遠，這就是另一個問題了。很多最低層次的數學是根植於物理的，「1個」是物理，「1」是數學。

（正文完）
---------------（6.30.2015）補充
由於被 @Octolet 針對了，這裡反駁一句吧，沒興趣的跳過這一段。

矩陣乘法是可以包含幾乎任何運算的，自然複數運算也能包含在其中。

而同時，只要「矩陣階數乘二」的代價，就可以給所有復的系統一個實表示，這是非常重要的一點。
同時反過來說，引入複數僅僅是把一種矩陣運算寫成了緊緻的形式。複數僅僅是一種表示方便而已！！！
所以說，複數存在的的決定性意義在於它的運算規則，它提醒人們存在這樣一種運算，性質很好很有趣，你們都來玩呀。

至於那位 @Octolet 答主認為複數是為了描述SO2對稱性而引入的觀點，我做以下解釋：

依據我後面說的，物理里引入複數一般來源於一種傅里葉變換的表達形式，利用複數將傅里葉變換寫的很漂亮，而實質上是無關的。
而它所謂的SO2對稱性，並不來源於複數，而是來源於傅里葉變換。SO2群和傅里葉變換的關係可以參考 Peter-Weyl 定理，內容是：李群上的函數可以依據群表示分成一組函數空間的正交歸一基。傅里葉變換的所有基，即為SO2群的所有表示。
這裡面與複數沒有半毛錢關係，複數的引入依然是由於需要簡化運算帶來的。

因此：他說的完全跑偏了。確實發現了不得了的東西，卻與複數無關。

順便，他說這麼多正好印證了：說的越多的，越是被技巧繞進去的。

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補充2：
實際上我的出發點是，複數不但沒有物理意義，而且把它引入物理帶來的作用也是被高估的。

1.物理意義
物理意義講的是什麼，我們說電流的物理意義是電荷的定向運動，電荷的物理意義是電場的源，物理意義是什麼？是用通俗的語言來解釋物理量和物理量間的關係。複數怎麼會有物理意義？

2.高估
說起高估就要提到複數到底有啥用呢？
最大的、本質的、核心的、也許是唯一的用處在於：它方便。
1.它可以把二維變成一維，讓人的形象思維參與活動。（高維問題中形象思維一般是沒法參與的）
2.幾乎所有性質較好的函數都可以延拓到複數域，一個函數變倆函數。
3.解方程：有些微分方程方程變個正負號，你只要在解裡面加個i就行了。複數最初的引入也是由於解方程。
4.算積分：圍道積分。
5.數值計算：利用保形映射。
……

你會發現，在物理理論最核心的部分，複數總是能以很小的代價剔除出去，這恰恰說明它不是物理必須的，沒有了它，地球還是這麼轉，飛機還是這麼飛。
同時在很多偏嚮應用，計算，數值的時候，它就會讓計算變得很方便，從而是必要的工具。

方便算是多大的作用？這就因人而異了。不過不管怎麼說，它也僅僅是方便而已。

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補充3：
1.關於電路，信號，控制，量子力學裡的複數和相位。

實際上電路系統處理問題的基本思路是：把時域換到頻域。與之對應的數學技巧叫傅立葉變換。
複數與傅立葉變換的關係在哪？僅僅在於用複數可以把它寫的好看點而已……傅立葉變換和複數沒有任何本質聯繫。
所以說，電路和信號裡面的複數可以花極低的成本去除掉。

量子力學其實是完全一樣的，當你把波函數展開成平面波的時候，當你把相互作用表象的場展開成產生湮滅算符的時候，其實已經從位置表象轉移到了能動量表象，一樣是傅立葉變換，一樣無關複數。

虛部是幹啥用的？量子力學的演化是乘以一個相位因子，電路的演化是電矢量在複平面里轉圈（也是相位）這就暗示虛部的作用是表徵它的一階導數信息的。
事實上簡諧振動里虛部就是實部的一階導數（我沒算過不過應該差不多）

2.關於複數與進化的思路。
由複數而引出的許多概念其實比上面提到的低端例子更難繞開。這些概念引出了新的思路和體系，複數真正寶貴的並不在於簡化計算，而在於這些新的思路上。

比如複變函數（複分析）
複變函數真的是把我對數學理論的審美刷新一遍的學科。
這麼小小的一個理論竟然這麼精巧！每一部分都有力，精簡，不拖泥帶水。一兩個概念加一個定理解決所有問題。
多元復變貌似美感就差了一些，不過我了解不多了。

這裡的複數，變成了一個研究調和函數的工具：
而複變函數的極點為什麼性質這麼好，其實源於調和函數的性質很好，而調和函數的性質為什麼這麼好，源於它的定義比較好。
複變函數的極點，就對應調和函數的極點，就對應泊松方程的極點。
這裡的複數有什麼特別的么？這個真的不服不行。

贈送軼事一則：費曼和他的小夥伴打賭說，你用複變函數圍道積分算的東西，我都能用實數積分給你算一遍。後來費曼輸了，因為複變函數確實是太好用了，有的積分複雜到正常人類看一眼都不會覺得有解的程度，複變函數三秒就算完。

（題主說的是物理意義，我跑題略遠到了數學。不過看完上面的內容應該可以各取所需了吧。）

最後，我只是想說，複數的意義要在這裡找，別看那些傅立葉變換和簡化計算了好嗎……

是舞孃：
旋轉(exp(i*theta))/跳躍(注意branch cut）/我不停歇(exp(i*omega*t))；
模糊了年歲、舞孃的喜悲沒人看見（看見時會collapse）。

舞孃上鏡胖十斤的物理根據：

I = &

~ A^2

其實還蠻重要的，生性隨意不羈的各路物理學家們經常亂用 i 表示各種旋轉；簡而言之，chua地一下把虛部cancel掉的話，就可以觀測了；biu地一下把虛部湊成exp(ifx)的話就可以使用萬能傅立葉大祕法了。

$mathbb{C}_p$ 的物理意義是什麼？