如何看待美國數學家發現可無縫密鋪平面的五邊形？

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卡西·曼夫婦發現的新五邊形。圖中所有的五邊形都是全等的，作圖者給五邊形填上三種顏色，表明它們以每三個組成一組方式鑲嵌滿了整個平面。
中新網8月19日電據外媒報道，美國華盛頓大學研究團隊近日發現了一種新的不規則五邊形，相互組合後可完全鋪滿平面，不會出現重迭或有任何空隙，是全球第15種能做到此效果的五邊形。而距上次發現類似效果的五邊形已時隔30年，這項發現相當於在數學領域中尋獲了新原子粒子。

卡西·曼夫婦發現的新五邊形。圖中所有的五邊形都是全等的，作圖者給五邊形填上三種顏色，表明它們以每三個組成一組方式鑲嵌滿了整個平面。
　　報道稱，該研究團隊由華盛頓大學數學系副教授卡西·曼、他的妻子珍妮弗及學生馮德勞組成，卡西·曼夫婦專門研究數學平鋪及結點理論，一直致力尋找「完美五邊形」。

迄今發現的15種可鑲嵌五邊形
　　報道指出，兩人最終運用馮德勞設計的計算機程序，找出完美鑲嵌的五邊形。卡西·曼稱，這次發現有助人們徹底理解不同形狀如何密鋪平面。
原文鏈接：美國數學家發現新五邊形可無縫密鋪平面(圖)-中新網

當國內出現這種新聞的時候，習慣性要先找到外媒的報道。

（註：圖多較殺流量）

看來基本屬實，應該是科學而正確的報道。該發現由來自University of Washington Bothell的副教授Casey Mann, 其妻子Jennifer McLoud, 與一位在讀本科生David Von Derau共同得到，採用的是數學上理論分析再加以計算機程序計算的方式。
上圖覆蓋即為第15種新的覆蓋方式。其用了同一種不規則的五邊形的三種擺放形狀，五邊形形狀如下：

既然題目是如何看待，那麼下面應有一大堆歷史與科普，時間緊直接翻到最後看結論也無妨。
大概只需要小學初中的一點平面幾何知識即可理解大多數內容
（圖片來自網路或用win8自帶畫圖軟體畫制，侵刪）

本人知識水平肯定有限，所以答案中如果有什麼謬誤，請隨時指出，方便我學習改正
利益相關：某不知名數學系在讀學生
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一.什麼是平面密鋪理論
平面密鋪，直觀來說就是用不同的幾何形狀完全覆蓋一個二維平面，而且圖形沒有重疊。
或者實際上來看，就是鋪瓷磚…

（利用正六邊形，正三角形，正方形的密鋪）

（利用兩種正方形的密鋪）

（利用正八邊形和正方形的密鋪）

密鋪理論的應用頗多。在藝術中，設計建築的各種圖案，在堆放物體時，如何最大利用空間節省成本（常見於三維密鋪理論，對於層形對象則需要平面密鋪理論），在晶體學中，如何優化晶體結構等等情形中，都有密鋪理論的身影。
平面密鋪理論以其幾何的優美和對稱性的利用而知名。如果對幾何的美麗感興趣的，可以看一看這個視頻
【Ted-ED】探秘伊斯蘭文化的複雜幾何圖形 @柚子木字幕組

這個理論非常古老，從古希臘就有研究，不是看上去那樣膚淺。如給定一組圖形，其能否鋪滿平面，都是一個值得研究的問題。
數學家在討論平面密鋪時，有嚴謹的分類和定義，如周期性密鋪（使用的圖案是重複的），非周期性密鋪，單面密鋪（所有使用的圖形都同胚於一個圓盤），單密鋪（只使用一種全等的圖案），正規密鋪（使用高度對稱的同種正多邊形的單密鋪）。對於密鋪圖形的對稱性研究，還引入了Wallpaper groups（共17種），用群論的現代方法來處理問題。
為了防止跑題，我們只限於討論周期性密鋪中的簡單的多邊形單密鋪。
如果對一般的理論有興趣，或者想見識一下數學上對凸規則多邊形密鋪的分類，可以去wiki上查詢
Euclidean tilings of convex regular polygons

無特殊說明，下面的密鋪均指單密鋪。
二.規則的凸多邊形的單密鋪
我們先從三角形（非退化）說起，
1.任何三角形都可以密鋪整個平面。

證明：我們把2個三角形拼成一個平行四邊形，然後將平行四邊形上下疊放，從而密鋪整個平面。
2.任何凸四邊形（包括正方形，矩形）都可以密鋪整個平面。
證明:
我們稍微思考一下，剛才三角形的方法只能推廣到平行四邊形。
…
…

注意到四邊形內角和為360，所以我們可以先把四個四邊形對應不同的角拼在一起，使其拼滿一個360度。

如上圖，不同顏色的角被集中到中央，接下來就是用四邊形按照同樣的不同四角補成360度的方式將周圍補全。

然後人們就自然想到，能否用五邊形補全？出於自然的考慮，人們想到了正五邊形。可是事與願違：
3.正五邊形不能密鋪平面。
證明：首先，假設能夠密鋪平面，考慮任何一個正五邊形，以下情況不會出現：

否則在如圖邊與頂點交匯處的一部分，不能放入另一個正五邊形鋪滿。
所以如果能鋪滿，應該是邊對邊，點對點，但是我們來思考一下某一個頂點，

？號處依假設還能放入若干個正五邊形密鋪，和2類似，應該也是圍成360度角，但？處角度為
360-108-108=144度，鋪一個還有餘，兩個就放不下，導出了矛盾。
那我們來看看正6邊形，其密鋪方式大多數人都能直接想到

4.正六邊形能密鋪平面
證明：顯然。

當我們尋找其他的正n邊形時，我們不妨用簡單的數學來思考一下前面的結論。正五邊形不能密鋪平面是因為其內角整數倍不能形成360度.對於一般的正n邊形，其內角和為(n-2)*180度
一個內角的大小為 $frac{n-2}{n} imes 180$ 度.其若能密鋪平面，其內角度數某整數倍為360度，即 $frac{n-2}{n} imes 180$ 整除360，得
$n-2 | 2n$ ,從而 $n-2|2n-2(n-2)$ ,即n-2被4整除，所以n-2=1，2，4.
n=3，4，6
於是結合前面的分析有

5.正n邊形中，只有正三角形，正方形，正6邊形能密鋪平面，其餘正n邊形不能做到。
這就是為啥只有這幾種常見的瓷磚了……

看來，對於正多邊形單密鋪問題，我們已經有了完美的答案
然而，不規則的密鋪能否實現？數學家於是又著手於這個問題的解決，誰知道是一個大坑…

三.我們為什麼關注不規則五邊形？
雖然這個多邊形平面單密鋪問題從公元前就已經出現，可是其的圓滿解決方案遲遲沒有出現。
這一等，就等到1963年。
1963年是什麼時候呢？相對論已經成熟的應用於生活，計算機技術已經開始發展，希爾伯特問題提出已經過去幾十年，數學在泛函分析，數論，PDE，拓撲學，ODE極限環理論等等分支上已經取得了很多成就，然而這個多邊形單密鋪問題還在繼續等待著人類去挖掘。
摘自
http://freethoughtblogs.com/singham/2015/08/16/a-new-pentagon-tile-that-covers-the-plane/

「It was proved in 1963 that there are exactly three types of convex hexagon that tile the plane. And no convex heptagon, octagon, or anything else-gon tiles the plane.」
It turns out that pentagons are the only shape for which the number that can tile a plane is as yet unknown. Not all pentagons can tile the plane, and the familiar regular symmetric pentagon is an example of one that does not.

在1963，數學家證明只有三種其他不同的六邊形密鋪，我查了查如下：

（最下方為三種方式的不同結構基元(lattice)，轉自Hexagonal tiling
其中還給出13種拓撲等價的六邊形密鋪方式;六邊形密鋪較五邊形密鋪在自然界中常見，其應用也更多）

然後證明了任何凸n邊形（ $ngeq 7$ ）都沒有合適的單密鋪方式。

因此，你也猜到了……
只要解決了不規則的五邊形密鋪問題，就宣告了多邊形單密鋪問題的完美解決！！
這就是為什麼新五邊形的發現，讓一些數學家覺得很激動，乃至上了新聞被普通人看見。

於是，數學家的目光又轉向了五邊形……
（然而這個坑也特別大…）

四.五邊形密鋪(Pentagonal tiling)
進入正題…
讓我們開始我們對五邊形的探索之路吧！
1,2,3,4,5(Reinhardt 1918)
——獨特的幾何學家

對於不規則五邊形密鋪的研究，要從德國數學家Karl Reinhardt說起…
我們都知道1900年，Hilbert在巴黎數學家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀的數學家們去研究，這就是著名的"希爾伯特23個問題"。
來來來，讓我們看看第18個問題:

如何用全等多面體構造空間？

由德國數學家比勃馬赫（1910）、萊因哈特（1928）作出部分解決。
萊因哈特是誰？就是我們要談到的這位：
Karl Reinhart(1895-1941)

（簡單的傳記見Reinhardt biography.）
Karl Reinhart是一位有著獨特想像力的幾何學家，性格幽默，勇敢，大膽。他酷愛幾何研究，對多邊形的研究更是非常了得。
他在University of Marburg上過一年大學學習數學，之後一戰便爆發…戰爭期間，他在中學擔任過老師，也做著名數學家David Hilbert的助教，從Hilbert那裡學到了很多知識，也正是Hilbert激勵了他繼續研究他所熱愛的數學。（Hilbert是最喜歡的數學家之一，頗有長者風範）
其貢獻有解決了極大面積n邊形（所有邊長均為1的多邊形中面積最大的多邊形）問題的特殊情況，提出了Smoothed octagon（可能是具有最小背包密度即打包整理最浪費空間的平面對稱圖形）。
其還有一個重要的發現是：
憑藉出色的平面幾何功底與直覺，他發現了前5種不同的五邊形密鋪方式，開啟了一個新的研究方向。它們分別是：

1:利用兩個五邊形拼成了一個類似平行四邊形的圖案，然後類比我們之前的平行四邊形密鋪方式
2:類比之前的一般四邊形密鋪方式，形成一個可拼接的結構

3：將正六邊形密鋪方式恰當分割即可
4：類似2
5：這個很難想到，大概是借鑒了花瓣的形成方式和六邊形密鋪方式，將正六邊形的各邊改成稜角狀然後劃分成6個五邊形
……
當你以為五邊形研究會一帆風順的進行下去時，又過了毫無新發現的50年……甚至大家都產生了其實就只有這5種的感覺…
……
……
……
6,7,8 （Kershner 1968）
——科學分析給出新方式

這次由Kershners在美國數學月刊上發的一篇詳細分析的文獻給出，有理有據使人信服
On Paving the Plane on JSTOR

不得不說這3種五邊形密鋪方式非常奇怪，因而有一定難度。
6：像是平行四邊形密鋪的另一種變體
7，8：已經不能三言兩語說清其中的結構了…
然後這位Kershner想必也是費了一番功夫，用一大段論證了只可能存在這8種五邊形平面密鋪方式，然後事實大家都知道了…

10 （James 1975）
——站在Kershner的肩膀上

在閱讀了上面這位老兄的文章後，1975年Richard E. James III 經過思考找到了又一種…
所謂喜聞樂見的自打臉：

10：這個挺像先強行用拼成的五邊形構成一個類似的四邊形去鋪平面，然後用同一種五邊形去填補留下的縫隙，然後通過計算角度解方程使其能填滿。

等會，你可能會有疑問，為什麼是10不是9，9難道被誰吃了么？

那是因為突然出現了一位神乎其神的研究者…在默默無聞地研究這個問題，

9，11，12，13 （Marjorie Rice 1975-1977）
——家庭主婦也愛數學
馬喬里·賴斯（Marjorie Rice）當時是50多歲的家庭主婦，家住在California.她從《科學美國人》雜誌中看到了James 的文章，感覺很有趣…
Rice覺得在家閑著也是沒有事做，不如無聊研究看看吧，於是她成為了一名平面密鋪理論的業餘的數學家…於是，她開始培養其自己的業餘愛好：

只受過高中教育，沒關係，有大把空餘時間塗塗畫畫。
有些符號不理解，沒關係，那就創造自己的符號系統與研究方法。
於是…至1977前，她發現了五十多種多邊形密鋪方式（不止是單密鋪），包括4種新的五邊形密鋪方式…

什麼？你覺得她是民科？

數學家可不這麼認為…

經過教授 Doris Schattschneider驗證了其獨特的數學符號體系後，向數學家們表明了這一些發現的正確性……
我們來看看翻譯後版本：

這確定是一個人想出來的么……這個結構基元排列感覺略複雜，都是8個五邊形拼出來的圖形，大概就是先拼接再組合，形成4種不同的模式
和之前的相比，更加古怪奇怪了。
所以還是不自找麻煩去簡單分析別人2年得到的成果了，這絕對不是簡單的塗塗畫畫就可以得到的…

所以美國家庭主婦閑下來真可怕…恐怕James和kershner看見後內心也是複雜無比的心情……

14 （Rolf Stein 1985）
——21世紀前最後一次新發現

看起來是三個八邊形互相扣在一起形成一個結構基元(lattice)，然後結構基元(lattice)之間互相扣著，綠線的劃分是為了恰好得到了六個全等的五邊形，具體角度應該是由方程解出。

分析了這麼多，我們發現了結構基元(lattice)在密鋪理論的重要性，可以先確定結構基元，再去試圖劃分得到所需的五邊形，具體角度和邊長可以再列方程解出。
還有僅藉助人力枚舉法不太可取，進度太慢。也正如我所說的這樣，1985到上個月，都沒有新的密鋪方式發現。

15 Mann/McLoud/Von Derau (2015)
——計算機大法好

藉助計算機的枚舉，前一陣子數學家得到了最新的第15種，為什麼說這第15種很重要，我想原因也在於其結構的複雜性和將計算機程序引入枚舉工作的新思想。

12個五邊形湊成的結構基元(lattice)…
……
……
……
為什麼沒有人能提前發現這種新的密鋪方式了的原因，大概也能從圖中看出。人類有限的枚舉和計算能力，限制了進一步發現更多密鋪方式.
感謝數學家和計算機的辛勤工作，讓我們看到了這個美麗的圖形。
至於其構成原理，大家可以自己思考一下，具體可能是還要等他們的文獻發布，來解釋計算機程序的原理。
計算機大法好！

五.一些後記和它的應用

這個回答我累計寫了近二十個小時，終於算是成形了。
在此對那些質疑錢又花到哪裡去了或者覺得沒什麼用的人，只能說科學研究並不是為了取悅大眾，而是為了得到好的結果和進一步使科技進步。
不少人可能覺得這個沒有什麼用，的確，數學理論是很難直接第一時間投入到應用當中去，但是我們發現或得到的那些數學理論恰恰是推動若干年後工程界和科學界發展的要素之一。數學已經不可逆地融入了我們的生活之中，我們應該做到理解支持科學研究，如果不能也不要隨意嘲諷科研者或者始終堅持一份科學研究無用論。這種就是一種典型的反智主義。
如果覺得這個回答挺簡單的，可以嘗試繼續找出新的密鋪方式，這樣說不定可以推動這個問題進一步發展。

評論區有人詢問了拓撲等價的問題，至於如何確定各種五邊形密鋪方式的不同，還有如何分類它們，這些需要的就不僅僅是平面幾何知識了。我們知道密鋪方式往往是有對稱性的，這就不可避免的引入了群論。對於密鋪方式的分類，可以使用壁紙群（wallpaper group）分類，進一步有興趣的可以參考這個簡單介紹壁紙群的wiki地址
Wallpaper group

至於這個究竟有什麼實際應用，來看兩段話，摘自

Scientists Discover 15th Convex Pentagon Able To Tile A Plane : NPR

（一段關於這個發現的訪談，可以聽一聽）

REHMEYER:
Well, it"s always hard to predict exactly what the applications will be, though I think one prediction is safe, which is that artists are likely to make use of this pattern. There"s a very rich field of mathematical art. There are also likely to be more practical applications. Crystals form in these patterns. They make use of the patterns that are forced by geometry. Viruses also form - the structure of viruses are formed in similar ways. There may well be uses of it in engineering, in creating materials with novel properties that have molecular building blocks along these lines. But we will just have to wait and find out what clever scientists do with it.

Finally, a new pentagon shape that tiles in a plane

Of course, there are practical uses to finding tiling surfaces, from biochemistry to structural design.

「Many structures that we see in nature, from crystals to viruses, are comprised of building blocks that are forced by geometry and other dynamics to fit together to form the larger scale structure,」 he added.
「I am too cautious to make predictions about whether or not more pentagon types will be found, but we have found no evidence preventing more from being found and are hopeful that we will see a few more. As we continue our computerized enumerations, we also hope to gather enough data to start making specific predictions that can be tested.」

可見這個目前還沒有實際應用，我們期待科學家們的進一步發現，說不定能夠有所突破。
成果以後可能應用於：
1.生物化學,結構分析,晶體學。比如研究細胞，病毒或者晶體的排列方式等等
2.鋪瓷磚（也是國內外網友調侃最多的）
3.工程的結構設計還有建模
4.數學理論分支的進一步發展等等。（如果五邊形單密鋪問題被完全解決，則意味著多邊形單密鋪問題的完全解決，從而可以推進對Hilbert第18問題的研究

不過我覺得，美麗的圖形覆蓋和其簡單又複雜的結論，本來就是數學上的一種美麗，至於其實際應用並不是最值得在意的（因為我們不知道，也無法知道）。

因為每一次數學上的新發現，都是人類心智的榮耀。