繩子為什麼會扭在一起？
謝邀，不知道題主問的是不是這種情況：
固定一端，沿箭頭方向扭轉另一端繩子，繩子的中部就會自動擰卷在一起（我可憐的充電線）。這是因為繩子扭轉時產生了內部應力，中部的擰卷可以減少扭轉，也就是減少應力……
好吧我不說物理了，還是談談數學。
這其實是因為，其中
是環繞數，
是絞擰數，
是扭轉數，而
是同痕不變數，所以扭轉數與絞擰數的和是守恆的。
扭轉數減少了，絞擰數就會相應增加，反之亦然。美國幾何學家懷特在其1969年發表的博士論文里證明了該公式。
好，接下來我試著解釋一下。
首先，第一個概念。如果一個紐結或鏈環能在不剪斷不粘合的情況下連續地變成另一個紐結或鏈環，那麼這兩個紐結或鏈環就是同痕的，比如兩個同痕的紐結：
兩個同痕的鏈環：
你問紐結和鏈環有什麼區別？簡單來說，紐結就是一個圈，鏈環就是隨便多少個圈。所以，紐結也是一種鏈環，被稱為平凡鏈環。
而同痕的本質可以由三種基本變換（通常被稱為初等變換）來刻畫：
R1（消除或添加一個卷）：
R2（消除和添加一個疊置的『二邊形』）：
R3（三角形變換）：
注意，這三種初等變換是在局部進行的，在變換的部分不能有其他線介入，比如：
正確的變換會得到不一樣的結果：
如何證明兩個鏈環同痕呢？我們可以找一種方法通過初等變換把一個變為另一個，比如下圖的左上與左下兩個紐結同痕：
可是怎麼證明兩個鏈環不同痕呢？這就難了，因為找不到初等變換的方法並不意味著方法一定不存在。所以，我們需要藉助一些別的工具，比如瓊斯不等式。不過這跟本文關係不大，就不具體介紹了。
每一條閉曲線都有兩個相反的繞行方向，當我們把鏈環的每一個圈都選定方向之後，這就成了有向鏈環。
接下來我們給有向鏈環的投影圖的交叉點賦予正負號
：
也就是說，如果上線的箭頭旋轉到下線的箭頭的最小轉角是逆時針方向的，則交叉點為正；順時針方向的為負。
一個有向鏈環的投影圖的全體交叉點的正負號之和稱為
的擰數，記作
。擰數在R2和R3這兩種初等變換下顯然不變，但是R1則會使其改變…所以擰數並不是一個同痕不變數。
那有什麼是同痕不變數呢？環繞數。它衡量的是兩條有向封閉曲線互相環繞的程度。
設是有向鏈環
的兩個分支，則
的環繞數
定義為
與
的交叉點正負號和的一半。這樣，R1、R2和R3都不會改變環繞數的值，所以環繞數是同痕不變數。
注意，計算環繞數時的交叉點不包括的自我交叉點，也不包括
的自我交叉點，同時也不包括
與其他分支的交叉點。當
只有
這兩根分支時，
可以簡寫為
。
例如：
這就可以表明上圖中的兩個鏈環不同痕，因為它們的環繞數不同。
環繞數是高斯在研究電磁現象時首先提出的，不過對此我就不介紹了……
好，環繞數可以幹嘛？不急，先看圖：
我們把上圖左邊的形態稱為擰，右邊的形態稱為扭。
擰和扭可以互相轉化，不信請看：
現在我們來考慮封閉的、有兩條邊的、雙側的帶子。莫比烏斯帶不在考慮範圍內，因為它是單側的，並且只有一條邊。
帶子的兩條邊取相同的方向，這樣可以得到一個有向鏈環。它的兩個分支，即兩條邊，記作
。
的投影圖看起來像兩條平行的曲線，由擰和扭的小段構成。
扭轉部分對環繞數的貢獻為：
上邊的形態稱為正扭轉一周，下邊的形態稱為負扭轉一周。表示整個投影圖上扭轉周數的總和（正負相消）。
擰卷部分對環繞數的貢獻為：
這恰好等於這部分對於擰數的貢獻。
而環繞數是扭轉部分與擰卷部分的貢獻之和，所以
。
舉個例子：
公式可以看出一個守恆定律。當帶子在空間中連續地變形時，擰數和扭數都會改變，但是它們的和是一個同痕不變數。
通常的繩子都可以當做帶子來考慮，帶子的一條邊是繩子的中心線，另一條邊則是表面的一條標誌線（記錄了繞中心線扭轉的情況），如圖：
所以，對於繩子來說，擰數和扭數的和不變。這大概（？）就可以回答題主的問題了吧。
不過，與開頭所說的
略有區別。
是從所有可能的方向看
時，
的投影圖擰數的平均值；而
則有更複雜的定義，這裡就不細說了。
有興趣的話，可以看看《繩圈的數學》這本書。只需要有高中數學的知識就可以理解書中的絕大部分內容，而如果有一點微積分的知識，就可以理解全部內容。
這本書也是這篇回答的參考資料。
那麼就這樣=w=
猜測題主可能想了解的是另一個問題，轉篇文章，供大家參考。
原作者科學松鼠會 DR YOU，原鏈接見科學松鼠會（侵刪）
為什麼放在口袋裡的耳機線很容易纏在一起？
首先，最基本的解答，是熱力學中的熵增原理：事物運動總是向著熵（物理學中對混亂度或隨機度的一個度量，越大越趨於隨機）增加的方向前進。這完全正確，並無懈可擊，但實在是過於晦澀、含蓄與籠統。所以，本人還是覺得從結構學角度解釋更妥當些。
首先，分析耳機線的結構：顯然，耳機線大多為包裹著橡膠物質的金屬絲。由於耳機線長寬線度比例極度失調（= =bbb），導致了它極易被彎曲（這是常識）。同時，由於橡膠出色的拉升性能，令橡膠套在外力作用下，易發生圍繞中軸（金屬絲）的扭轉。這兩點造成耳機線結構上存在有至少三個維度（左右彎曲、前後彎曲和圍繞中軸的扭轉）的不穩定性，軸向拉扯時強度大，其他方向幾乎可認為無強度。
很不幸的是，耳機的功能又導致了其特殊設計樣式：前端必須分叉成兩股，以繞開你的脖子。最終，形成了一個Y型結構。加入前面提到的不穩定性概念，可以粗略的認為，耳機線的每一次形狀變換，都牽扯到9（因為每股間的維度是獨立的）個不同維度的變化，也就是3個3維向量（3條耳機線）組合成的一個9維向量，如此多維度的複雜變化，當今就算用計算機也是很難精確模擬的。
所以，接下來讓我們簡化問題，只考慮這個9維向量的變化趨勢。眾所周知，水往低處流，這是能量最小原理的體現。高處的水池一旦出現缺口，就是一個不穩定狀態，必須向穩定狀態（低處）轉移。把耳機線不經整理塞在口袋中後，可以大概的視為它在隨機外力下的被迫運動。耳機線也和水一樣，它必須將自己」推向」某種穩定狀態，以克服各種外力的」打擾」。
那麼這種」軟體」的不穩定結構如何能達到穩定呢？對！自身纏繞！類似藤類植物纏繞、螺旋的生長方式。這樣就可以在不改變材料特性的情況下大幅增加結構的穩定性。纏繞的越緊密，強度通常就越高。可以類比早飯沒吃，放到中午受潮的油條：可能兩根的時候還立的起來，吃掉其中一根就不行了（orz自己的想像力）。
這個複雜的9維向量，總是不斷的靠近它的終極目標：最緊密的纏繞（大概。。。是一個線球= =|||），以克服外力，確保自身結構穩定。
綜上，耳機線的纏繞本質上還是科學的宿命，但並不是沒有解決辦法。比如，用更粗更有韌性的線材，以加強自身強度，減少向量各個維度的變化量，使其更難以糾結（記得某些品牌的耳機的線材用了尼龍網包覆，防纏繞的效果很好）。或者用更短的耳機線減少變化總量，或者事先就整理好（一定程度上增強了結構強度）才放入口袋，再或者，乾脆自己亂纏一通，從概率的角度看，拿出來的時候也不見得會更亂到哪裡去:P
補充：
其實纏繞的概念可以從另一個稍嫌複雜的角度解釋：事物總是趨於各向同一（可以由熵增原理引出：完全的隨機狀態其實就是各向同一的）。同一的結果就必定是整體上最小的自由度與最少的變數。還記得那3個3維向量么？纏繞就是將兩個甚至3個獨立向量簡併成一個向量（幾條線並成了一條線）的最直接的辦法。變數的數目被大幅減少，耳機線Y型結構的變化模式也就被大大的簡化，整體更趨於同一，於是就更穩定。好吧，你可能有些暈了，打個比方，油膜上的臨近的兩滴圓形水珠合併成一個大水珠之後，會恢復成圓形，這就是自然界自發的簡併多餘變數而趨於同一化的簡單例子:)
結束，祝愉快:)
因為繩命是如此地會晃
熵增原理
亂說幾句吧。換種說法，耳機線為啥會纏在一起。
萬物都會趨於穩定的狀態。
水在杯子里處於穩定，杯子碎了，水會散開，以趨於穩定。
一根耳機線並不穩定，有很多自由度，穩定的方法只有一種，自身纏繞。
再深點就不會了，畢竟處女答。
補一句，科學松鼠會貌似有回答過這個問題。不請自來，以尼龍繩為例，尼龍繩以尼龍為主要材料，尼龍化學學稱叫聚醯胺。聚醯胺是大分子主鏈重複單元中含有醯胺基團的高聚物的總稱。聚醯胺可由內酸胺開環聚合製得，也可由二元胺與二元酸縮聚等得到的。分子結構是
並不是單純的直線，所以彎曲是原本的狀態，機械狗突然想起高中化學老師解釋耳機線總會曲折在一起。
從化學的角度回答這個問題，世界自發從有序狀態至無序狀態，熵增原理～
我們高中老師說由於橡膠大分子的空間結構致使其無法保持直鏈無外力會自動彎曲
耳機經常會打結，鞋帶經常會自己鬆開
那麼。。。。。為何不把耳機當鞋帶，把鞋帶聽音樂用。
這個問題讓快要考（zuo）試（si）的我，第一時間想起了DNA如何發生正負超螺旋
我小時候正好見過搓繩子。
一根細繩子，對摺，折起的一端固定，拉展，在開放的一端，兩個繩頭分別向一個方向旋轉，然後利用旋轉的力量讓它們自己扭在一起，就組合成了一根粗一點的繩子。
利用這種方法，讓繩子纏繞，可以增加強度，增大摩擦力，方法簡單，如果上網搜索「搓繩子」視頻，應該看到這種方法。
不扭在一起的那是鋼筋
通俗點來說，東西都有自動走向趨於穩定的狀態，而對繩子來說，打卷就是它最穩定的狀態…so…
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