如何理解《生活大爆炸》第八季第二集里 Howard 和 Sheldon 鬥智里的各種知識點？

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重要：前方有劇透！！
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庫珀的課程內容很明顯是經典力學。第一節課是正則變換。第二節課，是哈密頓方程，辛流形，諾特定理，哈密頓－雅科比方程，角變數，微繞論，正則理論。。。不過很少有人經典力學的前幾節課就講這個的，而且這大概是人家一學期的內容 —— 第一節課講變分法倒是比較合理。

其實庫珀問沃勒維茲的問題很不搭，除了變分法想不出與經典力學課程有什麼關係。很明顯演員們是背的台詞。

變分原理：對於任何量子態 $left.|Psi ight>$ ，基態能量 $E_g le frac{left< ight.Psi|hat H|Psileft. ight>}{left<Psi|Psi ight>}$ ，等號僅 $left.|Psi ight>$ 為基態時取到。這是量子化學和量子物理中最重要的數值方法之一。

費曼技巧： $int mathrm{d}x; x^2 e^{-x} = left[ frac{partial^2}{partiallambda^2 }int mathrm{d}x ; e^{-lambda x} ight]_{lambda o 1}$

（這裡有個視頻詳細介紹 http://youtu.be/NOMSmS7K9Tw ）

無獨有偶，量子電動力學的另一個創始人施溫格也有一個類似的技巧，叫做施溫格技巧或施溫格參數化，用來推導下面的等式：

$frac{1}{A^n}=frac{1}{(n-1)!}int^infty_0 du , u^{n-1}e^{-uA},$

費曼技巧和施溫格技巧是量子場論中常用的技術，可憐的朝永振一郎好像沒什麼東西留下。

費曼這個傢伙，在《你一定是在說笑，費曼先生！》（又譯《別鬧了費曼先生》）中說［以下意譯］，

「林先生的書，演示了如何在積分號下對參數微分。這個技巧在大學中不怎麼教，人們不強調它。但我注意到這個方法，我一再地用到這個牛逼的工具。所以由於我是自學的那本書，我有一些算積分的特殊方法。」

「That book [Advanced Calculus, by Woods] also showed how to differentiate
parameters under the integral sign – it』s a certain operation. It turns
out that』s not taught very much in the universities; they don』t
emphasize it. But I caught on how to use that method, and I used that
one damn tool again and again. So because I was self-taught using that
book, I had peculiar methods of doing integrals.」

量子力學詮釋：

哥本哈根達斯詮釋是量子力學的正統詮釋。一般來說，一個詮釋既需要回答哲學層面的問題，如量子態到底是什麼，量子力學到底是什麼等，又需要給出可觀測物理量的預言（包括計算規則）。迄今為止哥本哈根詮釋給出的理論預言跟實驗都符合的很好，因此其他正確的詮釋必然會給出相同的理論預言。鑒於不同的詮釋多半是在哲學上兜圈子，很多物理學家遵循「Shut Up and Calculate! （閉上嘴快做題）」的信條。

量子力學常見詮釋（資料抄襲自 Interpretations of quantum mechanic ）

物理學家對各種詮釋的態度調查

調查來源：Maximilian Schlosshauer, Johannes Kofler, Anton Zeilinger, "A Snapshot of Foundational Attitudes Toward Quantum Mechanics", Stud. Hist. Phil. Mod. Phys. 44, 222-230 (2013); arXiv:1301.1069 [quant-ph]

更多中文科普，見賀天平：量子力學多世界解釋的哲學審視

最速降線問題（Brachistochrone problem）: 在重力作用且忽略摩擦力的情況下，一個質點在一點A以速率為零開始，沿某條曲線，去到一點不高於A的B，選擇適當的曲線令所需的時間最短。（答案是倒過來的擺線 cycloid）

這是科學史上很有名的一個問題，最先是約翰伯努利用費馬定律（光走最短路徑）解決了這個問題，1696年他將問題刊登在日耳曼的科學通報上，並在次年才給出解答。在此期間，共有5人回應了解答（當時沒有多少人會微積分），包括他哥哥雅科比伯努利、萊布尼茨、契恩豪斯、牛頓和洛必達。除了洛必達以外其他人的答案都是正確的。據說當時聲名鼎盛的牛頓原本已經半歸隱狀態，伯努力專門給牛頓郵寄了一份這個題目。牛頓不喜歡被挑戰，花了一下午一晚上把這個問題解出來了 —— 相比之下約翰伯努力花了兩周，而且他的方法是最矬的一種。變分法經是雅科比伯努力－歐拉－拉格朗日改進發明的。

所謂擺線，是這樣生成的：

擺線還是所謂等時降線的解，即無論從曲線上哪裡開始（如圖中四色小球），到達底部的時間相同。

變分解法是指選擇合適的函數 $y=y(x)$ 使得下面的積分（時間）最小：
$t[y(x)] = int_{P_1}^{P_2} frac{mathrm{d}s}{v}=int_{P_1}^{P_2} sqrt{frac{1+y$ ,
這裡 $g$ 是重力加速度。變分原理指出： $delta t = 0 implies frac{partial L}{partial y} - frac{d}{dx}frac{partial L}{partial y$ ，此為歐拉－拉格朗日方程，方程中 $L = sqrt{frac{1+y$ 是積分元，解此方程可得擺線。
仔細看庫珀客廳里的白板，寫的正是用變分方法解決最速降線問題，只不過庫珀的公式中有一個符號寫錯了（藍色）。