宇航員僅老了10歲 怎麼算的？

來來來我來介紹你一個神器叫做metric equation（度規方程）。

1. 時空中的不變數

我們先從二維空間說起。空間上每一個點都有一個坐標(x,y)。顯然，任意兩個點之間的距離與你選擇什麼樣的坐標系是無關的。我無論怎麼建立坐標系，選什麼角度、選哪裡作為原點，當我劃一條直線連接兩個點的時候，這條線的長度都是不變的。這聽上去沒什麼稀奇的，而且我們也知道計算距離的公式：

其中d代表距離，x=Δx代表兩點x坐標之差，y=Δy代表兩點y坐標之差。

那麼現在，我們考慮二維時空（假設只有一條空間軸）。時空中每一個點也有一個坐標(t,x)。

牛頓經典時空觀認為，當我變換坐標系（參考系）的時候，無論我在哪裡、速度如何，x會變，但t是不會變的。如果我們從哲學高度考慮這個問題，顯然這是不全面的嘛！顯然t和x會一塊兒變換。這就是相對論的精髓了，時間t不再是絕對的，而是會根據參考系變化的一個坐標。

但是，就像二維空間中總有一個東西（兩點之間的距離d）是不變的，我無論怎麼變換參考系，時空中也肯定有一個東西也是不會變的。我們把這個東西叫做兩個事件之間的「時空間隔」（spacetime separation），記為s。

2. 度規方程

你可能以為，我們的s和d一樣，遵循勾股定理之類的關係比如（誤）。然而並不是，s、t和x之間的關係雖然很像勾股定理，但正負號變了一下：

這就是度規方程。這裡c是光速。

強調一下：這個方程中的t和x必須是在一個慣性參考系中的坐標。

3. 為什麼只老了10歲

我們把「宇航員2015年離開地球」記為事件A，「宇航員到達目的地」記為事件B。從地球上看，A和B之間的距離為520光年（x = 光速×520年），時間上相差520.026年（t = 520光年/99.995%光速 = 520.026年）。所以這兩個事件的時空間隔為：
年

另一方面，假設我們的宇航員全程勻速，處在一個慣性系中，那麼對他而言，事件A和事件B發生在同一地點（x = 0），那麼自然地：
年

返程同理。兩個過程加起來，地球上過去了2×520.026 = 1040.05年，但宇航員認為只過去了2×5.2 = 10.4年。

4. 為什麼這個過程不對稱？？

相對論學得不太好的同學就要問了，相對論不是相對的么？如果地球上的人認為宇航員變慢了，那宇航員也應該認為地球變慢了啊？

但是，相對論的對稱性只對慣性系有效！只對慣性系有效！只對慣性系有效！一旦一個參考系有加速度，對稱性就失效了。這裡我們可憐的宇航員在起飛、折返、降落三個事件都經歷了一個無限大的加速度。正是這個加速度打破了對稱性，讓宇航員時間變慢的效果記錄了下來。