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sigma (sin(n^2)/n) (n=1 to infinity)是否收斂？

11-29

sum_{n=1}^infty{sin n^2 over n}

calculus - Convergence of $sum limits_{n=1}^{infty}sin(n^k)/n$
stackexchange上有一個更一般的結論和證明

好吧，分析水平太差，無能為力了。。。我只能確切的說它是收斂的，對我來說Highly non-trival。
這有個法語網站是直接的解答，但是我不懂法語。當然他寫的數學我也沒太看懂。我對解析數論一無所知。http://fr.sci.maths.narkive.com/OewEQtJx/serie-sin-n-2-n
裡面有一篇相關文獻
On A Spectial Trigonometric series and its application G.I.Arkhipov K.I.Oskolokov
我看了之後，裡面提到的這篇也有參考意義
Some Problem of Diophantine approximation II G.H.Hardy J.E.Littlewood
總之需要用到丟番圖逼近相關的東西。。

直覺告訴我應該是收斂的。。。。

Mathematica的SumConvergence函數好像求不出來。。。

計算

int_{1}^{infty}frac{sin(n^2)}{n}dn

=int_{1}^{infty}frac{2nsin(n^2)}{2n^2}dn

=int_{1}^{infty}frac{sin(n^2)}{2n^2}dn^2

令 x=n^2 ，

=frac{1}{2}int_{1}^{infty}frac{sin(x)}{x}dx

而 int_{1}^{infty}frac{sin(x)}{x}dx 是有限的結果

所以最初的 sum_{n=1}^{infty}frac{sin(n^2)}{n} 是收斂的

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