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為什麼太陽系行星軌道的半徑會大致按照提丟斯-波得定則（Titius-Bode law）分布？

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為了免於答非所問，特註明：問題不是問「什麼是提丟斯-波得定則」，而是問「為什麼行星軌道會大致按照提丟斯-波得定則」。謝謝。至於什麼是提丟斯-波得定則，見百度： 提丟斯-波得定則_百度百科

謝 @凌晨曉驥 和 @阿木林 邀，不太懂，只說幾點事實。拋磚引玉， 歡迎指正。

1. Titius-Bode law確實符合某些天體的分布規律，並且曾經比較準確地預測了小行星帶（Ceres）和天王星的軌道。

2. 木星、土星、天王星的主要衛星距離分布也符合Titius-Bode law （天體の軌道に関する「べき乗則」について ）

3. Titius-Bode law並不能符合太陽系內所有星體的分布規律，如下圖所示（Testing the Titius-Bode law on exoplanets），紅色為Titius-Bode law的預測距離，藍色為太陽系八大行星和Ceres還有冥王星的實際距離，Titius-Bode law只在水星到天王星這個區間內比較符合。

4. 至今沒有令人信服的理論證明可以從物理上解釋Titius-Bode law。一些試圖從原始星雲的形成機制（Graner and Dubrulle 1994, Dubrulle and Graner 1994），星體間的引力相互作用（Lecar 1973），行星軌道的長周期不穩定性（Hills 1970, Llibre and Pin?ol 1987, Conway and Elsner 1988）等方面進行的論證，最終都沒有得到廣泛認可。所以Titius-Bode law本身只能算是一種經驗總結，而無法證明是特定的自然規律（所以嚴格來說這隻能叫做rule而非law），甚至可能僅僅是一種數學上的巧合。

5. 另一種思路是從統計檢驗的角度進行分析

1）如Good (1969)，Efron (1971)， Conway and Zelenka (1988)，這些完全沒有考慮物理機制。

2）Icarus在1998年發表了一篇paper Fitting Selected Random Planetary Systems to Titius-Bode Laws，該paper在考慮軌道共振的情況下通過數值擬合，認為Titius-Bode law僅僅是穩定的行星系統軌道共振的情況下會有的規律性間隔，可能並不具有特別特殊的物理規律。

We conclude that the significance of Bode"s law is simply that stable planetary systems tend to be regularly spaced.

6. 總結：目前尚無定論。

【參考文獻】（看得懂的來解釋下，我都看不懂）

Graner, F., and B. Dubrulle 1994. Titius–Bode laws in the Solar System. I. Scale invariance explains everything. Astron. Astrophys. 282, 262–268

Dubrulle, B., and F. Graner 1994. Titius–Bode laws in the Solar System. II. Build your own law from disk models. Astron. Astrophys. 282, 269–276

Lecar, M. 1973. Bode』s Law. Nature 242, 318–319.

Hills, J. G. 1970. Dynamic relaxation of planetary systems and Bode』s. Law. Nature 225, 840–842

Llibre, J., and C. Pin?ol 1987. A gravitational approach to the Titius-Bode Law. Astron J. 93(5), 1272–1279.

Conway, B. A., and T. J. Elsner 1988. Dynamical evolution of planetary systems and the significance of Bode』s Law. In Long-Term Dynamical Behavior of Natural and Artificial N-body Systems (A. E. Roy, Ed.), pp. 3–12. Kluwer Academic, Amsterdam.

Good, I. J. 1969. A subjective evaluation of Bode』s Law and an 『『objective』』 test for approximate numerical rationality. J. Am. Statist. Assoc. 64, 23–66.

Efron, B. 1971. Does an observed sequence of numbers follow a simple rule? (Another look at Bode』s Law). J. Am. Statist. Assoc. 66(335), 552–559.

Conway, B. A., and R. E. Zelenka 1988. Further numerical investigations into the significance of Bode』s Law. In Long-Term Dynamical Behavior of Natural and Artificial N-body Systems (A. E. Roy, Ed.), pp. 13–20. Kluwer Academic, Amsterdam.

太陽和太陽系起源於上一代恆星死亡後留下的一坨氣體分子雲。

（定性的看，類似上面這張圖。）
源於分子雲中的隨機密度漲落，中間某處的密度顯著的高於別處，於是附近的分子也在引力的作用下跑來湊熱鬧。吸積作用開始了。
中心天體吸積來的物質之間發生相互作用，向環境釋放能量和物質，在這種條件下，邊緣的物質落在薄盤上更為穩定。
外圍的物質除了繞著中心天體轉，同時也繼續發生更小尺度的密度漲落-聚集-吸積過程。
中心天體是恆星，外圍物質形成的團塊是行星。恆星物質聚集到一定程度時，點燃了核反應，核反應以劇烈的爆燃拉開序幕，並將沒來得及被行星吃下去的分子雲、邊角料一口氣吹跑，在恆星附近留下一個相對清澈的近鄰區域。

（網圖）
大體上如上圖，球心是中心天體，恆星（太陽系的情況就是太陽了），20個天文單位以內都相對乾淨，太陽系的情況就是大行星的區域，更遠的地方，中心直接噴出來的物質流漸微，盤在穩定性方面的優勢下降，天體軌道傾角更為發散，直至傳說中的奧特雲處，已經從盤變成了球。從上述描述中，可以總結得出，恆星系統早期的演化過程中：

  1. 系統是開放的（星雲、恆星、星盤等都與環境進行能量與物質交換）；
  2. 系統明顯遠離平衡狀態（一開始的平衡狀態不穩定，某一次漲落就打破了初始的不穩定平衡）；
  3. 系統中存在非線性的相互作用（核反應、化學反應、熱輻射和熱吸收、非彈性散射，等等，非線性的相互作用才是主旋律）；

於是，這個教科書式的耗散系統，自發的，從無序走向有序，從一團分子雲，走向相互共振的軌道上排布的岩石球、氣體球、冰球，也就順理成章了。
舉個更為常見的例子。
水分子的無序狀態：

水分子的有序狀態：

水中的細菌，是否也會發現自己所處的宏觀大環境有驚人的結構？法國尼斯天文台的研究者前些年推出的Nice Model（確實很奈斯，不過是尼斯啦）可以從動力學演化的角度，復盤太陽系演化、大行星軌道、小行星帶遷移、共振結構形成，等等。
Nice模型的Nature三連彈：

  1. R. Gomes et al., (2005). "Origin of the cataclysmic Late Heavy Bombardment period of the terrestrial planets". Nature. 435 (7041): 466–9.
  2. Tsiganis, K. et al., (2005). "Origin of the orbital architecture of the giant planets of the Solar System" (PDF). Nature. 435 (7041): 459–461.
  3. Morbidelli, A. et al., (2005). "Chaotic capture of Jupiter"s Trojan asteroids in the early Solar System" (PDF). Nature. 435 (7041): 462–465.

所以，我作為一個行星科學外行的觀點是：耗散系統演化過程中形成有規律的共振結構是自然的，但這個共振結構能夠用TB定律給出的數字來擬合則是偶然的。

我一直以為這個跟軌道共振有關係。。

2016 年 4 月有人在 arXiv 上上傳過一個用類似薛定諤方程的解，有興趣的人可以看一下。
https://arxiv.org/pdf/1604.06962v1.pdf

一個辦法是完整地觀察恆星系統，但是這個是現在辦不到的，連比鄰星有幾顆行星都沒人知道……要麼從理論入手，找到恆星系統形成的詳細過程，這個貌似更難，而且歸根結底還是要靠觀測來驗證。

系外星系也符合提丟斯-波得定則， http://wap.ithome.com/html/297003.htm ，看樣子不是太陽系巧合

軌道共振 這個詞 就很好的解釋了 分布規則形成的原因吧。

符合規律的 行星才是穩定的， 不然則會互相影響其軌道。

至於天王星以後， 由於周期太長， 共振達成的時間還未滿足。

指數函數與冪函數在自變數很小的情況下還是很接近的。

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