散度和旋度的物理意義是什麼？

11-29

能用稍微形象的例子來解釋嗎？普通工科學生的理解力能明白的。

我在數學書中看到散度和旋度的時候，如果不結合物理來理解這兩個數學公式的話，不過是平平無奇的曲線積分、曲面積分的一個應用而已。數學書上提到這兩個公式的目的應該也是為了加深對曲線積分、曲面積分的理解。

有句名言怎麼說的來著：

數學沒有物理是瞎子，物理沒有數學是跛子

下面就讓我們結合物理來理解下散度和旋度。我是學數學的並非學物理的，我之後涉及的物理知識很可能是非常直覺的、不嚴格的，望大家多多包涵。

1 通量與散度

要理解散度，先要理解通量。

1.1 通量

通量簡單來說，就是單位時間內通過的某個曲面的量。

1.1.1 太陽輻射與通量

聽起來有點抽象，我們舉個例子：

我們都知道，人類離不開太陽。因為每時每刻我們都在接收太陽帶給我們的能量。那太陽每秒鐘到底會向外輻射多少能量呢？

一種比較直觀的辦法，就是計算到底有多少能量通過太陽的表面。什麼意思呢？

這個有著耀眼光芒的就是太陽：

為了方便觀看，我們只看它在二維平面上的投影圖，這並不影響我們的討論：

太陽每時每刻都在向外輻射能量。

沿著太陽表面，作一條封閉曲線（其實是封閉的曲面，因為太陽實際上是一個球體）：

粗略來說，我們把曲面上的 $vec{A}$ 給加起來就是通過此曲面的通量。

但是這裡有個細節問題， $vec{A}$ 在曲面上的不同的點的方向是不一樣的，我們應該怎麼相加？

1.1.2 $vec{A}$ 的方向

這裡用太陽輻射的模型不太好說明，我們換一個模型來描述。

我有一間房子，請無視我的靈魂畫法：

為了方便數學建模，我把它表示為一個多邊形：

屋外下著垂直於地面的雨滴：

如果屋頂有一個天窗忘了關，地面就會有一灘水漬：

如果是側面的屋頂有同樣大小的天窗忘了關，地上的水漬就會小一些：

如果是在垂直的牆壁上的窗戶忘了關，可以想見，地上是不會有水漬的。

可以觀察到，水漬在雨水和窗戶垂直的時候取到最大值，相切的時候取到最小值。在中間的時候水漬的大小是窗戶在與雨水垂直方向的投影。

所以我們只需要關注 $vec{A}$ 垂直於曲面的分量就可以了：

1.1.3 小結

根據上面所述，通量就是把曲面上的 $vec{A}cdotvec{n}$ 通過積分積起來。

我們很容易推出，對於曲面 $Sigma$ ，它的通量為：

$mathop{iint}_{Sigma}vec{A}cdotvec{n}dS$

1.2 散度

實際上還有一種計算太陽表面輻射的辦法，只是這個辦法有點局限性，如果我們計算的表面不封閉的話就不能用，比如下面這樣只計算一半的曲面的通量的話就不能使用：

為什麼不能用？你看了後面的講解就可以知道了。

我們知道，其實太陽之所以會產生輻射，是因為太陽內部隨時都在發生核聚變。

當然了，每時每刻有許許多多的點都在發生核聚變。

粗略地說，因為我們要計算整個太陽表面的輻射，每個點核聚變產生的輻射最終都會穿過太陽表面，因此我們把每個點的輻射加起來就可以得到太陽的表面輻射，即通量了。

當然，如果我們像之前說的一樣只計算太陽一半的表面輻射的話，那麼我剛才說的就不成立了。

為了通過這個思想來計算通量，我們就需要知道每個點的輻射強度（這其實就是高斯公式了），那麼如何計算每一點的輻射強度呢？

根據微積分的基本思想，把將之前的封閉曲面縮小到極限為0，即幾乎和輻射點重合時，用此時的通量，除以封閉曲面所圍體積，就能得到此點的強度：

而此點的輻射強度就是散度。

所以散度的公式我們也很好推導，假設要求在向量場 $vec{A}$ 中 $M$ 點的散度：

$displaystyle divvec{A}(M)=lim_{Omega o M}frac{1}{V}int!!!!int_{Sigma}!!!!!!!!!!!!!!;;;igcirc,,vec{A}cdot vec{n}dS$

其中， $Omega$ 為封閉曲面 $Sigma$ 圍成的區域， $V$ 為 $Omega$ 的體積。

1.3 散度以及通量的符號

介於散度和通量的關係，所以下面就只介紹散度的符號，通量是一樣的道理。

比如對於太陽中正在進行核聚變的點：

太陽中，有些點並不產生核聚變（有可能此點是真空），輻射只是經過此點：

而黑洞，能量進去了就不會出來，那麼它的散度就為負。

好了，以後說「正能量」，可以文藝點說，「散度為正」。

2 環流量與旋度

環流量、旋度和通量、散度挺像的，下面的講解就比較簡略了，可以對比理解。

中國有句名言叫"水能載舟，亦能覆舟"。描述的是水的威力。

不過水不僅能使船上下顛簸，而且還能讓船旋轉。

為了描述旋轉，我們就有了環流量和旋度。

2.1 環流量

環流量簡單來說，就是單位時間內環繞的某個曲線的量。

我下面描述的都是在二維向量場中的情況，三維向量場中的情況類似，但是要更複雜一些。

比如，這是一汪湖水，其中箭頭所指方向為水流方向，長短為水流的力量大小：

要計算一艘船在水流中受到多少旋轉的力，就把這艘船丟到水裡去。

船的輪廓曲線抽象為封閉曲線，我們稱為 $Gamma$ :

單位時間內，這艘船在水場中受到旋轉的力就稱為環流量。

對於一個圓，我們可以比較直觀的感受到：

所以和通量類似的，我們只需要切線方向的力：

因此整個環流量的表達式為：

$oint_{Gamma}vec{A}cdotvec{ au}dl$

2.2 旋度

類似於通量，我們也可以把各個點環流量的強度加起來，得到環流量。

而通過不斷縮小封閉區域就可以得到環流量的強度，即旋度：

我們也很容易推出此點旋度， $M$ 點的旋度表達式為:

$displaystylelim_{Sigma o M}frac{1}{S} oint_{Gamma}vec{A}cdotvec{ au}dl$

其中， $Sigma$ 為封閉曲面 $Gamma$ 圍成的區域， $S$ 為 $Sigma$ 的面積。

當然，旋度還有方向，下面再解釋一下方向。

2.3 方向

旋轉都是有方向的，那麼封閉曲線是順時針還是逆時針旋轉呢？

先看看什麼是右手定則：

大拇指所指方向為旋度的方向，知道大拇指的方向就知道封閉曲線是順時針還是逆時針旋轉了。

維基百科上有一幅圖特別直觀，一架農業飛機翼尖激起的氣流。煙霧成順時針或逆時針方向運動，對應的旋度在飛機前行的方向上：

3 總結

通過物理來理解這四個概念還是比較容易的。

通量是單位時間內通過的某個曲面的量
散度是通量強度
環流量是單位時間內環繞的某個曲線的量
旋度是環流量強度

其實，這些概念本來就是在物理學領域產生的，物理學家發明完了之後，就問數學家，「您看怎麼計算？」

數學家翻一翻白眼，你知不知道這得死多少腦細胞！！

為了計算這些，又吭哧吭哧的發展出了各種曲線、曲面積分，格林、高斯、斯托克斯等公式。哎，收拾殘局的總是數學家。

散度是閉合曲面圍成空間中的通量除以圍成空間體積，然後令曲面無限小。
旋度是閉合曲線圍成面積中的環流除以圍成範圍面積，然後令曲線無限小。
@王廣輝提醒，這個旋度的概念還要加一句，就是「這個閉合曲線圍成的面要選擇環流最大的那個面，而旋度的方向就是這個最大面的法線方向」。怎麼理解呢？因為圍成面的曲線無限小後，其實就圍住了一個點，我們討論的也是這個點的旋度。複雜計算不說，旋度是一個矢量，就有它的方向。而一個點的旋度方向指的就是環流密度最大的那個方向，所以選擇閉合曲線圍面的時候就要選得到結果最大的那個面，方向也就是這個法線方向。
這麼解釋不好懂，我明白。給個直觀點的。
散度：曲面範圍內，如果場線（比如電場線和磁場線）穿過範圍內進出量不一樣，那這個場在這個點就是有散度的。直觀講，以電場為例，如果這個點包圍了一個電子（當然電子有一定的體積，可能讓曲面無窮小時仍被包尾，這裡只是打個比方），那麼肯定是個有源場，有電場線穿入範圍，而沒有電場線穿出，散度不為零。
旋度：換一條閉合曲線，如果場沿曲線做積分不為零，說明這個面積內旋度不為零。積分是不是不好理解？這麼說，沿著曲線一點一點疊加場量，場量和曲線同向就取正，反向就取負。因為曲線是閉合的，所以如果疊加出來不為零，說明沿曲線轉了一圈的方向，場疊加也不為零。
最極端的例子，我們的閉合曲線取正圓，包圍了一個通電導線，導線周圍的磁場也是一個正圓，那麼正圓磁場沿著正圓曲線一點一點疊加一圈（因為都是同向或反向）肯定不為零，所以這就是一個有旋場。

散度和旋度的物理意義, 其他回答都說得很清楚了: 散度, 就是是否有源. 旋度也正是"描述矢量場中某一點所包含微元在場中的旋轉程度".

但這裡有一個subtle的地方. 有一個答案這麼說:

因為科里奧利力的原因，水從孔流出時，水缸里有漩渦，這是旋度

這其實是不對的. 旋度說的是液體微粒的自轉(vorticity).

有一個經典的例子: (下圖取自Purcell的Electricity and Magnetism的Figure 2.39和2.40)

圖中的兩個向量場都是無源的, 即散度為零. 但(d)的旋度為零, (e)的旋度不為零. 分析如下:

如(d)中的提示所說, 詳細的計算表明:

如果一個流體整體繞其中心軸以角速度 $Omega$ 旋轉, 則流體速度場的旋度大小處處為 $2Omega$ .
如果一個流體繞其中心軸旋轉, 速度與距中心軸的距離成反比, 則流體速度場的旋度大小處處為零.

有一個回答很小心地指出"假設球心位置不改變", 這是很必要的.

Figure 2.39和2.40對於直觀理解散度和旋度的物理意義很有幫助. 下面完整給出, 作為其他回答的補充:

P.S.
水的漩渦也不是由於Coriolis effect引起. 這個效應太微弱了, 不足以在這麼小的系統中產生影響. 可以參考: http://songshuhui.net/archives/7126.

有關理解場論的相關問題:
調和函數在什麼條件下在全區域內為0？歡迎both物理and數學上的解釋
怎樣理解閉合面的面積分等於散度的體積分這個定理的物理意義？

談談我的理解，歡迎指正。

散度，就是通量密度，理解散度要與通量聯繫起來。通量即通過一個面的某物理量（公式見下，A為某向量場），假設一球面，它的光通量就是通過球面進出的光總和，把通過球面的通量除以球體積（類比密度概念 $ho=lim_{v o 0}frac{int_v M}{v}$ ，故散度為通量密度），然後讓球體積無限小，比值就是散度。散度表示每一個點到底是射出去光（源）還是吸進來光（匯）。散度是通量密度，所以散度的體積分就是通量（就是大家講的：要知道球面光進出了多少，看看球體內有多少源和匯就知道了），即高斯定理（面積分等於體積分）。在流體力學中，速度場的散度是體積膨脹率，表示各個方向的線變形速率之和，其為0，表示在任何一個方向拉伸，必有另一個方向的壓縮，表示流體不可壓縮。

旋度，就是環量密度。（感謝@王廣輝的指正，散度為標量理解為密度是可行的，但是旋度是矢量，不能等價於密度，只是一種類比吧）環量表示把某一物理量沿著一條閉曲線的路徑積分，舉個例子，水裡有個漩渦（圖1），沿著圓周關於速度的線積分就是環量，環量除以圓面積，然後讓面積無限小，比值就是旋度。旋度可以理解為圓中每一個點旋轉強度。旋度是環量密度，所以在圓里旋度求面積分就等於該環量（就是 @Ray WEN 講的：要知道一捆芹菜多少根，看看捆的繩子有多長就好了），即斯托克斯公式（線積分等於面積分）。

散度，旋度是向量場的某種性質，就像是密度是物質的性質一樣。

這倆概念要結合積分來用：

散度(divergence):

想知道有多少東西（由一個矢量場表示的物理量）通過了一個閉合曲面，可以轉化為在這個閉合曲面內有多少這個物理量的散度，即
物理量的閉合曲面積分 = 物理量的散度的體積分。

旋度(curl):

想知道在一個閉合曲線上有多少東西（由矢量場表示的物理量），可以轉化為有多少該物理量的旋度通過了該閉合曲線所圍成的曲面，即
物理量的閉合曲線積分 = 物理量的旋度的曲面積分。

實際上，散度和旋度是統一的，在微分形式語言中，對高維的、推廣的流形（曲面），對第n個維度的曲面上的一個「微分形式」積分，可以轉化為對第n-1個曲面上的另一個「微分形式」的積分，這兩個微分形式的聯繫要用到「外積」的概念。這是廣義的stokes定理。

在三維歐幾里得空間里，等價於我們熟希的散度和旋度。

噢，他們的答案一點都不可愛，題主來看我的~~

散度是一顆一顆的，你想知道封閉房間的天花板牆壁和地板上總共照了多少光，只需要數一下房間里亮了多少顆燈泡就行。
（將閉合曲面積分換成體積分）

旋度是一根一根的，你想知道系好一大捆芹菜要用多長的繩子，只需要數一下這捆芹菜總共有多少根就行。
（將環路線積分換成曲面積分）

最後再附上本人當年學這玩意兒的時候寫的一首詩，希望題主稀飯~~

我的思緒很混亂

像一個複雜的矢量場

我撈起一顆顆晶瑩的散度

圈住一束束柔軟的旋度

建立起美麗的形而上方程組

然後我需要找邊界條件

我不停的找啊找啊

直到發現語言的邊界正是世界的邊界

這可真是要了親命

題主要形象的：

散度：參考高斯定理；
旋度：參考磁場的環路定理。

散度是描述矢量場中某一點是發散還是匯聚的，就是這一點的無限小體積元內是進來的矢量多還是出去的矢量多。旋度是描述矢量場中某一點所包含微元在場中的旋轉程度。

散度：單位體積的通量。旋度：單位面積的環量。梯度：單位長度的變數。

我用高斯定理寫一個式子吧

微分形式大法好, 分分鐘統一所有你學過的矢量分析公式:
$int_M domega = oint_{partial M} omega$
見 Stokes" theorem

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我有一個體會, 理解什麼東西不一定是越直觀越好, 有些時候反而是越普遍越抽象, 觀點越高越好, 比如數學. 不要老以工科生的身份自居, 多看看普遍的東西有好處的.

我是拿理論力學上的知識來理解的散度就是有源程度旋度就是對整體旋轉的貢獻

看了回答，感覺都沒有回答到物理問題的核心。

不管是經典力學還是量子力學
梯度對應的是空間動量，旋度對應的是空間角動量。

所有矢量都可以化為梯度場和旋度場。此即霍姆赫茲定理。

梯度場的旋度為零，對應動量守恆。
旋度場的散度為零，對應角動量守恆。

一目了然

我就不用圖形和公式解釋了，簡單談幾點看法。

首先，散度與旋度描述的對象都是向量場中某一點的性質，知道了這一點我們在研究物理問題時就能很好的藉助數學中的矢量函數方便的研究。

散度，指的是空間某一點源的性質，也就是該點的發散情況，值是一個具體的數，為0時則認為該點不發散，或者發散為0 。例如空間中的一個點電荷（數學意義上的點），該點處的散度就是該點電荷的電荷量。

旋度，描述的就不像散度那樣簡單了。P 點的旋度定義：矢量場在P點處的旋度為一矢量，其數值為包含P點在內的小面元邊界的環量與小面元比值極限的最大值（或該點的最大的環量密度），其方向為極限取得最大值時小面積元的法線方向en ，即：

旋度與環量密度的關係：

因此，某一點的旋度是一個矢量，它的方向是極限取得最大值時小面積元的法線方向en。

（1）如果矢量場的任意閉合迴路的環量恆為零，該矢量場為無旋場，又稱為保守場。

（2）如果矢量場對於任何閉合曲線的環量不為零，稱該矢量場為有旋場，能夠激發有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。

（3）斯托克斯公式則是三維的格林公式，有時間再更。

說不用公式，還是用了兩個公式/哈

拿水池舉例，入水口的散度為正，出水口的散度為負，散度值的大小由入/出水的速度而定。水池內其他位置單位時間內流入的水量等於流出的水量，所以散度為0。
將一顆小球放入水中（假設球心位置不改變），該球因為水流運動而旋轉的速度就是該點旋度的值，該球旋轉的順/逆時針決定該點旋度值的符號，該球旋轉軸的方向決定該點的旋度方向。

浴缸里的水，在沒有擾動的情況下，很平靜，這時旋度和散度為零
拔起塞子，水從孔流出，換句話說，缸里的水有一部分消失了，這是散度
因為科里奧利力的原因，水從孔流出時，水缸里有漩渦，這是旋度

拿水做比方

散度為不為零就是看有沒有源，江裡面一般沒有散度，有了小溪匯入或者排水管排水，就有散度了

旋度為不為零就是看有沒有旋渦或者小循環，一般水管裡面不會有，水大體都是朝一個方向走，海上一般存在旋度，俗稱渦流

解釋不清，不過各位請看

看懂了之後是很棒的答案。

簡單地說:散度就是看看某一個點是否有"射線"發出;旋度就是放個"水車"在某個點，看看"水車"能不能轉起來。

理解可能不夠深刻不夠正確，歡迎指正。