NASA 是如何確定開普勒 - 452b 與地球相似的？

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本文適合有一定物理基礎的人閱讀。

先說參考文獻：Jenkins et al. 2015, AJ, 150, 56.
花了兩天把發現並驗證Kepler-452b的文章的看了一遍，終於可以來回答這個問題了。文章名很長：DISCOVERY AND VALIDATION OF Kepler-452b: A 1.6 $R_oplus$ SUPER EARTH EXOPLANET IN THE HABITABLE ZONE OF A G2 STAR。文章從發現這顆行星的觀測數據開始，分析數據有效性，計算主星的參數，再計算行星的參數，排除各種不是行星的可能，最後分析了452b宜居的可能性。

要說一顆系外行星與地球是否相似，或者說一顆系外行星是否適合生命生存，需要考慮三個方面。主星是否合適？行星圍繞主星的軌道是否合適？行星本身是否合適？作為天體物理上的考慮，我們從行星所收到的流量（可以理解成「陽光」的「強度」，雖然強度事實上是另一個不同的物理量）和行星的組成這兩個角度進行分析。開普勒望遠鏡只是發現了遙遠的那個地方有顆恆星發生了周期性的光變，推測有顆行星恰好以哪個周期從視線中經過，但是這顆行星具體是什麼樣的，還要靠更多的信息、模型來計算。

第一部分宜居帶分析

宜居帶的意思就是說：不能離主星太近（被曬得太強烈），太近了會被烤乾；也不能離主星太遠（被曬得太少），太遠了會被凍住。至於多少算太近、多少算太遠，文章中取了兩個標準：「近期金星——早期火星」的樂觀範圍，和「失控溫室——最大溫室」的保守範圍。這兩套標準的定義來自於 Kopparapu et al. (2013)。那麼只要能算出行星收到的流量 $S_{ ext{eff}}$ 在這個範圍之內，就可以可以認為是宜居的了。流量怎麼算？看公式：
$frac{S_{ ext{eff}}}{S_oplus }=a^{-2} left( frac{T_{ ext{eff}}}{T_odot} ight)^4 left(frac{R_*}{R_odot} ight)^2$
其中 $T_odot$ 是我們的太陽的溫度，是5778K； $T_{ ext{eff}}$ 是主星的有效溫度； $a$ 是行星的平均軌道半徑，單位是AU； $R_*$ 是主星的半徑； $R_odot$ 是太陽半徑。這裡面好多量不知道怎麼辦？不急，是有辦法的。

由於Kepler 452的主星，當時編號KIC 8311864的這顆恆星是如此的暗（因為人家遠嘛），直接干涉觀測或者星震觀測是做不了了，但是我們還可以看光譜啊！於是天文學家們就去動用各種望遠鏡去看了。2014年是忙碌的一年。5月他們去德克薩斯的麥當勞天文台用2.7米望遠鏡拉了一條光譜，6月他們去了亞利桑那的弗雷德·勞倫斯·惠普爾天文台上用1.5米望遠鏡拉了兩條光譜，7月他們又去凱克I望遠鏡拉了一條高解析度的光譜。

光譜到手了，就該分析了。他們用Kea、MOOG、SPC和SpecMatch這幾個工具把數據一跑，出來好多不同的結果：

圖中是有效溫度和金屬丰度對錶面重力的分布。這麼多個結果，用哪個好呀？文章說：「我們用了SpecMatch，因為它算出來的溫度居中，表面重力比較保守，金屬丰度與其他模型一致。」我來翻譯一下啊：看這個SpecMatch比較順眼，就用它了！當然呢，會在每個量的不確定度上乘上不同模型間的標準差，以表示考慮進系統誤差了。

到這一步呢，主星的有效溫度有了，是 $5757pm 85 ext{K}$ 。但是半徑還不知道呀。接下來就要放大招了。他們動用了馬爾科夫蒙特卡洛(MCMC)方法！大概意思就是說，我不知道這個恆星的質量、年齡等各種物理量是多少，於是我把各種可能的組合都算一下，最後看每個物理量最有可能是哪個值。他們進行了一百萬次迭代，扔掉了前10%的數據（考慮到初始化時設定的數據會有影響），把剩下的作了個圖：

我們現在只看對角線上那些像正態分布的曲線，最高點就是我們用MCMC跑出來的最佳值了。報一下數據：這顆主星的半徑是 $1.11^{+0.15}_{-0.09}$ 太陽半徑，質量是 $1.037^{+0.054}_{-0.047}$ 太陽質量，年齡大約是 $6pm 2$ 十億年。

弄完恆星，終於可以開始干行星了。行星在恆星前經過，我們可以就這個現象建立起掩星模型，然而裡面又是一堆物理量不知道……於是MCMC又出場了！做了十組一百萬步的迭代，去掉前20%，把剩下的數據合併一下選出各物理量的最佳值並算出不確定度。直接放結果吧：

可以注意到，偏心率e的不確定度很大。這是後話，下節再說。

終於文首給出的公式中的物理量都通過MCMC得到了各自的分布。那我們把結果的樣本點作個圖看看吧：

圖中左邊黑實線到最右點橫線是樂觀宜居區，中間長虛線和右邊點虛線之間是保守宜居區。現在我們得到的結論是：Kepler-425b有96.8%的可能位於樂觀宜居區，有28.0%的可能位於保守宜居區。

之前不是說用了SpecMatch的數據么，那如果用SPC呢？他們還真重做了一遍，結果是99.0%在樂觀宜居區，59.3%在保守宜居區。（怎麼差那麼多……天文上的東西嘛，這個誤差範圍習慣了就好。）

現在可以說軌道偏心率的事了。如果是圓軌道還好，要是偏心率很大，這行星是豈不是一會兒很曬一會兒很凍？那就把不同偏心率的情況都算一下作個圖看看唄。

根據Rowe et al. (2014)，這裡偏心率的先驗分布（圖中粉色線）是貝塔分布，具體是 $eta (0.4497,1.7938)$ 。這是因為根據開普勒之前的觀測顯示，在發生掩星的行星系統中，軌道偏心率越小的可能性越大。這個圖顯示，直到偏心率大約0.8時，平均流量才超出樂觀宜居區的範圍。這麼說，偏心率並不顯著地影響Kepler-452b的宜居性。

第二部分行星的組成

學過開普勒定律（大概是高中教的？）的同學都應該知道，單從軌道數據，並不能得知行星的質量。我們現在通過MCMC知道了行星的半徑，如果推出它的質量呢？這時候就要靠質量-半徑的統計關係模型了。Weiss Marcy (2014)給出了函數模型：
$M_{ ext{P}}= ext{min} left{frac{2.43+3.39R_{ ext{P}}}{5.513}R_{ ext{P}}^3, 2.69R_{ ext{P}}^{0.93} ight}$
Wolfgang et al. (2015)給出了分布模型：
$M_{ ext{P}}sim Nleft(mu=2.7R_{ ext{P}}^{1.3}; sigma=1.9 ight)$

對於一顆完全由岩石構成的星球，Fortney et al. (2007)給出了一個方程指出了其質量與半徑的關係，方程太長這裡就不列了。那麼只需要得到我們目標行星的質量，超過這個方程所給出的標準，就可以認為行星是有堅硬土地了。函數模型很好辦，把之前得到的行星半徑分布帶進去，得到行星質量的分布。結果是SpecMatch的數據有40%的可能，SPC的數據有64%的可能。

Wolfgang分布模型需要把一個分布帶入另一個分布，需要一點貝葉斯的過程，最後也能得到結果：SpecMatch的數據有49%的可能，SPC的數據有62%的可能。這個聯合分布可以看下圖，其中紅色是至少完全由硅酸鹽構成的，黑色點密度更小，可能不是由岩石構成。

看起來有大約一半的把握說，Kepler-452b是由岩石構成的。那麼有沒有可能它和地球的組成成分（岩石與鐵的混合）類似呢？在Fortney的方程中帶入地球的岩石與鐵的比例，最後用SpecMatch和SPC的數據分別得到16%和22%的可能。看起來它和地球還是不太一樣的呀。

第三部分過去的故事

$1.11^{+0.15}_{-0.09}$ 太陽半徑， $1.037^{+0.054}_{-0.047}$ 太陽質量， $5757pm 85 ext{K}$ 的有效溫度，年齡大約是 $6pm 2$ 十億年，KIC 8311864這顆恆星和太陽真的很像。而Kepler-452b的軌道半徑幾乎就是一個天文單位。這讓我們不由得遐想，它們是不是就是稍微老了一點的太陽和地球呢？雖然誤差很大，但是文章還是給出了一定的預測。

Kepler-452b首先在保守宜居區待了大概50億年。然後離開了保守宜居區，但依然在樂觀宜居區。從現在再過35億年，主星將逐漸變成紅巨星，那時候Kepler-452b也將離開舒適宜居區。如果那裡曾經有外星人的話，那麼大約在8億年前，他們會因為失控溫室效應蒸幹了水而不得不離開家園而前往別的星球逃命了。

我來翻譯一下樓上大神的回答

1. 452B圍繞的「太陽」跟我們的太陽很類似，無論從溫度還是質量上。452B距離他的「太陽」的距離跟地球距離我們太陽的距離很接近，溫度不高不低，是一個適合碳基生物生存的距離。

2. 地球人目前還沒辦法完全確定這個星球是岩石還是氣態的（所以根本不能理解為相似的好嘛，這是NASA為了博取眼球的招數嘛。。。。）

3. 這顆星球的「太陽」比我們的太陽老一點，經推斷在8億年前很可能經歷了一次他們「太陽」的暴虐期而導致452B溫室效應加劇，水分蒸發沒法生存了。

NASA說 KEP452B和地球相似與我們理解的相似不是一個概念！
NASA說 KEP452B和地球相似與我們理解的相似不是一個概念！
NASA說 KEP452B和地球相似與我們理解的相似不是一個概念！
重要的事情要說三遍。

這個所謂 0.98的指數主要採集的基礎數據是所處的恆星的數據（尺寸熱輻射之類的），這個行星的估計尺寸。行星的環繞周期。

說句實在話，金星和火星如果計算這個指數的話估計要比 KEP452B高很多...