對恆星位置擺動的測量要達到何種精度，才能探測到系外行星呢？通過多普勒頻移所需精度又是多少呢？

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對恆星位置擺動的測量（Astrometry）要達到何種精度，才能探測到系外行星呢？
如果通過多普勒頻移來探測（Radial Velocity），所需精度又是多少呢？

本問題來自俄亥俄州立大學「天體物理數量級估計」討論課（Order-of-Magnitude Astrophysics），原題為：
What accuracy is required to detect extra-solar planets by astrometric wobble? By Doppler shift?
#P10@Astroom

1 天體測量方法探測系外行星
考慮一個簡單的二體系統，一顆行星繞一顆恆星做圓周運動，行星軌道半長徑為 a，且行星軌道面正對觀測者。恆星與二體質心相距
$a_* = a cdot m_{ m p} / m_* quad quad quad quad quad quad (1)$
其中 $m_{ m p}$ 和 $m_*$ 分別表示行星和恆星的質量。假設該行星系統與觀測者距離為d，所以 $a_*$ 在觀測者眼中的張角為
$alpha_* = a / d = {a over d} cdot {m_{ m p} over m_*}, quad quad quad quad (2)$
考慮各參數典型值為
$a = 1 ~{ m AU}~, \ d = 10 ~ m{pc}~, \ m_{ m p} = M_oplus~, \ m_* = M_odot~.$
帶入到式(2)中，可得
$egin{eqnarray} alpha_* = {a/ m{AU} over d/ 10 m{pc}} cdot {m_{ m p} / M_oplus over m_* / M_odot} quad quad quad ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3) \ approx 0.3 cdot left( a over m{AU} ight) cdot left( d over m{10pc} ight)^{-1} cdot left( m_{ m p} over M_oplus ight) cdot left( m_* over M_odot ight)^{-1} m{mu as} ~. end{eqnarray}$
地球距離太陽1 AU，所以10 pc以外的日地系因二體運動而產生的恆星擺動只有 $0.3 ~ m{mu as}$ ；木星距離太陽5.2 AU，所以10 pc以外的日木系產生的恆星擺動 $sim 0.3 cdot 5.2 cdot 320 sim 500 ~ m{mu as} ~.$

2 視向速度方法探測系外行星
首先我想指出，問題中對RV的翻譯不是很準確，根據中國天文學名詞委員會的建議，RV最好翻譯成視向速度。既然是速度，那我準備從速度的角度給出二體運動中恆星的速度大小。假設行星軌道半長徑為a，軌道周期為p，並且軌道側立（軌道傾角~90°）。根據圓運動規律 $v = r cdot omega$ ，可得恆星視線方向最大速度為
$v_* = r cdot {2 pi over p} cdot {m_{ m p} over m_odot} ~. quad quad quad quad (4)$
根據開普勒第三定律
$m{G}cdot m_* = a^3 cdot left( 2pi over p ight) ^2 ~, quad quad quad (5)$
帶入到式(4)中，並考慮各參數典型值可得
$egin{eqnarray} v_* = sqrt{Gm_* over a } cdot {m_{ m p} over m_*} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(6)\ approx 0.1 cdot left( a over m{AU} ight)^{-1/2}cdot left( m_{ m p} over M_oplus ight) cdot left( m_* over M_odot ight) ^{-1/2} m{m/s} ~. end{eqnarray}$
注意上面的係數其實是0.089，和0.1稍有偏差，但量級相同。地所以球RV~0.1m/s，木星RV~10m/s.

終於打完了。。。手好累。。。

假設行星的質量是 $1 imes 10^{27}$ kg，恆星質量是 $2 imes 10^{30}$ kg，行星離恆星的距離為 $2 imes 10^{8}$ km。恆星離地球的距離為10pc，即 $3 imes 10^{14}$ km。假設行星的軌道面和地球在同一平面上

此時，恆星的質量約為行星的2000倍，因此恆星離公轉中心，也就是恆星系質心的距離，為行星離恆星距離的 $frac{1}{2000}$ ，也就是 $1 imes 10^{5}$ km。因此，恆星位置的擺動為 $2 imes 10^{5}$ km。恆星擺動的角度為 $2 imes 10^{5}div (3 imes 10^{14})=6.67 imes 10^{-10}$ rad，換算成角度就是 $1 imes 10^{-4}$ 角秒。

根據萬有引力公式 $frac{GMm}{R^{2} } =frac{mv^{2} }{r}$ ，得到恆星的線速度為 $v=sqrt{frac{Gmr}{R^{2} } }$ ，代入得到恆星的線速度為13m/s，當恆星遠離我們時，由多普勒頻移公式 $lambda =frac{c+v}{c} lambda _{0}$ ，得到560nm波長的電磁波波長變長 $2.4 imes 10^{-14}$ m，而當恆星朝我們運動時，波長變短了 $2.4 imes 10^{-14}m$ 。頻率變化為 $Delta u =-frac{cDelta lambda }{lambda^{2} }$ = $2 imes 10^{7}$ Hz。

感謝評論區中的小夥伴指出輸入的錯誤（捂臉）