用放大鏡聚月光可以點火嗎？

11-29

有說法說任何光學透鏡也不可能產生比光源表面更熱的光這個說法對嗎？
詳細問題如下鏈接
http://jandan.net/2016/02/14/whatif-145.html
如果這樣呢？多組凹、凸透鏡組合，匯聚再平行，再匯聚、在平行，再匯聚……如此重複，是否能行呢？

修正補充：圖片是錯誤的，月光，太陽光，星星光都不是嚴格的平行光，不可能無限匯聚

Update 1. 2016-05-03: 修改了利用十米級望遠鏡聚光的條件要求。
Update 2. 2016-05-04: 受評論區啟發，新加入了熱對流的方程，並略做討論。

前面幾個答案，洋洋洒洒寫那麼多，就不肯動筆算算嗎？

可見光波段，太陽的視星等是－26.74，滿月的平均視星等恰好是－12.74（為什麼要說「恰好」呢），所以太陽的亮度（單位時間內穿過單位面積的光子數） $F_mathrm{sun}$ 與月球的亮度 $F_mathrm{moon}$ 的關係是：
$-2.5log_{10}left(frac{F_{mathrm{sun}}}{F_mathrm{moon}} ight)=-26.74+12.74=-14$
太陽亮度是月球亮度的 $10^{5.6}approx400000$ 倍。
我們用直徑2cm的凸透鏡就可以點燃紙張，所以要想用凸透鏡匯聚月光，至少要用12m直徑的透鏡。
那麼答案來了，用10米級的天文望遠鏡或許可以。
前提：
1、是主鏡F數要足夠小，否則月光會分散在焦平面上。
2、或者主鏡後面加改正鏡、目鏡，但有功率損失，所以需要更大的主鏡。
3、不成像，只聚光，用光波導、微通道、多層掠射等不太常見的光路。
總之，只有一個關鍵點：有效集光面積。剩下的都是設計問題。

當然，10米級的天文望遠鏡肯定不是用凸透鏡做的，一般都是反射光路，但原則上是對的。
另外，前面沒有嚴格區分流強、亮度這兩個概念。流強是單位時間內穿過單位面積的能量，亮度是單位時間內穿過單位面積的光子。如果我們規定光子的能量分布（可見光波段）是一樣的，那麼流強與亮度成比例。所以沒有嚴格區分。

真正需要考慮的幾個量和過程：
1、紙的燃點是 $130^circmathrm{C}$ ；
2、紙的熱容是 $2;mathrm{kJ}/mathrm{kg}/^circmathrm{C}$ ；
3、紙的密度約 $1;mathrm{g}/mathrm{cm}^3$ ；
3、考慮覆蓋xOy平面的厚度為d（假設約0.1mm）的一張黑色薄紙（完全吸收可見光），紙張大小與光斑大小一樣，聚光加熱坐標系原點O的同時，熱量耗散，130度以下的黑體輻射與熱傳導、熱對流相比實際上可以忽略不計，換句話說，主要考慮空氣散熱。可以列下面這個近似的方程：
$frac{partial T}{partial t}=Dfrac{partial^2 T}{partial z^2}+frac{F_mathrm{moon}}{C cdot ho_mathrm{paper}cdot d}$
其中，T是紙張溫度，t是時間，z是z軸坐標（把3維梯度 $abla T$ 簡化為1維 $frac{partial T}{partial z }$ ），C是紙熱容，D是空氣導熱係數， $F_mathrm{moon}$ 是月光匯聚到光斑的流強， $ho_mathrm{paper}$ 是紙密度。
初始條件是T=環境溫度，邊界條件是遠處（z=0.1米）無溫度梯度，且溫度等於環境溫度，所以這就變成了解方程的問題。數值方法近似一下就知道了。
此外，評論區對我強調熱傳導而無視熱對流不滿。我承認我確實是拍腦袋做的這個草率的決定……好吧，把簡易的熱對流的方程也列出來：
$frac{partial T}{partial t}=frac{F_mathrm{moon}-hleft(T-T_0 ight)}{C cdot ho_mathrm{paper}cdot d}$
其中，h是熱傳遞係數，熱源面朝上時，h可近似為：
$h=frac{k cdot 0.54 Ra_L^{1/4}}{L}$ ，其中k是空氣的熱傳導係數， $Ra_L$ 取值 $10^5$ 到 $2 imes10^7$ , L是特徵長度，取光斑直徑， $T_0$ 取環境溫度。
總之，先列出來吧，有空可以弄個小程序數值模擬一發。

關於另一個問題，光的溫度與光源的溫度其實不是一回事。光源的溫度很好理解，就是溫度；光的溫度其實說的是將光譜等效為黑體輻射譜，來近似的看黑體溫度。例如，偏冷的光（藍光多）光源溫度高，偏暖的光（紅光多）光源溫度低。這麼來看，這個說法是錯誤的。因為我可以加濾光片呀~

題主貼的那個鏈接，我點進去看了，從原作者開始扯熱力學開始，就無可救藥的一路高歌猛進的開啟扯淡模式了。不是煎蛋，是扯淡。偷換光源與光的概念、偷換溫度與能量的概念、把所有輻射都按照黑體輻射理解、等等……那麼問題來了，原作者到底有哪個概念是說對了的？這還真難倒我了……

此帖原為科普帖，所以對各種常見誤區做了逐條分析，想直接看結論的請跳到 Update 分割線後
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這的確是一個非常考驗物理功底的問題，以下是我的個人理解，當然我也只是一枚學生，如果有不對的地方請大牛指正。

和這個問題相關的的原理有兩個，一個是幾何光學中的像的亮度 &<= 物的亮度（玻恩《光學原理》），另一個是黑體的平均度 &<= 光源的平均溫度（朗道《統計物理 I 》）。下面我分成光學和熱學兩部分來寫，光學部分用亮度來討論，熱學部分用黑體來討論。【光學類】 ## 用凸透鏡能否將像成到無窮小的一個點上？凸透鏡所成的像的形狀和光源一樣，如果光源不是一個理想幾何點的話，像就永遠是一塊光斑而不是一個點。即使光源是一個點，考慮衍射的話，所成的像是個艾里斑，斑的半徑反比於透鏡的直徑。所以需要點光源+透鏡無窮大，像才是一個點。 ## 凸透鏡可以改變像的大小，這個縮放率能否做到無窮小？幾何光學中有個定理（我所學的是拉格朗日不變數，原作稱之為聚光度守恆定理），在共軸球面鏡成像過程中，nyθ 是不變數，n 是所處介質折射率，y 你可以理解為像的尺寸，θ 是外緣光線和光軸的角度。因此為了讓 y 變小，θ 就會變大，透鏡就要越凸，越凸的透鏡，做出來的面積就越小，收集到的光能就變少。所以縮放率可以無限做小，但像的亮度不會無限提高。 ## 凸透鏡面積小了？那就用 N 個小凸透鏡，然後把已縮的很小的光斑引到一塊去？引不了。凸透鏡是把像成在焦平面，如果你不在焦平面接住這個像，過了焦平面後像就會又發散開來了。如果你用光纖（或類似的管形鏡面），光纖必須打彎，導致一部分光線往回走。 ## 用其它類型的透鏡？有人提到菲涅爾透鏡，它和凸透鏡是一個道理，其面積仍然要受曲率的限制。無論你用什麼樣的透鏡，總是有聚光度守恆定理。 ## 像阿基米德那樣，在太空中布滿小平面鏡聚到一點，能否提高像的亮度？在距離月球 r 的球面上，能擺下的鏡子的總面積正比於 r2 ，而光能在 r 這個距離上的衰減也是 r2 ，又由於平面鏡成的是等大的像，在最理想的情況下，你得到的亮度和光源表面的亮度相同。 ## 從 nyθ 公式來看，提高折射率 n 是不是也可以？這一招的確能提高亮度，油鏡顯微鏡就是這麼乾的。不過你需要將整個像空間都泡在高折射率的介質里，另外亮度仍然是有上限的，像空間亮度 &<= 物空間的亮度*(像空間折射率/物空間折射率)^2 ，僅當光學系統內沒有吸收或散射時取等號。【熱學類】 ## 用一束光一直照射一個散熱率很低的物體，能否讓物體的溫度無限升高？不能，物體會至少以黑體輻射的形式損失能量，損失的功率為 σT^4 ，故溫度最高能達到 σT^4=輸入功率。如果光源也是一個黑體，且它的能量全部輸出給物體，因公式形式相同故它們最終會達到相同的平均溫度。 ## 光源不是太陽嗎？月球只是反射太陽光而已，溫度上限應該是太陽表面的溫度啊？注意「且它的能量全部輸出給物體」，月球只接受到了太陽少得可憐的一點立體角的能量。只有當你把太陽和月球包在一個巨大的橢球面鏡之內，月光才會和太陽光一樣亮。故原文是把月球視作一個單獨的主動熱輻射光源來討論的。 ## 把月球換成（反射率不是很高的）鏡面，能不能點火？當然能，但月面不能用鏡面來近似。因為鏡面反射的光是高度定向的，用前面光學中的概念就是提高了聚光度。但真實的月面是漫反射，聚光度低了很多。這是質的區別，所以多低的反射率的鏡面也不可以近似月面。 @哈哈哈提出月光反射了顯著的可見光，而 100℃ 的黑體輻射主要為紅外光，可見光的比例很少，因此月球不可能被視為 100℃ 的黑體。我沒有查到月光的光譜，維基百科告訴我月光的光譜溫度約 4100K ，因此我同意前面的觀點。有一個更直接的估計方法：地球和月球到太陽的距離差不多，所以把月球漫散射的光線整理好，和地球被陽光直射的效果是差不多的，所以聚焦月光應當只能加熱到室溫附近。當然月球也是受陽光直射，所以用月面溫度來作估計也是一樣的，估計xkcd的作者是想說這個意思… 所以月光的光譜溫度是多少並不重要，限制光能進一步聚焦的是聚光度（明天如果有時間我再定量計算一下）不用算了…我又讀了一遍原文，確定作者就是這個意思。透鏡對光線的作用是讓光源以更大立體角包住物體，如果是直接接收太陽光，透鏡就可以讓半個球面的立體角都充滿太陽，因此能將物體加熱到太陽表面的溫度。如果讓月面包住你，你所能達到的就是月面熱平衡的溫度（不是光譜溫度）

【所以就沒辦法了嗎？】

當然有辦法，不然我們要怎麼給核聚變點火。雖然平均溫度不能超過光源的溫度，但點火只要求瞬間溫度足夠高即可。我們可以讓能量積攢一段時間然後一下子輸出。注意我說的不是把黑紙片放到保溫瓶中之類想當然的手段，因為保溫瓶不會做功（術語稱為被動裝置），仍然是至少以黑體輻射的形式損失能量，只不過室溫下主要是以紅外線的形式輻射，所以你注意不到。我說的是要使用能主動做功的裝置，例如攢上幾個月的月光光能給電池充電，然後瞬間短路點燃紙片。這一過程用到了主動裝置，超額輸出也不可能持續進行，所以不違反熱二律。原題目問的是只用放大鏡，如果只考慮點燃日常的引火物的話（白磷大家都知道嘛），原文給出結論「不能」是沒有問題的。

【2016.05.03 Update】————————————————

這個問題怎麼又突然火了… 這個回答是在知乎和果殼兩地同時發的，我在果殼上做過定量計算了，當時知乎這邊很冷清我就懶得再複製粘貼過來…

很多人說要做定量計算，那就算一下也無妨。月光的光譜是啥樣並不重要（除了設置一個熱二律上限之外），加熱能力只和流強有關。月球的視立體角為
π*1737^2/380000^2，透鏡最多能將這個立體角擴大到 2π，則流強能增大約 9.5 萬倍，而日光的流強約為月光的 40
萬倍。所以你聚出來的月光連日光直射都達不到，更不必說點火需要比日光直射更高的流強。

有人表示沒懂為什麼這麼算，那就稍微補充下，前面講過幾何光學 nyθ 守恆，即一維上折射率*寬度*角範圍守恆，兩維上就是折射率2*光斑面積*立體角守恆，通過縮小光斑來提高流強是以放大立體角為代價的，即 xkcd 作者想傳達的聚光度守恆。

我相信大家對下面的表述都不會有異議：
模型涉及三個物體：原光源，間接光源，物體
對於沒有反射的間接光源（例如黑體），物體所能達到的溫度上限是間接光源表面的溫度。
對於完全反射的間接光源（例如鏡子），物體所能達到的溫度上限是原光源表面的溫度。
對於介於黑體和鏡面之間的間接光源，物體能達到的溫度應用流強（不行我得在這補充一句「結合聚光度」不然你們都不知道重點在哪）來定量計算。

上來就假設平行光的，後面的我根本不用看，平行光的立體角為零，你就是算出能聚出無窮高的流強我也不驚訝。
偽造光譜的 trick 我也早就想到了【 stack 】，結論是不能持續進行，濾光片散熱需要做功。
目前的幾個新回答並沒有比果殼帖討論出更多東西，我的結論仍不變。

凡是 what-if 原文、本帖、此帖（←這是物理系老師做過的計算）已經解釋過的問題，物理概念不清，想當然地存在什麼東西等，我不再回復。

正如我在光學類最後一點提到的，目前這個問題唯一能做弊的地方是將折射率無限提高，即讓色散曲線斜率很大，但根據洛倫茲諧振子模型，此處介質對光的吸收亦很大。目前實驗室中實現的超慢光速實際上是用了 EIT （電磁感應透明）技術，即用量子相干效應消除對光的吸收，這已經超出了被動裝置的範疇。

【2016.05.04 Update】————————————————

當前排第一的回答認為只要精巧地設計光路，聚光的立體角沒上限。如果存在一個被動裝置光路能以大於 4π 立體角聚焦能流，那麼把月球換成發光黑體即可構成第二類永動機。
現代望遠鏡那個回答把月光當平行光，這些都導致他們能將聚出來的流強算得任意高。
其它的一些回答在重複討論我已經提過了的點，我就懶得一一指出了。

這個問題正確的討論方向是「聚光度守恆原理的適用條件」，只要這個原理成立我的結論就成立。話說回來 what-if 原文問的是放大鏡，對單片凸透鏡這個原理肯定是適用的，所以人家的結論沒問題。

非關於原理的討論我都不會再看了。

【2016.05.06 Update】————————————————

噫，我不知道是不是國內點不開維基詞條（wiki/Etendue）？反正過了兩天了也沒見到有第三個看懂了聚光度守恆的人出來討論。

給大家概括一下，聚光度近似說來就是 (nyθ)2 這個量，我們希望光斑越小越好，就是希望其中的 y2 越小越好，而 n 跟 θ 都是有限的，所以我們希望聚光度整體越小越好。

聚光度守恆這個原理推廣說來是「聚光度不減」原理，只有理想光學元件系統才守恆，碰到散射和漫反射就會增加。月球起到的就是這麼一個作用，把原本太陽直射的很小的立體角一下子擴大到了
2π（所以我們才能在上下弦月時也能看見月亮，亮度也差不多），正是這一步導致聚月光能達到的流強比聚日光小了很多。所以用黑體輻射模型算的人比用鏡子模型算的人更接近正確答案，因為按黑體輻射算起碼能考慮到立體角的損失。

為啥我前面說「近似說來」呢？因為維基上給出的嚴格的式子是 (sinθ)2，只有在傍軸時才近似為 θ2，所以上限其實比 2π 還要低，只有 1… [手動再見]

貌似清北五院的都來了，明天詳細解答一下。

原題中:
這問題看上去很簡單。放大鏡能把光線匯聚到一個點。很多熊孩子都擅長這個玩火的把戲。Google一下，就知道太陽的亮度是月亮的40萬倍。所以我們只要淘寶一隻40萬平方英寸的放大鏡就行了……吧？

只說結論
從科普的角度來說:
答案是:yes
從科學的角度來說:
答案是no。

原文問題在於簡單問題複雜化，且混淆概念，類似於吊打文科生。
//////////////////////////////////////////////////////補充正文/////////////////////////////////////////////////////////////////
這個題目首先是閱讀題，問題分析的關鍵詞有兩點，即點火和月光：
1) 點火這個詞是個非常寬泛的概念。先看用來點什麼，如果是用來點本身就處於臨界狀態的易燃物品，如添加了助燃劑放在高精度溫控箱中，溫度在燃點下0.1攝氏度的高純度白磷，對能量的要求是極低的；如果是用來點火柴頭，要求又要高一點；如果是要點紙，也得根據紙的材料等分類區分。
即便是紙，由於點火成功，實際上是熱堆積達到了燃質的燃點的結果，但也要區分對待。個人曾使用過的單峰值功率脈衝激光器，調試為平行光後，秒級時間內燒穿單頁A4紙，但是點不燃，原因在於達到使紙燃燒的溫度條件前，光著點已被擊穿，無法形成熱堆積 @pansz 。而同樣是這台激光器，使用要求中嚴格禁止產生聚焦點，因為聚焦點的光功率高到足以電離空氣，控制不好，容易引發事故。
對於點火的定義，為滿足普遍性，與前面很多分析討論保持一致，定義為夏日晴天的時候，小盆友們做實驗，用口徑2厘米，焦距10厘米（這點其實很重要，後文再提）左右的凸透鏡點燃普通紙張的過程。那麼後面的分析中是否滿足點火條件就等價於聚焦光斑是否滿足前述光功率（能量）條件。
2)月光。常識告訴我們，月光是反射太陽光產生的。那麼月光的來源由兩部分構成，對太陽光的反射和自身熱輻射。其中的自身熱輻射，首先高一點按黑體溫度500K由維恩位移算出其輻射峰值為5.8微米。由於題目中問的是月光可認為其波段為可見光波段。峰值為5.8微米的黑體其在可見光波段與太陽反射相比是極小的，常識也告訴我們月光主要來源於太陽反射，那麼自身熱輻射在可見光這部分我們就不考慮了，只考慮太陽光的反射。
至此，我們將題目轉換為於月球對太陽光的反射採用放大鏡匯聚後能否形成太陽光直射匯聚的等效效果。放大鏡肯定是不行的了，放大鏡屬於生活中術語，口徑都比較小，我們換成光學匯聚系統好了。但是還有一個問題很重要，光譜。
太陽輻射光我們按理想黑體6000攝氏度黑體輻射考慮時，是具有特定的光譜的，但是在直射（日光）和反射（月光）匯聚的過程中，光譜成分是會發生變化的，會影響最終結果，我們對此也要界定一下。
1）反射按各譜線等比例反射考慮。
2）反射過程對結果的影響。由於假設反射率是0.5，由於輻射方程是一個帶了指數的非線性方程，是不能按溫度6000*0.5=3000考慮的。但是可以認為讓匯聚系統面積增加1倍，達到相同的效果。
3）不考慮大氣吸收譜對結果的影響。
4）由於亮度學和輻射學是有差別的，這個差別也跟譜線成分相關。後文的分析中，我們直接引用40萬倍這個數字，不考慮亮度學和輻射學的區別（這點我在補充裡面說明吧）
說清楚了題目，講明白了邊界條件，開始分析。
理論上，採用理想匯聚系統，口徑只需要400000^0.5=635倍口徑的匯聚系統，月光可以達到和日光同等的效果，也就是13米左右的口徑吧。
但是實際上，這是做不到的，就像脫開劑量談毒性是耍流氓一樣，脫離物理尺度談系統性能也是耍流氓。
由於光學系統有限口徑，使其存在衍射極限，公式為全形（2.44*波長）/口徑，對於10米級的光學系統，這個衍射極限是極小的，遠小於目標正焦位置匯聚時的光斑大小。對於太陽和月亮這兩個非點光源（偽光源）匯聚光斑大小隻取決於焦距和視角，太陽和月亮視角直接取0.5度即8.7毫弧度，對應焦距10厘米時，理論光斑大小最小為0.87毫米（當然如果不在焦面位置實際可以小一點點，也就是 @ZX Huo 提的不要求成像，只要匯聚的系統，但是小的很少，也可以忽略）。
但是日光下用的2厘米的光學系統，10厘米的焦距很好做，F數為5就行了。但是對於10米級的光學系統，你要讓光學設計給你做到焦距10厘米，小心人家把你送青山精神病院。
那麼10米級光學系統，焦距能做到多少？實際上，這又是個很頭疼的問題，因為這個級別，各種像差都出來了。只撿最好理解的，系統高角不同主鏡自身重力形變引入的像差、環境溫度變化導致材料形變都是問題。好吧，我們把各種參數都考慮進去了，等效成F=1好了，這樣口徑13米的匯聚系統，焦距最小為13米，則光斑大小為13*8.7=113毫米。這樣的話，好不容易通過提高口徑使匯聚光功率提高，又由於大望遠鏡系統F數限制，聚焦點上單位面積增大又回去了。
換個思路，通過給定口徑，反算焦距，看看能否實現不。
既然問的是月光能點火不，那肯定是地面光學系統了。地面最大光學系統哪家強，必然是大歐羅巴的E-ELT了，口徑39米，口徑是2厘米的1950倍，忽略大望遠鏡一切像差，其對月亮聚光能力（這個詞用的不準確哈）是後者對太陽的380萬倍。那麼裕量是9.5倍，則焦距可以放鬆至10cm*（9.5^0.5）=31厘米。額，沒想像中那麼好。
好吧，我們把對日光能點火透鏡選的再極端一點，1厘米鏡頭，1厘米的焦距再來看看，則E-ELT的焦距可以放寬鬆到31厘米的20倍也就是6米，F數為0.15。好吧，這次可以絕望了。
總結：
1、在前面討論的前提及文中補充的等效條件下，月光不能點燃太陽光下能點燃的紙。
2、關鍵點A：太陽和月亮的視角尺度使其成像不能成為極小點，不能用無窮遠處點光源考慮。
3、關鍵點B：現實中，大口徑光學匯聚系統F數是有限制的，使得不能通過無限增大口徑的辦法提高系統增益。
4、但是理論上，這樣的系統是可能的，假定系統無像差、無形變、地月相對靜止、無大氣擾動、光學材料穩定等各種理想條件（耍流氓），通過微元法光線追跡是可以得出焦距極小的光學成像系統鏡面曲線的，雖然可能只是數值解無解析解，無法實現。
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最後補充題裡面那個問任何光學透鏡也不可能產生比光源表面更熱的光的答案，以及大家討論里容易混淆的東西：
1、光是沒有溫度概念的，另外熱這個詞描述光學匯聚系統里也不準確，匯聚點產生的溫度還跟放的介質吸收譜等有關。由於透鏡是個匯聚系統，聚焦點上單位空間的光功率（也就是光輻射通量）是可以超過熱源的，但是總功率是低於熱源的，與熱二不矛盾。原問題對熱二嚴重偷換概念 @章彥博。
2、光的亮度和光輻射量是很容易搞混的。兩者區別在於光亮度是以人眼接收光後的響應進行定義，兩者之間的轉換需要考慮波長值。典型例子是，由於人眼視覺細胞波長選擇性，兩束不同波長的激光，可以具有相同亮度，但是具有不同光功率。如果不是單色性好的激光，而是自然光這種，沒有光譜參數無法轉換。
3、本題簡單分析後可以排除月球的黑體輻射，原因前文說的很清楚了。選這條路推公式的，沒抓住主要問題。另外，維基百科也不是全對的，4100K我沒查 @凌晨曉驥，但要麼是物理概念錯誤要麼或引用不全。3600K請查閱公式，屬於物理和數學錯誤 @ATP合成酶，文中其他錯誤先略過。
4、月球視角有用，但透鏡無法擴大該立體角，全包起來也不行，物理概念錯誤 @LePtC 。

我覺得如果是現代望遠鏡那是可能的，沒有詳細計算。只是提供一種思路給大家參考。

那些說130攝氏度或者240K的，知道這是什麼波段嗎？確定玻璃還能透過這個波段的光嗎？這個中紅外波段—7.2微米/12微米是被玻璃吸收的波段，而且130攝氏度黑體譜線原則上也會被大氣吸收，240K則不會，對應N波段窗口。

說到底還是要靠月球反射的可見光波段來加熱，考慮月球的表面溫度是個很扯淡的說法。這個可見光對應的黑體輻射溫度和太陽光不是完全相同，大約是4100k的黑體譜。原則上月光不過是相當於一個表面溫度更暗的太陽離得更遠照射而已。

決定紙張是否點燃點燃本質上和月球表面溫度無關，而是取決於單位時間單位面積內到達紙張表面的月面反射光子數目和能量。通過匯聚光線，有可能能夠匯聚光線達到足夠的能量密度。

經典球面放大鏡應該是不行的，幾何上它不可能把光線聚集在一點。如果不是放大鏡，而是望遠鏡，可能能實現樓主的要求。

現代大型望遠鏡採用反射鏡面，可以很好的匯聚平行光且沒有色差和低階球差和慧差。原理上，我估算了一下，一個直徑32米的望遠鏡就可以匯聚月球光線達到等同於點燃紙張所需要的太陽光一樣的輻射能流。下一代三十米望遠鏡應該就行了。

我還是太naive了，下面都不太對，大家去看LePtC的答案吧QAQ。
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第二次update，給出一個非常直觀的解答：

首先，太陽的溫度是6000，因此直接聚焦太陽光最多可以把物體加熱到6000度。其次，太陽光不管經過什麼樣的透鏡組之後到達地球，都依然能把物體加熱到6000度。

然後，現在出現一個月球，把它當成一個反射鏡即可，它的反射效率是13.6% （感謝@陳俊欽提供數據），因此經過它的太陽光會變弱。

這時候地球上接收到的經過月亮的太陽光能把物體加熱到什麼程度呢？提供的最大能流密度就是之前的13%對吧？對0.13開四次方得到0.6，因此月光最高能加熱到的溫度就是3600K。

由於是數量級估算，和下面結果相比已經很接近了。另外這是理想情況的結果，現實情況下可能達不到這麼高，但估計也不會低太多。

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update一下，我仔細思考了一下，更改了一下演算法，導致結果產生了變化，不管是支持的還是反對的，最好都重新看一下。

真想哭給你們看……
這個問題在若干年前我在百度物理吧還是相對論吧之一，和很多吧友討論過，被各位大神點撥之後才想清楚了。剛才找了半天沒找到，如果誰能找到當時的帖子那就太好了……

經過我的計算，結果是：理想情況下完全可以，它最高可以把物體加熱到大約四千度。但是實際操作的難題在於如何避免不必要的散熱。
以下為計算過程：

首先我想說清楚，對於這個問題最理想的條件應該是：被加熱物體是黑體，並且不包含任何除了熱輻射之外的散熱方式，在月光加熱和熱輻射之間達到一個動態平衡，如果這時候的溫度大於紙的燃點，紙就可以被點燃。
我們先討論沒有大氣層，沒有地球，沒有黑體輻射，沒有廣義相對論的理想情況。

下面開始計算：
1.太陽的溫度是6000，因此直接聚焦太陽光最多可以把物體加熱到6000度，這一點很重要，很重要！！！！！如果不懂這一點請務必要想清楚，否則後面都是雞同鴨講。原因參見：

黑體的平均溫度 &<= 光源的平均溫度

已經有很多答案探討這一定理，我就不多費筆墨了。直接看月亮的話，這個定理是不成立的，但是對於太陽光這個定理是可以直接使用的。
（太陽光的溫度數據來自網路）

2.借用 @ZX Huo 的結果，月亮的亮度是太陽的1/400000，因此可以認為月球能提供的最高能流是太陽的四十萬分之一。

3.由於能流和表面積成正比，為了得到月光的真實強度，我們需要做一個換算。
太陽半徑：700000km，月球半徑2000km，表面積相差了122500倍，因此單位面積的輻射光強之比是：太陽：月球=400000/122500=3.26倍。
也就是說月亮吸收了大約70%太陽光，反射了30%，看起來挺靠譜的。
對3.26開四次根號得到溫度換算係數：1.34
也就是說月光的溫度=太陽溫度/1.34=4477K

為什麼可以這麼算？因為對於黑體而言，它要處在一個吸收電磁波加熱和釋放熱輻射降溫的平衡之中，吸熱的速率降低之後，它的溫度必然會變，最終結果就是吸熱=散熱，這時候黑體的溫度變化就相當於對倍數開四次方，因此可以直接認為「月光的等效溫度」也是這麼變化的。
這個近似確實有值得探討的地方，能否這樣等效的將月光的溫度得出來呢？我覺得這裡近似成立的條件應該是太陽和月球的半徑都遠小於到地球的距離。

結論：在理想情況下，聚焦月光得到的最好結果是把一個隔熱的黑體加熱到4477K，顯然這個溫度是可以燒熟，啊不，燒著任何東西的。

但是為什麼月光這麼冷，和太陽光完全不一樣呢？因為月球太小了，因此能流比較小。
總而言之，如果使用更大的透鏡，等更長的時間，最終結果完全可以把紙點著，甚至把鐵燒成鐵水。

另外，我沒有任何天文學基礎，以上所有數據均查自別處，不能保證正確，因此希望懂的人幫我查錯。

感謝ZX Huo的數據（實際上是我偷拿來用的）。

「任何透鏡都不能被照物體的溫度比光源更熱」這句話是錯的。熱力學第二定律的克勞修斯表述說的是：不可能把熱量從低溫物體傳遞到高溫物體而不產生其他影響。

絕大多數光源，他的發光過程中都會伴隨著不可忽略的「其他影響」。

對於電燈，「其他影響」是一部分外界電能轉化成了光能。聚焦日光燈使光點處的溫度高於日光燈的溫度是很容易實現的。

對於激光，「其他影響」是外界泵浦。激光聚焦到某些物體上時，可以輕鬆產生比激光腔更高的溫度。隨便淘寶一個激光點煙器就明白了。激光武器要是這麼說豈不是要先把自己燒了。。。

甚至對於太陽，也不能使用熱力學第二定律，因為太陽內部有大量核變化，太陽的質量處於不斷變化過程中。

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當然現實來講，月光幾乎不可能點燃日常用品，即使你透鏡非常大。因為透鏡越大，產生的像差也就越大（比如球面像差）。由於各種波長的同時存在，焦點又進一步分散。所以你的焦點其實是好大一塊焦「體」。

純粹從理論上講，用簡化的物理模型來看，是不能的。原題目問的是理論上能不能，說不能，似乎並沒有錯。
實際上，如果更全面的考慮，其實答案是能的。

無論做數學，還是做物理，我們都已經習慣了對模型進行簡化，在這個簡化的模型中能夠得出理論上的結果。——比方說中學物理經常說：冰水混合物的溫度是零度。——這句話從物理理論上來看是對的，然而常識卻覺得它不對。

冰水混合物的溫度是零度，這是穩定狀態，中學物理研究的只是穩定的平衡狀態，所以冰水混合物當然必須是零度。——然而常識告訴我們：如果剛剛把冰放進去，冰的溫度當然可以低於零度，水的溫度當然可以高於零度，他們完全可以處於這種不平衡，不穩定的狀態，從而推翻冰水混合物必須是零度的規則。

月光點火的問題，其實簡化一下，就類似於這種說法：給定一個有限流強的光，不限定時間，並且允許添加各種裝置，能否把目標物體加熱到比光源的熱平衡溫度更高的溫度？

我的回答是：如果只考慮熱平衡狀態，顯然是不可以的，但熱並不是平衡的，我們完全可以讓它可以。

用月光加熱紙片，紙片同時也會向外輻射出熱量，如果這些熱量都直接消失了，那麼月光永遠不能讓它達到燃點。

不過，假定這些熱量消失，只是你做物理題的時候的理想情況。現實中你並不能假定紙片輻射出的能量全部直接消失。

現實中，紙片輻射出的能量並非全部消失，它可能在局部會短暫的造成高溫，這個溫度可以高於光源的理論溫度。

因而，我們可以製作各種裝置，讓物體輻射出來的能量反射回去，或者將熱量限定在很小的一個空間內，或者儲存輻射出來的能量，讓它循環回去用於加熱紙片。這樣，經過足夠長的時間，積累的能量當然就可以讓紙片被加熱到超過燃點了。

結論：能，我們甚至不需要非常大的透鏡組，只需要一個合適的儲能裝置即可，只要能夠將被加熱物體輻射出去的能量捕捉住，給定足夠的時間，就可以實現在只有月光的情況下點燃物體。

題外話：
這個問題讓我想起，那個經典的，一公斤的水能否浮起一公斤的物體的問題。
物理定律說，浮力等於排開水的重量。——所以大多數人眾口鑠金的說，一公斤的水肯定不能浮起一公斤的物體。
但，做這道物理題的時候，很多人忽視了：排開的水到哪去了。
現實是：如果我們把排開的水再加回到容器中，可以使得等效的排開水量遠遠大於一公斤。一公斤的水浮起兩公斤的物體，甚至十公斤的物體，也並不是稀奇事。

用熱力學第二定律來說所聚焦處的溫度達不到光源溫度是不合理的。這是個非平衡態系統，局部有溫度變化是可以穩定的。

另一個，熱力學第二定律不會和已有的、已經證明可行的定律抵觸。因為這是一個基於大量粒子、對象的統計結果。如果不使用熱力學第二定律，可以得到聚光點溫度高於太陽溫度結果，那麼就說明這時用統計力學是不合理的。

直接計算，太陽的熱輻射功率密度是：

$P_s=sigma T^4$

到地球之後，其功率密度是：
$P$
透鏡聚焦之後的像的半徑為：
$r=frac{f r_s}{L_e-f}$
假設透鏡半徑為R，那麼就在半徑為r的區域內聚焦了這麼多的功率：
$P_r=pi P$
考慮散熱平衡的問題，可以得到平衡方程：
$2 pi r^2 sigma T_w^4=frac{pi R^2 sigma T^4 r_s^2}{L_e^2}$
有：
$T_w=2^{-1/4}sqrt{frac{R r_s}{r L_e}}T$
帶入之前的r數據，有：
$T_w=2^{-1/4}sqrt{frac{R r_s}{frac{L_e left(f r_s ight)}{L_e-f}}}T$
T前邊的係數，帶入實際的數據，再比對不同半徑的理想透鏡，可以得到關於R和f的函數：
$T_w=k T,k=2^{-1/4}sqrt{frac{R r_s}{frac{L_e left(f r_s ight)}{L_e-f}}}$
帶入數據，有：
$k(R,f)=2.17 imes 10^{-6}sqrt{frac{(1.5 imes 10^{11}-f) R}{f}}$
單位為米。
這個時候它的值是多少呢，能超過1嗎？

對於不同的R，f，k&>1的區域如下（假設焦距最小是透鏡半徑的1/2，即f&>R/2）：

存在這樣的區域，但注意，要求被照射物體的面積恰好與成的像大小相同。

這不違反熱力學第二定律，我想再說明一下，因為這不是平衡態，而且這只是地球這個巨大系統中的一個微小漲落，而且太陽與地球之間的體系也不是封閉體系，實際的體系是這樣的：

核能---&>太陽----&>地球----&>宇宙微波背景輻射（低溫熱源）

對於月球，不能將其看做黑體。來自月球的能量，很大一部分是來自反射，而不是熱輻射。我們做一個放縮，假設反射率為1，那麼所得的能量全部都來自太陽。再做一個放縮，假設月面上的可視光強相等（正弦光強分布假設），那麼，所得的能量需要做一個修正，相同計算過程，得到k：
$k(R,f)=frac{sqrt{R r_{ ext{moon}} r_s}}{sqrt[4]{2} sqrt{r d_{ ext{moon}} L_e}}=frac{sqrt{R r_{ ext{moon}} r_s}}{sqrt[4]{2} sqrt{frac{d_{ ext{moon}} L_e left(f r_s ight)}{L_e-f}}}$
$k(R,f)=frac{1.452 imes 10^{-7} sqrt{R}}{sqrt{frac{f}{1.5 imes 10^{11}-f}}}$
注意此時，k T中的T還是太陽溫度。
這時帶入數據計算，若有f與R的關係限制，是無法引燃物體的（當然，引燃白磷什麼的還是沒問題的……）
——————
補充，考慮成像誤差之後，的確有一個溫度上限，但這與熱力學第二定律無關，因為這是一個非平衡態過程。

假設用一個旋轉拋物面反射太陽光，近軸下是嚴格成像的，但考慮成像誤差，用一個一階的近似就足夠了：

即，成像的斑點半徑由r變為：
$rleft(1+left(frac{R}{f} ight)^2 ight)$

這時將新的實際半徑帶入之前的方程之中，可以解到：
$T_w=0.8409sqrt{frac{f R}{f^2+R^2}}T$
使用均值不等式，可以知道：
${T_w}_{ ext{max}}=0.8409/sqrt{2}T=0.5946T$

但是，這與熱力學第二定律無關。
————
進一步，直接用熵增來判斷。
太陽光相比於平衡態的光子氣，是低熵的。而人將一個透鏡放在物體前，這時假設聚焦處溫度高於太陽，並不一定使得熵降低，反而可能使得熵增加。因為初態並不是熵極大的狀態。

————
數據來自：Astrophysics in a Nutshell, Dan Maoz

哇擦沒有好好審題題目原文就是我翻譯的煎蛋文啊！！摔 (╯‵□′)╯︵┻━┻

抱歉又給大家添麻煩了！（咦為什麼要加「又」）

特別感謝原文 xkcd 的作者給我們帶來的科普和歡樂
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翻出我一篇翻譯的煎蛋文：WHAT IF: 聚月光能否點火

我們能用放大鏡匯聚月光點火嗎？
——Rogier Spoor

這問題看上去很簡單。放大鏡能把光線匯聚到一個點。很多熊孩子都擅長這個玩火的把戲。Google一下，就知道太陽的亮度是月亮的40萬倍。所以我們只要淘寶一隻40萬平方英尺的放大鏡就行了……吧？

001

大錯特錯！正確答案是：寥寥月光豈能引火？（貌似Bon Jovi 有一首歌就叫《You can"t start a fire with moonlight》）。無論你的放大鏡有多大，這事兒沒戲。這麼說你們可能還是懷疑，但掰起來，我們就得掉到光學理論的大坑裡去了。

發現一個單反窮三代的坑

首先和能量守恆有點像，就是： 你用任何光學透鏡都不可能產生比光源表面更熱的光。 換句話說，你用放大鏡也無法製造出比太陽表面更熱的光點來。可以有很多方法來證明這個理論，最簡單，也是最枯燥的就是從熱力學定理來推敲：

因為透鏡/鏡子本身不會做功，也就是說他們不會產生任何能量，更進一步講，它們的作用是可逆的，也就是你增加再多的透鏡，也不會增加整個系統的熵。如果一個放大鏡能製造比太陽表面還熱的亮點，那等於你從一個更冷的地方獲取能量輸出到一個更熱的地方，也就是說，你製造了一台「永動機」！而萬惡且讓人絕望的熱力學第二定律告訴你，這是不可能的。

熱力學第一定律規定機器人不得傷害人類，除非這麼做會增熵。

太陽表面溫度在5000攝氏度左右，所以你用放大鏡聚來的光，溫度不會超過5000度。月球受光面溫度在100攝氏度高一點。這點溫度低於很多物質的燃點。

但機智如你肯定會反駁「不對啊，月光和日光完全不同，太陽是個黑體——它的輻射來自於其高溫。而月光是月球對於太陽光的反射，而太陽光溫度高達上千度，所以以上說辭不成立啊！」

但事實還是如此，原因最後講。但首先熱力學定理本身在太陽身上適用嗎？一樣適用，熱力學定理雖然絕望，但是它是宇宙間絕對無法推翻的亘古真理。對於有點物理學背景的讀者，如果只從能量傳輸的角度，可能還是有點想不明白，為啥不能匯聚更多的光到一個小點，來產生更高的溫度呢？只需要湊滿10^26 瓦的能量，就能製造高於太陽的光斑了不是嗎？

但實際上，放大鏡並不是如你所願把太陽光匯聚成一個小點，除非太陽本身就是一個小點。放大鏡只是把太陽光匯聚到一個「區域」，投射了一個太陽的「虛像」（可以更大些）。明白這一點非常重要，來看下圖：

在理想狀態下，一枚透鏡可以把A點發射出來的光，全部聚焦到一個小點C上，一束光線都不能走歪。所以自B點發射出來的光線也得順著確定的光路走到聚焦點C：

吶，麻煩來了，因為光學上，光路是可逆的。如果光線要從C點穿過透鏡原路返回，會發生什麼情況呢？因為光路可逆，所以光線應該回到它出發的地方。但是透鏡哪兒有腦子記住同樣一個小點上的光是來自A點還是B點呢？

所以，我們可以說，沒有任何透鏡可以把所有光線反覆重疊在同一點上，因為整個光學系統必須是可逆的。這就阻止了我們匯聚所有太陽光製造出比太陽還熱的光線的邪惡想法。

謎の聚光

沒戲，這事兒您辦不到。

其實，任何光學系統都必須遵從「聚光度守恆定理（conservation of étendue）」，這條定理說，如果自一個有面積的光源，發射光線從不同的角度射入一個光學系統，那麼其入射面積乘以入射角度=發射面積乘以發射角度，所以如果你要把光線匯聚輸出到一個更小的區域，那就需要更大的輸出角度。

違反此項規定者判拘役10日，並處200美刀罰金。

換句話說，平行和聚焦不可兼得，也就是不可能把光線聚焦到一個無限遠的小點上。

還有另外一個講法讓你明白透鏡的特性：透鏡只是從空氣中被動地接受光源，它們不可能把任何一縷光線變亮，你拿著放大鏡看一面牆，它只是把牆投射到你的眼睛裡，它不會讓牆壁看上去更亮，否則它就違反了聚光度守恆定理，所有透鏡系統能做的，只是把光源投射到目標位置上，等於把光源透過透鏡把目標物體包圍起來，看圖：

今天的天氣預報有點婀娜

如果你能讓太陽表面包裹住你，那你就等於是漂浮在太陽中間，與太陽同輝（小心燙）。所以，如果你被月亮表面包圍起來呢？你覺得你會被烤成幾成熟？月亮表面的石塊就可以看做是被月亮這個光源包圍著，它們也沒著火吧，所以你拿再大的放大鏡匯聚月光，得到溫度也不如在月球表面蹲著的一塊石頭。

最後，我還能拿什麼來說服你聚月光不能點火呢？你看，登月的宇航員Buzz Aldrin還活的好好的，不是嗎？

於是 Bon Jovi 以讓人費解的理由謀殺了Buzz Aldrin

[via xkcd]

「任何光學透鏡也不可能產生比光源表面更熱的光」的說法有點不嚴謹，但是大概含義是正確的。比較嚴格的證明和表述我發表在我的另一個回答
為什麼不能利用凸透鏡使被照射物的溫度高於光源？ - 黃小狼的回答
我把這個回答並且附在後面了，不過格式有些亂，最好還是看原始回答。在那個答案後面的評論裡面，我也簡單討論過月光的問題。在討論這個問題的時候，熱力學第二定律是要滿足的，不過要注意引用正確。比如和月亮表面的溫度比較就是引用錯誤。對於這個問題更有說服力的證明用到了劉維爾定理。

月光本身不是黑體輻射，相對於反射的太陽光來說，月球本身溫度產生的黑體輻射完全可以忽略不計。因此直接和月球溫度比較是沒有意義的。有意義的是比較太陽的溫度。但是由於月球只把非常小的一部分太陽光反射到地球，而且是個效率極差的光學系統，所以匯聚能夠達到的最高溫度也遠低於太陽溫度。

至於能不能點燃紙，需要簡單估計一下通過匯聚月光，理論上能達到的最高溫度。
因為滿月的星等比太陽大14，亮度大約是太陽的40萬分之一，而月亮和太陽的視面積恰好相當。所以月亮的specific intensity就是太陽的40萬分之一。月光光譜大致是個稀釋了的黑體譜，用黑體輻射功率做個近似，輻射功率正比於 $T^4$ ，太陽的溫度是5700K。月光的輻射等效溫度（不是嚴謹定義的物理量，僅用於估算）是 $5700K (1/400000)^{1/4}approx230K$ 。這個溫度基本就是匯聚月光能夠達到的極限溫度。230K低於攝氏0度，遠低於紙的燃點。所以從理論上講，即使你有個能把整個月亮包起來的鏡子，理想成像，也不可能聚焦到能點燃紙的溫度。因此像其它若干答案那樣討論望遠鏡口徑，焦比等等不是很有必要。

===============以下為我另一個回答里關於匯聚極限溫度的討論===============
==============排版有點亂，推薦有興趣的看上面鏈接對應的原始回答===========

題主的問題可以分成三個部分。
1. 熱力學第二定律是如何應用到光源以及被照射物溫度這一問題上的
2. 為何大家感覺LED燈不熱
3. 能否通過匯聚若干LED燈的輻射獲得足夠高的溫度，從而達到紙的燃點

對於第一個問題，先來看熱二律是什麼。熱二律的克勞修斯表述為
「不可能把熱量從低溫物體傳遞到高溫物體而不產生其他影響。「這個表述是和題主問題最相關的一個。
下面來具體討論一下這個表述如何應用到光源以及被照射物溫度這一問題上。
我們先不考慮LED燈的問題，先假設光源是一個近似理想黑體，比如白熾燈或者太陽。理想黑體輻射的特點是其總輻射功率（單位時間內輸出的能量）和其表面積成正比，和溫度的四次方成正比。用公式寫出來就是
$L=A sigma T^4$
其中A是表面積， $sigma$ 是斯特藩-玻爾茲曼常數。
相關的，黑體內部能量密度(單位體積內的能量）為
$u=frac{4sigma}{c}T^4=aT^4$
如果能把一個黑體輻射的能量匯聚到一個點，那麼這個點的能量密度可以非常高。如果在這個點上再放一個小表面積的黑體，這個小黑體會吸收所有來自大黑體匯聚過來的能量。同時，小黑體本身也會有自己的輻射。而且為了使得溫度不會無限上升，達到平衡時，其輻射功率必須與吸收功率相同。而小黑體表面積小，則必須要更高的溫度來實現這一點。這看上去在達到熱平衡的時候，小黑體獲得了比大黑體更高的溫度。在達到平衡的過程中，能量由低溫的大黑體自發流向高溫小黑體而沒有產生其它影響，這和熱力學第二定律相矛盾。
然而這些推理都是基於「能把一個黑體輻射的能量匯聚到一個點「的前提之上，這個矛盾的原因就出在這個看上去好像沒什麼問題的前提上。因為大黑體本身是有一定大小的，沒有任何方法可以通過匯聚光源的輻射，使得空間中任意一點的輻射能量密度大於黑體光源內部的能量密度。（注意在黑體表面上，因為沒有入射輻射，所以能量密度是內部的一半）。舉個例子，比如用一個大的反射橢球，把兩個黑體放在橢球的兩個焦點上。如果可以忽略黑體的大小，那麼一個焦點發出的光會完美匯聚到另一個焦點。但因為黑體球有一定的體積，輻射不會真正完美的匯聚到一點，在另一個焦點的位置的輻射能量密度不大於黑體球溫度對應的能量密度。這一結論更嚴格一些的解釋見回答最後的附加內容。基於這一事實，被照射的小黑體球的溫度不可能高於作為光源的大黑體球，這一結論符合熱力學第二定律。
使用相同的論證過程，可以把這個結論的適用範圍由黑體推廣到各種均勻各向同性的光源。

以上演示了熱二律如何應用到光源和被照射物這一問題上。下面來討論光源是LED的情形。

Zou的說法給人的感覺是，LED最多可以把被照射物的溫度提升到 $frac{h u}{k_b}=2 imes 10^4$ K。這個結論是錯誤的。做個類比，微波爐的微波是非常低的頻率，對應非常低的溫度，但是卻能把食物加熱。目前可控核聚變的激光約束（參見Inertial confinement fusion）就是用多束激光在小空間內獲得極高的壓力和溫度從而維持核聚變。之所以這個結論和前一段的不同，重點在於無論是激光還是微波爐，其光源都不是黑體，都不處在平衡態。不處在平衡態的光源，不僅無從定義溫度（可以定義一些等效溫度，比如 $frac{h u}{k_b}$ ，但是這和熱二律裡面提到的溫度不是同一個概念），而且必須要外界不斷提供能量以維持，從而不滿足熱二律「不產生其他影響」的要求。LED燈也是非平衡態，LED燈是依靠二極體發出光，而不是燈泡本身的溫度。因此，將熱二律應用在LED燈上本身就是錯誤的。

下面來分析第二個問題。為何大家感覺LED燈不熱？
白熾燈給人溫暖的感覺，燈泡也總會很燙，主要是因為白熾燈的輻射中，肉眼不可見的紅外線佔了很大比重。一般的物體可以非常有效的吸收紅外線，從而提高溫度。而LED燈幾乎沒有紅外線輻射，其輻射主要在可見光波段，這也是為什麼LED燈節能。但是我們生活中的物體對可見光的吸收效率都比較低，即使是黑色物體還是會反射不少能量，因此對物體的加熱效應不明顯。

最後一個問題，匯聚若干LED燈的輻射能否獲得足夠高的溫度，以至於點燃紙呢？我認為很難，但是是可能的。
之所以很難，其一，LED基本是各向同性發光的，那麼文章第一部分的結論就近似成立，通過對LED聚焦不可能獲得明顯高於光源的輻射強度。於是真正決定匯聚點最高輻射能量的，不是總共的LED輸出能量，而是LED燈的發光強度（單位面積輸出功率）。於是即使有一億個LED燈，如果每個燈的發光強度不夠，還是不能獲得更高的匯聚點輻射能量。我們日常生活中見到的LED，其發光強度一般不超過 $1~ m{W/cm}^2$ ，這一輻射強度對應於黑體溫度 $sim 600 ~ m K$ ，高於紙的燃點但沒有高出非常多（紙的燃點在200 $m{^oC}$ 左右Autoignition temperature）。這一理想溫度只有在使用特別設計的聚焦設備時才可能接近（之所以說是接近，是因為所有光學器件的效率都不是100%）。比如其要求匯聚LED燈向各個方向發出的輻射，若使用一個LED和一個凸透鏡來聚焦，顯然就遠達不到這一要求。使用多個LED燈和多個透鏡來聚焦到同一點（小區域）上，等效於把一個LED燈向其它方向的光也匯聚過來，但這仍然做不到把各個方向的輻射都聚集過來。
其二，LED發出的可見光，對物體的加熱效率很低，即使匯聚到這個能量密度，也不一定能點燃紙。另外黑色的紙會比白色的更容易點燃一點。

不過也不是絕對無法點燃的。如果我們可以在保證二極體不被擊穿的前提下，極大的提高LED的輻射功率（對應Zou圖中每秒有更多的電子躍遷），使得在LED燈表面就達到非常高的溫度，那麼點燃還是有可能的。目前特別高亮度的LED燈（指的是單位面積的輻射，多連幾個燈是沒用的），其發光強度可達 $300~ m{W/cm}^2$ （http://www.infiniled.com/news/infiniledmicroledsachieveultra-highlightintensity）。使用這樣的超強LED燈就不是那麼難點燃紙了。另外，如果用特製的LED激光器，也可能點燃紙，不過這個就不算LED燈泡了。

附加一個問題，利用光源的輻射，經過各種匯聚，理論上最高能達到什麼溫度呢？
假設 $I_ u$ 為光源表面的Specific intensity
$I_ u=frac{dE}{dA ,dt ,dOmega ,d u}$

那麼有
$T_{max} leq max left(frac{h u}{k_b lnleft(1+frac{2h u^3}{c^2I_{ u}} ight)} ight)$
其中max表示考慮各個方向和頻率時，表達式能取到的最大值。表達式的等號僅當光源為黑體時有可能達到。這個最大溫度並非簡單的 $frac{h u}{k_b}$ .

=========================================

關於「沒有任何方法可以通過匯聚光源的輻射，使得空間中任意一點的輻射能量密度大於黑體光源內部的能量密度」的進一步解釋。以下內容複製自北大未名站文章閱讀 Re: 輻射平衡以及熱力學第二定律，為知乎網友梁昊所寫。

事實上這個聚焦是實現不了的。
朗道的統計一上對於這個問題有一個非常好的論述（答主注：這個論述在朗道《理論物理學教程卷五》第五章費米分布和玻色分布，第63節黑體輻射中的最後一段），當然，他是建立在光子觀點上的，光子觀點對於略去相位的熱輻射是足夠了的。

考察從輻射源輻射出來的一個光子，考慮其相空間（即坐標空間直積動量空間）代表點附近的一個小鄰域，此處有一光子數密度。該密度對動量空間積分即得功率密度（差一無關緊要的常數）。對於（註：黑體）輻射源表面，該密度在動量空間的一個半球面上是常數。

一切透鏡或其他光學器件對於光子的作用都可以用哈密頓量來描述，即該體系是一個哈密頓系統。

哈密頓系統滿足劉維爾定理，即沿著自輻射源發出的光子的相軌，相空間中光子數密度不變。

設空間中任意一點，存在一個完全吸收的表面，此處的功率密度等於光子數密度對於動量空間積分，而在動量空間的那個半球面上，要麼對應相點有相軌通過，對應密度為 $ho$ ，要麼對應相點沒有相軌通過，對應密度為0. 那麼，總的積分結果使得此處的功率密度不可能高於輻射源表面的功率密度（答主認為：「輻射源表面的功率密度「這一說法不準確，應該是黑體輻射源內部能量密度）。

不可以，這個問題曾經在煎蛋的what if上討論過
http://i.jandan.net/2016/02/14/whatif-145.html

重新貼一下我的回答

「
事實上透鏡在這題里並不存在任何意義，原因作者已經說明因為透鏡不會做功。

只考慮太陽和地球上的黑體的情況下,一開始黑體的溫度比太陽的溫度低，黑體溫度就會在陽光的照射下升高。一旦黑體的溫度達到太陽輻射出來的溫度，或者由於內因黑體本身溫度高於太陽的輻射溫度，黑體的能量輻射就會大於太陽對這個黑體的能量輸入，於是黑體的溫度就會下降。所以黑體溫度不會超過照射它的物體的輻射溫度。樓上的人認為被照射體溫度會一直上升的原因是,你們完全不考慮被照射的黑體自身也是會放出輻射的，尤其是它被加熱到極高溫的情況下。
同理月球也是如此，此題中，不管有沒有透鏡，月球作為漫反射的太陽光它本身也可以近似為一個黑體輻射源，它和地球上的某個黑體之間的相互作用，理想狀態下都是它們達到平衡溫度，即月球受光面的平均溫度100度。

」

「
@Vito: 所以說你還是沒有看懂我所說的「當小黑體溫度超過大黑體時小黑體也會輻射出能量給大黑體最後達到大小黑體的平衡溫度」當小黑體一開始沒有對大黑體做任何能量貢獻時其實就是大黑體的溫度
你沒有搞懂一點是「不存在不做功而能把能量聚焦的東西」這違背熱2定律。此題中的凸透鏡小黑體的輻射也可以返回去「聚焦」給大黑體」
」

「

其實作者解釋聚光度有點打哈哈的意思這不是問題重點，不過作者每次都衍生很多知識內容所以也見怪不怪了。

重點是「不做功的東西是不能單向聚焦的！不做功的東西是不能單向聚焦的！不做功的東西是不能單向聚焦的！」

在月光(其實不是平行光)「聚焦」到地球上的小物體時，小物體的輻射也在「聚焦」(其實是透過透鏡發散)到月球上，尤其是假設小物體溫度極高的情況下我們就不能忽略小物體對月球的輻射貢獻了。

說白了其實這題說出「透鏡聚焦」一詞，就已經是理想的平行光條件了。然而其實所有過程都不是物理意義上的「聚焦」

」

首先計算功率密度，剩下的就是你能不能做出來這麼大的聚光鏡片，反射式還有可能，透鏡基本放棄吧，估算一下這個直徑，地球科技是做不出來的。

漫反射也是反射，而不是黑體輻射

所以如果鏡子造的足夠好，是可以的

你聚焦的是經過月亮反射的太陽光

你硬要我說，我說：可以用放大鏡聚月光點火。

我小時候很殘忍的，現在想起來真的覺得是惡魔。

我小時候最喜歡乾的兩件事情：

①把河裡的螃蟹抓來丟酒精裡面，然後拿出來讓它跑，然後點火...

②把放幻燈片的機器拆了，把裡面那種直徑15cm的焦距約為10cm的巨大透鏡拿出來，找個陽光明媚的日子，聚焦燙螞蟻玩...

由於第②個的經驗，所以我要來回答這個問題：

一想到月光，再想到我那陽光明媚的陽光，這光強差了10000倍不止吧（有興趣的可以根據立體角算一算，反射率自定義一下就好，月球自身輻射忽略）。

所以為了實現點火，我只能從幾方面提供一個理論上的可能：

①提升透鏡直徑，縮小透鏡焦距；把直徑15cm的透鏡變成15m，那不就拿到10000倍的光子了么；另外，透鏡焦距要盡量小，透鏡的焦距f和最終能聚焦到的光斑束腰w之間乘積是大於一個定值的，你當是測不準關係也好、能量不確定性也好，反正就那麼點事；平行光什麼的，都是小事，不管是月亮，還是太陽，那個距離和大小就當是平行光好了；這個微小的平行度要求在測不準關係面前啥都不是...

②找一個光吸收的好材料：光要是變成熱，那得找准材料，把光子吸收全部變成熱能，找個基本100%變成熱的材料不難...

③找一個燃點低的東西：白磷我就不說了，肯定有比白磷更低的...

咳咳，有這三個東西，我想應該可以點火了吧...

另外，那些談什麼黑體輻射的，我就不說啥了；

解這題，你只需要光子、吸收轉熱、燃點，就足夠了；

目錄&>&> 賤賤『分類』合集

專欄&>&>『研』『組』『文』

胡說八道不能產生更熱的光點，只是你口徑不夠而已。另外因為沒有大口徑放大鏡，通過透鏡組的方法更是可笑，最終限制還是第一片透鏡的口徑，而且鏡子越多中間消耗也越大。

英國的COIL公司生產的放大鏡佔據全球市場40％的份額。德國的宜視寶公司佔據的份額比例為15％，視維德公司則擁有8％的全球市場。據我的了解，資金最龐大技術最成熟的這三家公司都不生產直徑十多米的放大鏡。所以你的想法只能夢裡想想了……

除非你自己創辦一家公司生產所需要的放大鏡。

問題有很嚴重的漏洞：
1、月光不是黑體輻射，而是太陽反射光與月球黑體輻射的和，如圖：

而月球的溫度是變化的，因為它將部分光能轉為熱能，熱能再發生黑體輻射：白天，在陽光垂直照射的地方溫度高達127攝氏度；夜晚，溫度可降低到零下183攝氏度。
所以如果將月球固定化，月球的表面溫度還可以繼續上升。如果保溫完善，月球最高溫度也是6000K。

2、假設月球就是6000K日光黑體輻射的反射和最高127攝氏度的自身黑體輻射
那麼匯聚月光加熱物體，如果保溫效果極好，那麼物體的溫度要高於127攝氏度，然後物體的輻射反過來開始加熱月球，最終的結果還是看月球的保溫

匯聚光最佳的就是用光源包圍物體，如圖：

地球上的透鏡恐怕不行，但反射鏡組是肯定可以的。
首先月亮在這裡就相當於一個40萬分之一效率的漫反射鏡，其自身沒達到熱平衡態，不能視作光源。
假設10cm透鏡把日光匯聚到2mm*2mm的空間可以達到點燃條件，其實這裡透鏡組就起一個10e4量級的能量匯聚作用。由於月光是日光的40萬分之一流強，我們只需要設計一個4*10e9量級的匯聚光學組就可以了。
現在時間上似乎沒有這麼畸形的光學組件，不過我們可以設計一個。
比如我們以500m的八分之一球面作為孔徑，只需要2cm*2cm的匯聚程度就可以實現相同的能量密度了，500m,2cm*2cm以我粗淺的光學能力，似乎設計成1cm*1cm的平面鏡陣列都可以實現這個匯聚效果了吧。。。。在這樣的面積上敷設如此多的反射元件也許有點喪性病科，但輔助以自控技術，肯定是可以實現的。

看來我得換個手機了，我這手機連陽光都不能點燃

不想算也不想畫圖。
你只要收集的月光足夠多，也就是說你的透鏡面積足夠大，肯定能點火！