如何用諾特定理給出拉普拉斯榮格楞次矢量？

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與龍格楞次矢量對應的是動力學 $SO(4)$ 對稱性（準確的說，還要加上角動量的三個分量）

從變換 $delta x_i=frac{epsilon}{2}(2p_i x_s-x_i p_s-(vec r cdot vec p)delta_{is})$ 出發

$delta dot x_i=frac{epsilon}{2}(2dot p_i x_s-x_i dot p_s+p_idot x_s-frac{p^2}{m}delta_{is}-(vec r cdot dot{vec p})delta_{is})\=frac{epsilon}{2}(-frac{k}{r^3}x_i x_s+p_i dot x_s-frac{p^2}{m}delta_{is}+frac{k}{r}delta_{is})$

（第二步代入了運動方程）

將其代入拉格朗日量的變分，經過諾特定理的手續（和一系列足以留作課後習題的計算），可以得到

$Gamma=(vec p imes vec L-mkhat r)_s$

即給出龍格楞次矢量（的分量）

參考維基百科Laplace-Runge-Lenz vector

我提供一個半數學不數學半物理不物理的寫法（笑哭的表情），輕噴

記 $I_1,I_2,I_3$ 為so(3)的生成元

按Noether定理，Laplace-Runge-Lenz矢量的三個分量分別對應於一個力學系統Lagrange量所容許的單參數微分同胚群。

令

其中 $rinmathbb{R}^3$ 為位置矢量， $Linmathbb{R}^3$ 為角動量矢量。可以驗證上述三個單參數微分同胚群是力學系統的Lagrange量所容許的。進而，利用Noether定理，可以驗證上述單參數微分同胚群給出的首次積分即Laplace-Runge-Lenz矢量的三個分量。

解答樓上說的挺清楚了，只不過感慨居然在這裡看到了期末考試題orz