一隻股票現價20，上漲或者下降的概率為0.5，每次上漲或者下跌步長為5，求漲到30塊的概率是多少？

11-29

面試，概率題

這個題目其實沒說清楚。但是如果按照其他答案理解的，漲到30或者跌到0就停，那答案就是20/30。
這個實際上是一個有吸收態的馬爾可夫鏈，我們假設漲到30或者跌到0之後就不再漲跌了。問最後到達30的概率。
那這個隨機過程是一個鞅(Martingale)，其特點是隨著時間推移，其期望不變。因為到30或者0了就停住了，期望肯定就不再變了。否則一半的概率加5，一半的概率減5，期望還是不變。那我們看無窮遠時間的期望：以p的概率到30，(1-p)的概率到0，期望是30p。但這個期望應該等於初始狀態的期望20。所以p=20/30。

@詹健宇說的馬爾科夫鏈可以解決這個問題，方法如下

假設股票跌至0元，股票漲停結束，則狀態的轉移矩陣為

$[ B=egin{bmatrix}1 0 0 0 0 0 0\ 0.5 0 0.5 0000\ 0 0.5 0 0.5000\ 0 0 0.5 00.5 00\ 0000.500.50\ 00000.500.5\ 0000001 end{bmatrix} ]$

初始條件為a=[0 0 0 0 1 0 0]

用matlab執行 $a*B^N$ 最終可得(0.3333 0 0 0 0 0 0.66666)

即漲到30的概率為0.666666

此外，概率教材在講貝葉斯公式的時候有一道例題，與此非常相似

例題：一個人有a元錢，打算用於賭博，掙b元錢停止，每次掙錢或者賠錢都是1元，概率各為0.5，求此人賠光的概率

解：假設此人有k元錢賠光的概率為q(k)，此人第一次賭博掙錢的概率為q(A)，由題意知q(0)=1,q(a+b)=0,則

根據貝葉斯公式 $q(k)=q(k|A)cdot q(A)+q(k|ar{A})cdot q(ar{A})=0.5cdot q(k+1)+0.5*q(k-1)$

所以 $q(k+1)-q(k)=q(k)-q(k-1)=...=q(1)-q(0)=q(1)-1$

所以 $q(k)=kcdot q(1)-(k-1)$ 帶入 $q(a+b)=0$ 得 $q(1)=frac{a+b-1}{a+b}$

所以 $q(k)=frac{a+b-k}{a+b}$ ,得 $q(a)=frac{b}{a+b}$

即此人有a元錢，輸光的概率為 $frac{b}{a+b}$

用上面的股票套入a=20,b=10,所以股票下跌到0元的概率為10/(10+20)=0.333333

要不要考慮連跌4次之後摘牌？
https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#One-dimensional_random_walk

把陳碩和詹健宇的答案合併起來就對了

馬爾科夫鏈　問題

能夠達到30塊的概率是1。利用普羅霍夫定理或類似的中心極限定理，轉化為布朗運動的常返性。

不考慮摘牌的情況，肯定是1啊。
如果到0摘牌，就列61個方程解唄。
61個未知數分別是價格為0, 0.5, 1, ..., 30 塊的時候漲到30塊的可能性，
方程組是：
$p_i = p_{i+0.5}*0.5 + p_{i-0.5}*0.5$
意思是價格是i元時，一步之內0.5的可能性變成i+0.5，0.5的可能性變成i-0.5。
然後邊界條件 $p_0 = 0,p_{30} = 1$ 。

解吧。

$sum_{2}^{infty }{Cnleft( frac{n+2}{2} ight) imes 0.5^{n} }$
接下來怎麼算？LS有知道嗎，真心求教

Gamblers Ruin...

概率是100%，但多久不好說，如果是期貨，很可能沒到你就爆倉了

這是一維隨機遊走問題是1 用高中知識即可搞定了有篇叫《隨機遊走及其應用》就是說這個並拓展到高維的，高維後不再是1了