測地線怎麼理解?

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測地線是最短的或最長的路程是什麼意思？為什麼「大圓」是地球的測地線，而不是其他的路線，學識粗陋，見諒

其他的回答都有一個問題，可能在理解上不要緊但在數學上很重要：

測地線是空間中局部最短的連接兩點的曲線。

這裡局部有具體的數學意義，你可以想像就是在一個很小的區域上。如果從整體的角度考慮測地線，那測地線未必是整體最短的連接兩點的曲線。例如在球面上，考慮不是正對的兩點，那它們用大圓弧連接有兩種可能，一條是最短的，另一條則不是。

為什麼大圓弧能夠保證它局部上使得連接兩點的長度是最短的呢？利用變分法計算是可以證明的。

還有一種（真正意義上局部的）觀點。在平面上，我們說直線也可以是指：曲線延伸的方向和我們前進的方向一致，也就是我們沒有「轉彎」。在彎曲的流形上（比如球面），我們可以類比過來：前進的方向就是這一點處的切方向（在彎曲的空間上也可以定義），沒有轉彎就是這個切方向沿著曲線求導是0（所謂的沿著曲線方向求聯絡）。這個定義可以幫助我們寫下測地線的方程，可以證明與變分法得到的測地線方程是一樣的。

當然，這裡我們考慮的空間都很簡單。如果空間很複雜，那麼或許需要更加嚴謹的考慮。我想大家也不是特別感興趣，就此打住。

其實，測地線和「距離」沒啥聯繫，而是取決於你對於一個流形的聯絡的定義的。

給定一個光滑流形 $M$ ，對於其切叢 $T(M)$ 上的任何一個聯絡 $abla$ ,都可以定義測地線，而微分流形的聯絡不是唯一的，事實上所有聯絡構成的空間是一個仿射空間。而所謂的測地線就是一個滿足條件 $abla_{dot c(t)} dot c(t)=0$ 的曲線 $c(t)$ 。由此可以看出，測地線的定義僅僅用到了局部的微分的性質，並不涉及「長度」這種積分性質。

而特別地，對於一個黎曼流形, 存在一個唯一的聯絡 $abla$ ,滿足條件：
1 對於任何的三個向量場 $X, Y, Z,$ $X(Y, Z)=( abla _{X}Y, Z) + (Y, abla_{X}Z)$
2 Torsion tensor $abla_{X}Y- abla_{Y}X-[X,Y]=0$

滿足這兩個條件的聯絡叫做Levi-Civita聯絡，一般說的什麼「最短距離」指的是這個聯絡下的測地線，而對於一般聯絡下的測地線，根本沒有這個性質，比如只對於一個光滑流形，連「距離」的定義都沒有，更不用談什麼「最短距離」了。

測地線是這麼來的，一個矢量沿著他自己的方向走出來的路線。也就是「直」線。

我來從廣義相對論的角度講講測地線(geodesic)，權當拋磚引玉：

開篇先點題：" A free particle follows a geodesic in spacetime." (Geodesic Principle)

為了講清楚測地線，首先我們需要引入所謂的本徵時間 (proper time) τ。本徵時間的概念很簡單，粗略地說，想像一個帶著表的觀察者沿著某條世界線 (worldline) 移動，該觀察者所讀出的時間就是本徵時間。
本徵時間的表達式如下：

其中向量v是運動物體的速度，A和B是積分所沿的世界線。
接著我們可以對連接A和B的世界線進行參數化 (parametrization)。具體來說，我們賦予從A到B的世界線一個類似於「弧長」的量，使其等於1。然後定義一個參數σ，使得從A到B的過程中，σ從0變化到1。
於是引入度規 (metric) 後可得：

有了本徵時間的概念以後，我們便可以給測地線下一個定義了：
時空中的測地線就是兩個事件 (event) 之間本徵時間最長的世界線。

有了這個定義以後，我們便可以利用歐拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 來推導測地線方程 (geodesic equation)：
首先觀察本徵時間的定義式，可以看出拉格朗日量 (Lagrangian) 為

於是利用歐拉-拉格朗日方程

可以得到測地線方程：

另外，在時空中，度規是關於坐標的函數，用通俗一點的話來說，就是時空中不同位置的「彎曲程度」可能不一樣。因此我們也可以將上面的測地線方程改寫成另一種形式，從中可以更清楚地看出度規對於坐標的依賴性：

顯然地，在平直的時空中（類似於歐幾里得空間），度規處處相等，因此度規對坐標求導得零，於是第二種形式的測地線方程的等號左邊只剩下第一項。很容易並可以看出此時的測地線是直線。

粗略地說說……

測地線是指空間中兩點間距離最短的線。

歐式平面這個二維空間本身的曲率為零，所以說平面上兩點間距離最短的線是曲率為零的那條線，曲率為零的線日常生活中我們叫直線。在歐式空間的背景下，「兩點間曲率為零的線」和「兩點間最短的線」這兩個條件是等價的，都可以用來定義「直線」。

但是假如這個二維空間換成了球面，那麼它本身的曲率就不為零，這就意味著你在上面無論怎麼「畫」(術語叫「測地」)，都畫不出曲率為零的線。因此，「曲率為零」和「距離最短」這倆條件就不再等價(前者甚至不能滿足)。因此，只能退而求其次，單用「兩點間距離最短」這個條件來定義這種曲率不為零的空間裡面所謂的「直線」了。但由於這線其實不「直」，所以類比於地球上的經緯圓，改叫「測地線」。

最後簡單提一下，數學上當然不能用「兩點間距離最短」這麼一句大白話來定義測地線。嚴格地定義這個「距離最短」條件，實際上需要微分幾何的語言：各點的主曲率方向均與該點上曲面法線重合。用這個條件算一下，就會發現歐式平面上兩點間的測地線是直線，球面上兩點間的測地線是大圓弧。

所以測地線可以看成是把「直線」的概念向「彎曲空間」當中做推廣。

猜個答案，坐等大神…測地線應該是不考慮任何受力，純幾何的最短/長路徑，也是為什麼在GR中沒有「引力」的概念，只有時空曲率…

至於球的測地線為什麼是大圓，應該是很直觀的…用變分應該可以證明。測地線是最短/長的路徑，變分為0。大圓在球面上，就和直線在平面上一樣，有點「慣性」的感覺

我談談我的看法，不一定準確：測地線是同一維均勻空間結構上兩點間光傳播的路徑（也是所謂的最短路徑，所謂的直線），光是沿測地線傳播的，但由於引力可以彎曲空間，所以有時候測地線也會變得所謂的彎曲了，光也就彎了。如果可以「穿透」空間結構上的兩個點，比如通過蟲洞，就可以不沿測地線走，而是抄近道，比光先到達另一點，那這個路徑就更短。又如果可以進入到更高的維度中，路徑就更多了，目前的糾纏粒子的超距作用應該就是通過高維空間進行的通訊，比光走測地線通訊的速度快的多。目前弦論推測，宇宙不只有3維空間，可能有10維時空，其它維度都沒有展開，縮在普朗克尺度。
綜上，我覺得不能簡單的說測地線就是最短路徑，最短距離，或者是直線連線，沒有最短只有更短，沒有最直只有更直，直的也會變彎。

為什麼它叫做測地線呢？因為它的出現是為了測量地球上兩個點的距離。
在二維平面上兩點之間的距離我們可以輕鬆得到:連接它們直線的長度。那麼延拓到二維曲面也就是我們所生活的地球表面上，兩點間的距離又該如何定義呢？按照我們的常識就是找一個過這兩點且過球心的圓，在這個圓上兩點間的距離。所以它要滿足大圓的要求。而且由於兩點將圓分割成了一段優弧和一段劣弧，這也就是可能是最長的也可能是最短的原因。

測地線如果從測繪學科來講的話可能會更加容易理解一些。測地線又被稱為大地線，也就是大地上兩點間距離最近的線。
我們知道在平面上A、B兩點間距離最近的線是連結這兩點的直線段，而平面三角形、多邊形的邊就是有這些線段組成的；球面上A、B兩點間距離最短的線是連結這兩點的大圓弧，在球面上的三角形（球面三角形）、多邊形的邊也是由這些大圓弧組成的。在橢球面上的三角形、多邊形的邊長是由大地線組成的，事實上，平面上的直線段、球面上的大圓弧都是大地線的一種特例。
從數學上來講，大地線上任何一點的密切平面均包含過該點的曲面法線，這個用數學方法來證明會比較麻煩。
如果在橢球面上的A點和B點上分別插一顆大頭針，並用一根細皮筋緊靠著大頭針拉緊，想像一下如果皮筋和橢球面之間塗了一層油，或者說無任何摩擦力，則靜止狀態下的橡皮筋就是連接A、B的大地線。
此時，橡皮筋上任何一點施加在橢球面上的力都垂直於橢球面而與橢球面的法線方向（每一點的法線方向）一致（此時沒有摩擦力所以如果有水平方向的分力不可能靜止），這根拉緊橡皮筋就是A、B間的大地線，顯然，拉緊的橡皮筋的距離就是最短距離。
有關測地線同時是最長的。。。因為測地線本身就是封閉的（如果是在橢球面或球面等有限的曲面上），所以反向延長不就是最長的線了嗎，就像圓上的優弧和劣弧一樣，就這樣理解應該是沒錯的。
關於大地線的微分方程還有克勞萊定理什麼的可以自己查查大地測量學方面的書籍，應該都會講的比較詳細，我就把我的課本中的一點點推導貼上來僅供參考。

天哪嚕我的圖傳上來怎麼什麼都看不見！！！知乎不能傳原圖嗎

測地線與短程線是不同的，但黎曼幾何中可以證明這兩者等價。
測地線的定義是切矢沿著曲線方向的移動是平行移動，測地點方程由聯絡給出。
短程線的定義是兩點間距離最短的線，對距離變分即可，短程線由度規給出。
但在黎曼幾何中，度規要滿足無撓相容性條件（廣義相對論中一般就稱之為度規對稱和保度規條件），由這兩個條件，你就可以導出度規和聯絡的關係，代入到短程線方程，就會發現其與測地線方程一致。
這些在微分幾何書或者廣義相對論的教材中都會有的，但是對於無撓相容條件在廣相中的物理動機和意義，卻是一個我一直在思考的問題。

從外面看，沿測地線勻速運動時加速度應該正交於曲面。從裡面看，測地線的切向量沿自身平移應該不變。

測地曲率恆為零的線就叫測地線

嚴格的定義是：切失沿曲線平移。

直線在空間表面上的投影

通俗點來講就是在所研究的空間中兩點最短的路線

在平面中就是線段，在球面上的話，你想想從一點到另一點怎樣走最短？當然是沿著大圓的路線走。

假設你是坑坑窪窪地面上的一隻螞蟻，測地線就是從這一點爬到另一點，所有路線中的最短的哪條。

用數學的語言來說：

設 $[M]$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的一張光滑曲面，