在火星上建太空電梯難度如何？以人類目前的材料和工業能力是否可行？

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最近看了《趕往火星》，感覺裡面的想法都很有意思，但好像唯獨沒有提太空電梯，在地球上我們還沒辦法做到，但火星引力重力只有地球的1/3，大氣密度1/100，大氣厚度1/10，同步衛星高度4/7，難度下降恐怕不少，所以似乎是個不錯的主意，第二個問題分兩個假定條件，一是現實條件，二就是忽視運輸問題，就當是發現了一個通往火星的傳送門。

本回答和星海航紀 - 知乎專欄的文章

為什麼藍星人永遠建不成太空電梯
http://zhuanlan.zhihu.com/interimm/20285373

同步發布。

對太空電梯的原理進行了簡要介紹，並解釋了為什麼在火星上建造太空電梯的難度比地球上小得多的問題。

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藍星人始終幻想著，能有一天擺脫火箭這種低效率的運輸方式，直接建立從地面通往天穹的「天梯」。有人把它叫做「太空電梯」，也有人稱之為「軌道升降機」。然而他們並不知道，由於無法突破物理定律的限制，在藍星上建起太空電梯並不現實。而與此相反的是，若干年後，離太陽更為遙遠的火星上，一架架太空電梯卻能「屹立」而起。

太空電梯的前世今生

早在《聖經·創世紀》中，人類就希望共同建造一座從地面高聳至天際的通天巨塔——巴別塔，來傳揚自己的聲名。而最早提出太空電梯這個概念的人應該是俄國的「火箭之父」——齊奧爾科夫斯基。他設想中的這座太空電梯從地面一直通往高達 36000 千米的地球同步軌道。隨著電梯高度的不斷升高，內部的重力也逐漸降低。當貨物隨著電梯到達終點站時，其自身的速度就已經能維持繞地球的同步軌道運動了。因此同步軌道站點處於完全失重的狀態。

在 1979 年，亞瑟·克拉克的科幻小說——《天堂的噴泉》第一次將太空電梯這個超前的概念帶入了公眾的視野。在此之後，太空電梯也廣泛存在於各類科幻作品中。不論是《三體》中使用先進的納米材料製造的太空電梯，還是《機動戰士高達00》中 Union、AEU、人革聯三分天下時的三架軌道升降機，其基本概念與原理都是相同的。

《機動戰士高達00》中設想的太空電梯

如今，我們也能時不時地聽到一些相關的新聞報道，要麼是日本的公司「大林組」計劃在 2050 年之前建成第一座太空電梯，抑或是加拿大的公司提出了新的太空電梯方案。先不管這是否是商業公司進行炒作的噱頭，這些新聞確實讓更多的人產生了一種疑惑——我們離拋棄火箭、擁抱太空電梯的時代真的很近了嗎？

事實果真如此？建造太空電梯所需要的科技離我們究竟有多遠？我們將在下文中進行詳盡的分析。

太空電梯？受壓還是受拉？

在介紹太空電梯的原理之前，我們必須要明確一個問題——太空電梯是一座佇立於地面的巨塔還是一條從軌道上垂下的懸鏈？或者也可以這樣問——太空電梯是受壓的還是受拉的？

在齊奧爾科夫斯基最早提出的方案中，太空電梯是一座塔。與大多數高層建築的受力情況類似，這樣的太空電梯內部受到的是壓力。對於常用的建築材料，例如混凝土來說，其抗壓性能是抗拉性能的十倍。但是如今的太空電梯方案都是從同步軌道向下延伸的一條懸鏈，而尋找高強度的抗拉材料則成為了太空電梯能否建成的關鍵。

為什麼選擇讓太空電梯受拉而不是受壓呢？這就要談到力學上穩定性的問題。在生活中我們都有這樣的經驗：對於一根空心的吸管，怎麼拉都拉不斷；但是一旦你頂住吸管的兩頭向內使力的話，用很小的力就可以讓吸管彎折。實際上，吸管並不是由於內部應力超過抗壓強度被壓壞的，而是由於壓力導致吸管產生了穩定性失效（也稱為失穩或者屈曲失效）。

材料剛好發生失穩時的受到的壓力被稱為臨界失穩壓力，這個臨界力的大小與結構的長度的平方成反比。換句話說，如果將這根吸管對半剪開，那麼使它失穩的臨界壓力就會變為原來的四倍。

相比於地球上的高層建築來說，太空電梯的長細比可就大得多了。比如目前最高的建築迪拜塔，它的長細比約在 10:1。而長度達到 36000 千米的太空電梯，其長細比至少也能接近萬的量級。如果讓它承受壓力的話，它的失穩臨界壓力將會非常之小，很可能會直接被自己的自重給壓垮。因此，我們只有考慮受拉的太空電梯方案，才能避開穩定性失效的問題繼續分析。

太空電梯的設計原理

我們已經知道了，太空電梯是一條從同步軌道垂下來的「懸鏈」。這意味著，在越接近同步軌道的地方，太空電梯內部受到的拉力將越大。這是因為在電梯的任何一個分段，都將受到其下所有部分的重力的作用。

來源：Mars Elevator | Wanderers ，經作者 Erik Wernquist 授權後使用。

不過，材料破壞與否並不是僅僅看受力大小，還要看力所作用的面積。這一點很好理解，在同樣大小的拉力下，越細的管子越容易被拉斷。所以我們需要用「應力（力除以作用面積）」來衡量太空電梯是否會被破壞。如果太空電梯的截面積是均勻的話，那麼很顯然，受到拉力最大的地方，也就是同步軌道處最容易發生斷裂。

我們有沒有什麼辦法讓整個太空電梯內部所受到的應力相等呢？當然有了！我們知道了拉力是隨著高度增加而變大，那麼一架等強度（內部拉應力均相等）太空電梯的截面積也應該隨著高度增加而變大。因此，優化的太空電梯方案就從一條粗細均勻的「懸鏈」變成了上粗下細的漏斗狀「懸鏈」。

此外，我們還能通過力學上的分析獲得拉力大小隨高度變化的函數，那麼理想太空電梯的橫截面積變化函數也就能夠輕易地得到了。

（註：具體推導與計算部分已全部標註出來，讀者可以選擇性跳過）

推導①

設太空電梯內部拉力、橫截面積隨距離 $x$ （與地心的距離）的變化函數分別為 $T(x)$ 和 $A(x)$ 。
應用牛頓第二定律

$frac{dT}{dx} = - ho A(x) g(x)$
其中，等效加速度 $g(x)$ 是重力加速度與離心加速度的矢量和
$g(x) = -frac{GM}{x^2} + xOmega^2$
拉力還可以表示為應力乘以截面積 $dT = d(sigma(x) A(x))$ 。由於我們假設整個電梯內應力為常值，那麼 $sigma(x) = sigma$
$frac{dA(x)}{dx} = -frac{ ho}{sigma} A(x) g(x)$
積分後我們可以得到
$A(x) = A _ 0 exp{left(- frac{ ho}{sigma} left[ G M left( frac{1}{x} - frac{1}{x _ 0} ight) + frac{1}{2} Omega^2 (x^2 - x _ 0^2) ight] ight)}$
其中下標 $_0$ 代表行星表面的值. 以地球為例，我們有 $x_0=R_E$ 。太空電梯起始處的橫截面積為 $A(x_0)=A_0$ 。地球同步軌道（GEO）處的橫截面積用 $A(x_{GEO})$ 來表示，將地球的相關數據帶入，可以計算出
$A(x_{GEO}) = A _ 0expleft(C_{earth} frac{ ho}{sigma} ight)$
對於地球，常數 $C_{earth}=4.85 imes 10^4$ （均為國際單位制，下同）。
$frac{A(x_{GEO})}{A_0}$ 被定義為太空電梯的 Taper Ratio（根尖比，也就是最高處的截面積與地面截面積之比）。
推導①結束

比強度！比強度！還是比強度！

從上面的理論分析我們可以知道，制約太空電梯最重要的因素就是材料的比強度 $frac{ ho}{sigma}$ （材料的抗拉強度除以材料的密度）。如果建造材料的比強度減小，那麼電梯最上端的橫截面積將會以指數的速度增加，所需材料也會隨之增多。

假設我們用比強度較低的鋼材在地球上建造太空電梯的話，所需要的鋼材質量比整個宇宙的質量都還要多。而使用碳纖維建造的話，需要的質量能夠達到月球質量的百分之一。

來源：https://www.youtube.com/watch?v=f8CpnKBnPC0

這也是為什麼我們必須使用碳納米管這種比強度傲視群雄的材料才能在地球上製造太空電梯的原因。

來源：Specific strength

雖然從比強度的數據上來看，碳納米管能夠擔當太空電梯建築材料的重任。但是，以目前的材料科學水平，僅僅能在實驗室中製備長度在分米量級的碳納米管，離實際的工程應用還很遙遠，更別說製備長達數萬千米的碳納米管了。

如果材料科學無法取得顛覆性突破的話，在地球上建造太空電梯只能成為天方夜譚。但是，如果將地點放在火星，情況就會大不一樣。

推導②
將火星的質量、同步軌道高度、自轉角速度等數據代入公式
$A(x) = A _ 0 exp{left(- frac{ ho}{sigma} left[ G M left( frac{1}{x} - frac{1}{x _ 0} ight) + frac{1}{2} Omega^2 (x^2 - x _ 0^2) ight] ight)}$
重新計算，可以得到火星上太空電梯 Taper Ratio 的計算式
$frac{A(x_{ASO})}{A_0} = expleft(C_{mars} frac{ ho}{sigma} ight)$
對於火星，常數 $C_{mars}=9.52 imes 10^6$ 。
將上面表格中柴隆的比強度數據 $frac{sigma}{ ho}=3.766 imes 10^6$ 代入公式後，得到 Taper Ratio 為12.5。而碳纖維的Taper Ratio 為 48。
推導②結束

可以發現，如果將火星的相關數據帶入公式進行計算的話，柴隆這種材料就完全可以滿足太空電梯的建造需要了。

僅僅從對材料的要求上來看的話，在火星上建造太空電梯比在地球上更為可能。現有的材料已經能夠擔此重任。

此曲只因天上有：太空電梯的振動

上面我們只分析了太空電梯的靜力狀態。如果繼續考慮太空電梯上的移動載荷（貨艙）以及大氣層內的風載荷，我們還需要對太空電梯的動力學狀態進行分析。

通過生活上的經驗我們都知道，對於弦樂器來說，琴弦拉得越緊，演奏出的音調就越高，也就是說弦振動的頻率越高；而弦的長度越長，演奏出的音調越低，其振動頻率也就越低。那麼我們是否可以把太空電梯當做一根從天際連接到地面的琴弦來分析呢？

由於太空電梯的長細比很高，內部的拉力也非常大。為了問題的簡化，我們可以將其考慮為一根均勻弦的振動而不考慮為工程中常用的梁振動。

太空電梯的長度非常長，但弦上的拉力也非常大，那麼它的振動頻率究竟處在一個什麼樣的量級上呢？

推導③
對於兩端固定的均勻弦的自由振動，振動微分方程與邊界條件為
$u_{tt}-a^2u_{xx}=0$ ,
$u|_{x=0}=0, u|_{x=l}=0$
其中 $a^2=T/ ho$ ，T為拉力。

使用分離變數法（解法可見任意一本數理方程教材），可以解出上述偏微分方程
$u_n(x,t)=left(A_ncos{frac{npi at}{l}}+B_nsin{frac{npi at}{l}} ight)sin{frac{npi x}{l}}quad(n=1,2,3,...)$
當 n=1 時，固有頻率被稱為基頻，其他階頻率都與基頻呈簡單的倍數關係
$f=frac{omega}{2pi}=frac{a}{2l}=frac{sqrt{T/ ho}}{2l}=frac{sqrt{sigma A/ ho}}{2l}$
對於地球，我們假設 $A=10$ （實際上太空電梯的截面積是不均勻的，這導致了電梯上的拉力各處都不相同，關於這個問題更為詳細的推導可以見這個文檔。而在這裡，我們只將拉力與截面積均視為均勻，以方便計算），取碳納米管的比強度數據 $frac{sigma}{ ho}=6 imes 10^7$ ，以及地球同步軌道高度 $l=36000 imes 10^3$ ，算出
$f_{earth} = 3.40 imes10^{-4} Hz,quad T_{earth} = 2.94 imes 10^3 s = 0.82 h$
而對於火星，我們仍然假設 $A=10$ ，取柴隆的比強度數據 $frac{sigma}{ ho}=3.766 imes 10^6$ ，火星同步軌道高度 $l=17000 imes 10^3$ ，算出
$f_{mars} = 1.80 imes10^{-4} Hz,quad T_{mars} = 5.54 imes 10^3 s = 1.54 h$
推導③結束

通過計算，我們可以知道，不管是對於地球上還是火星上的太空電梯，其振動的固有周期大約在小時量級（如果將電梯的截面積 $A$ 取大一點的話，頻率會增加而周期會減小），這等於是說太空電梯大約每一個小時才振動一個來回。

對於工程上的結構，我們研究其固有頻率主要是為了避免發生共振。當外界激勵力的頻率與結構的固有頻率相近時，振動幅度會顯著增大，這種現象被稱為共振。而對於太空電梯來說，其固有周期在小時量級，一般的聲波對它來說是高頻振動，只有頻率相當相當小的次聲波才會對太空電梯產生顯著的影響。另外，周圍大氣與風力的周期性變化也可能使太空電梯發生共振。

有了太空電梯振動的固有頻率和模態（可以理解為振動方式），我們就可以根據實際的載荷計算出太空電梯的動響應。具體的問題需要深入的分析，在這裡我們就不進一步計算了。

下面是劇（guang）透（gao）

在星際移民之書的設定中，就設想了一個材料科學的極限無法突破，藍星人永遠無法在地球上成功建造太空電梯，而火星移民者卻能憑藉著太空電梯建立起相較於地球的太空優勢，從而......（啊，星移君不能劇透太多了_(:з」∠)_）......的世界。

來源：Mars Elevator | Wanderers ，經作者 Erik Wernquist 授權後使用。

如果對星際移民之書中龐大的設定內容感興趣的話，星移君會在本專欄中逐步更新關於這個設定的連載文章哦，敬請關注~

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蹲廁所中，閑來無事答個題吧。
先說結論：想搞太空天梯的同學，你們就慢慢等吧。
太空天梯這種玩意，在人類史上已經不是新鮮貨了。這麼多年來經常有人提，但是都是空中樓閣。個人覺得有一下幾個難以解決的關鍵，概括得不全或不對的地方，歡迎知道的同學拍磚和補充：
1、材料。現在有一個現象，就又輕又堅韌的材料一被報道。多半都要加上今後太空天梯不是夢的YY。一開始，我這個菜鳥聽聞此類消息也是心血澎湃啊！但是就是只聞樓響，不見人來。要麼是進一步試驗發現沒有當初設想的那麼給力，要麼是停留在實驗室狀態沒法量產，要麼是成本等問題沒法解決；總之就是——沒戲。不過，以目前這幾十年來人類材料技術的進步速度。最終到達那個量變引發質變的引爆點不是沒有可能的。但是要等，至於要等多久，我也不知道。
2、材料有了，還有很多結構設計問題。比如多變的風向引起的受力問題，比如地球自轉的克服問題等等。歸納起來主要都是地球物理學+建築結構力學問題。這個在小說《三體》中有不少解決的設想，果殼網還是松鼠會上最近有一期專題講這個的，好像叫什麼「三體航天考」之類的標題。感興趣的請自行百度，就不放鏈接了。
3、環境問題（自然環境和人類社會環境），比如地球自然環境風暴腐蝕等和宇宙環境射線等等、這些對材料對天梯的結構的影響啊不能無視啊，加保護層或塗料又要降低性能啦；太空垃圾如何規避啊，或者我們還是要騰出一個相應軌道空間專用之類的問題啊。噹噹就太空垃圾問題就涉及到現有的發射模式變革，國際條約和太空探索國際規則的完善和修改。我覺得這個問題以人類目前的國際政治形勢絕對要吵架吵N年才能搞定，（這是本人以全球變暖國際會議為參照設想的情況，不保證絕對正確，歡迎國際政治領域的大蝦補充完善）。
4、最後工程學上也是一個巨大的挑戰啊。生產出來的部件怎麼安裝起來（超高層建築+航天器運輸安裝嗎）？建築和工程設施都有使用壽命，在壽命期內如何維護，萬一和太空物體相撞受損後如何維修等等。哎，想想都頭大。如果哪位中華兒女能解決這個問題，那真正是把人類建築水平（尤其是結構力學）和工程製造水平提升到了新的高度，也就不枉祖國人民受了這麼多年高房價的苦。
5、另外樓主所說的火星上建降低難度的設想，純屬意淫好不好！！這難度一點都沒有下降好不好！！因為火星建造太空天梯的前提條件是：人類能夠在火星建成一個建造天梯的製造業中心（有人或無人的基地皆可，無人的話不要求建造人類長期居住的相關科技和設施，可能可以減低一點難度和成本）。若不以火星上的資源為原料和在火星本地上建造組裝，那成本絕對是天文數字，經濟上就沒有任何的可行性。可是這個人類火星高端製造業基地或者火星自動航天設施製造中心可不簡單啊。絕對是高端大氣上檔次的貨！秒殺一切現有的人類科技。同時，我不得不對樓主的懶惰的程度表示強烈的吐槽！因為只要大家隨便一百度就可以知道：火星上的沙塵暴有多恐怖啊！！要防止這種程度的塵暴和狂風對天梯的破壞，這個問題的解決難度......我們不如乾脆改造火星表面生態算了。還有對火星進行地質勘探尋找建造資源的問題，我是越設想問題越多，真心希望能用濫用一下奧卡姆剃刀啊。

回顧一下一上幾點可以發現，關鍵還是在材料上卡住了。材料不達標，其他都是空中樓閣啊。材料解決了。其他的至少還有可能性。關於在火星上建造。要麼你完成了對火星生態系統的類地球的改造。要麼搞出了超出了目前人類所能設想的牛逼科技，能在恐怖的火星風暴下hold住，否則沒戲啊。

至於材料上的突破要多久，由於人類科技的發展是非線性的。所以搞不好那天（也行就明天）就有某個天才（或者好運的蠢才）整出了像石墨烯一樣的巨大突破，用現有科技完全無法想像的辦法解決以上種種難題也說不定啊。總會有超出人們想像力的驚喜不正是科學的魅力所在嘛！所以保持耐心去等待，積極探索世界，享受科學的樂趣和科技帶來的生活便利就是我們現在要做的。讓突破來的更早一些吧！
我真心希望在有生之年能看到太空天梯！能讓我們平民百姓也享受一次承受得起的太空旅行。

自問自答，算是拋磚引玉吧。
1、材料，太空電梯的纜繩所需要的比強度與星球大小密切相關，因為纜繩需要承受的重量，只與纜繩長度（同步衛星高度）和所受重力相關。如果是地球，則需要800GPa/(g/cm3)的碳納米管，而如果是月球，則需要5Gpa/(g/cm3)比強度的柴隆（Zylon），一種比凱夫拉（比強度3Gpa/(g/cm3)）更好的合成纖維材料。火星所需要的比強度粗略估計為150Gpa（相當粗略），這種材料我們是否有，我並沒有足夠資料去確定。
2、風沙，火星風速約為地球3倍，但大氣密度卻只有1/100，風壓也就只有1/30了，而且大氣厚度只有地球1/10，不過沙塵的確很麻煩，我推薦的辦法是用一個高層建築圍著做防風，因為重力只有1/3，而且現代高層建築關鍵是防風，風壓1/30，高度絕對不止3倍，只要建到風沙到達不了的高度就可以了，更高處的風壓已經問題不大了。
3、殖民，推薦看看《趕往火星》，它會改變火星不能殖民的成見，火星不是太空，只是一個更加荒涼的地球。
4、如果是第一個條件我也覺得現在不可能，但如果是二個條件，我覺的應該是可以的，歡迎討論。