從棉簽盒中取走一部分棉簽，為什麼剩餘的棉簽會以呈螺旋狀排列？生活中還有哪些這樣的事情？

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今天用棉簽的時候，發現棉簽呈現一種非常漂亮的螺旋狀排列。感覺非常很有意思。不知道是一種什麼原理，跪求大神解答！

這個東西叫做單葉雙曲面：

（圖片來源：Hyperboloid）

其實這個方程是能推導出來的。題主問的是為什麼會形成這個形狀，那麼我們就來歸納一下棉簽到底處於什麼樣的條件。

首先對於單根的棉簽而言，不難理解受到重力作用下滑，最終兩端都在棉簽桶的壁上。而對於多根棉簽而言，由於他們的粗細和長度都相同，因此這裡存在了兩個約束條件：
1. 它們頂點和底端都在一個圓上。
2. 緊鄰的兩根棉簽距離相同（也就是這個圓上的圓心角差距相同）。

評論區有不少同學表示推導出這兩點約束才是重點，那麼我簡單的解釋一下：

1. 在滿棉簽的情況下，棉簽互相支撐，都是站立起來的。
2. 用掉一部分之後，出現了空隙，因此重力作用下部分棉簽會倒掉，並且引發連鎖效應。
3. 由於桶壁和桶底是光滑的，那麼（外圍的）棉簽最終穩定狀態一定是斜靠的狀態，也就是底端都在桶底邊緣的那個圓上，頂端也都在桶壁上，相比於直立狀態這樣的重心低，更穩定。
4. 處於能量最低，也就是重心最低的原理，每根棉簽會趨向於在底面的投影佔據直徑的位置。

這四點沒問題吧。事實上考慮到粗細和摩擦其實上端是有可能不接觸桶壁的，不過這並不影響。

5. 如果棉簽沒有粗細，那麼最終每一根的投影都是一條直徑，最終的圖像是兩個圓錐。而考慮到粗細，實際上投影不會經過圓心。那麼最終穩定的形式如下：

一個符合直覺的結論就是，在半高處，每一根棉簽都會緊密相連，截面上的橢圓互相相切。此時棉簽離圓心最近，傾斜角最大，能量最低。
注意這一條可以得出下面推導時候的前提，也就是每一根棉簽旋轉的角度相同是等價的。事實上旋轉角度相同的條件更弱一些，並不需要能量最低，只要每一根能量相同即可。

實際上如果為了嚴謹，這一點應該也是要證明的，不過顯然很麻煩。大致寫一下思路：
1. 設每一根棉簽的長度是L，半徑是R。
2. 第一根棉簽底端在(cosA1,sinA1,0)處，頂點在(cosB1,sinB1,z1)處。方程為L1(x,y,z)。外表面是距離L1這條之間R距離的一個面，F1(x,y,z)。
3. 假設數字小的在數字大的下面壓著。
那麼這個問題就變化成了：
在Fi和Fi+1相切的前提下，求∑zi的最小值（也就是重力勢能總合的最小值）。

接下來是承認以上約束的前提下的，粗糙的數學推導：

隨便找一根棉簽，假設它上下的坐標分別是：
（cosA, sinA, 1）和（cosB, sinB, -1）
這裡假設了這個圓半徑是1，棉簽自然垂落的高度是2。具體數字並不影響最終形式，只是為了方便推導。

那麼緊跟著它的一根棉簽，旋轉了一個小角度x，上下坐標就應該是：
（cos（A+x）, sin（A+x）, 1）和（cos（B+x）, sin（B+x）, -1）

那麼：
1. 兩點可以確定一條直線。
2. 這條直線對於任意x成立，確定一條面。

於是我沒事幹推導了一下……

假設B等於0，就是選一個特殊的起始點咯，然後第一個推導是兩點的直線方程。後面暫時用K代替簡化計算。
第二個推導就是把x和y分別弄出來。
第三個推導就是暴力運算了。
第四個推導只是把形式變得好看，類似於下面這個：

也就是單葉雙曲面的方程。最後，你們要的廣州塔……

（圖片來源：wikipedia.org 的頁面）

補充一下 @好大的風的答案。
產生這樣的現象首先是因為容器裡面棉簽數量變少了，所以沒法像最開始一樣全都豎起來，而是在重力作用下倒向一個重力勢能最低的點。
由於勾股定理的限制，直角三角形斜邊長度固定的時候，需要讓底邊最大，高才最小，因此如果只有一根棉簽，那麼毫無疑問它的一端會在容器底部的圓周上，在底部的投影是底部圓的直徑，它是經過圓柱形容器的中心線的；然而有多根棉簽的時候，由於棉簽粗細的限制，不能所有的棉簽都過中心線，否則就相互交叉了，所以它們會在中心的位置、盡量集中的地方佔有一個最小的截面積，最細部分的截面積大致與棉簽的數量成正比。
這種盡量向中心收攏的作用，就讓中心截面的位置形成了一個小圓，那麼最外層的一圈棉簽，相當於是架在了這個小圓上，它到中心線的最近距離是個固定值，而一個端點在底端圓上，滿足條件的棉簽是一條母線，它繞中心小圓旋轉形成的曲面就是個單葉雙曲面。仔細看會發現一般來說並不是所有的棉簽都構成這些母線，只有最外層的棉簽形成了曲面。當棉簽用的數量越來越少的時候，中心小圓的半徑會越來越小，相應的單葉雙曲面的高度也會變低。

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關於最外層為什麼都是同一個方向，這其實是個好問題，實際上它既可能是順時針，也可能是逆時針，但必須是同一個方向。考慮將一個棉簽搭在中心小圓上，它到中心線的距離在中心小圓上取了最小值，所以它必然在某個垂直於小圓半徑的平面內，同時在底面接觸到瓶底圓周，這是重力勢能最低的狀態；這樣的狀態其實有兩個，一個順時針，一個逆時針。但是考慮相鄰的兩根棉簽，如果一根順時針，一根逆時針，它們是要交叉的，必然有一根會搭在另一根上面，這跟我們假設這些棉簽都是最外層的棉簽矛盾。所以對於最外層來說，它們必然是同一個方向，這是因為只有同一個方向的我們才叫做最外層。當整體重力勢能最小的時候，小圓半徑要儘可能小，於是就會盡量在小圓內緊密排列，也就會有盡量比較多的棉簽在最外層，這些外層都按同一個方向排列。
其實熟悉直紋面的人都會知道，兩個方向順時針還是逆時針都是單葉雙曲面的母線，也就意味著如果其他棉簽都是順時針的，而你是逆時針的，你會非常悲慘地與所有其他棉簽相交……（註：包括延長線意義上，可能除了對面對稱的一條平行的以外）也就是說增加你一根，會讓所有其他順時針的棉簽的重力勢能都增加。所以自然是容不下你這個異類的。

在一個圓柱型的容器里，如果只有一根圓柱體，那麼它會向隨機的一個方向傾倒，以維持穩定。

多根也一樣。當它們互相碰撞時，因為有足夠的空間，會選擇插身而過，互不干涉內政。

但是當數量多到一定程度，它們的空間減小，不可避免的要互相碰撞影響。
請看下面這兩根：它們碰到了一起，並且沒有可以避讓的空間。

但上面這種情況發生時（請注意我隱藏了其他的圓柱體為了讓你們看的更清晰），如果它們能夠互相支撐，達到一個精妙的平衡點，是可以保持下去的。但這幾乎不可能發生，因為這種狀態不穩定，只要有一丁點的改變，這種平衡就會打破，一方壓倒另一方，就像下面這樣：

當一個倒下去的時候，多米諾骨牌效應發生了，
上圖是右邊壓向左邊，它是平面的，但在三維中，每一個面向的右邊壓倒左邊，形成多米諾骨牌，於是就成了是逆時針方向壓倒順時針方向。
這不是一定的，這是隨機的，混沌的，不一定能預測，有可能是順時針方向，有可能是逆時針方向，總之是一方壓倒另一方。東方不亮西方亮。它不能達到混亂中立，於是只好守序螺旋。

看看三維視圖是如何形成的，
這是一瓶圓柱體：它們是守序中立的。

然後有一股勢力會隨機的傾倒，因為有足夠的空間

於是我們上下搖晃它們，製造動蕩與不安

單葉雙曲面就行成了。

你從頂視圖可以更好的看清楚它們是怎麼運動的：

這就是整個運動過程。

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當然如果搖晃的更多次，用更細圓柱，它們會更加的均勻和美觀。
1、變細變多，搖晃更多：

2、太多了，減去一半，並加入用力角度的偏移。（之前是純粹的直上直下運動）

3、再減去一半的數量，並把上下搖晃改為左右搖晃加偏移：

4、去掉搖晃，增加物體的光滑度，直接使圓柱體自然的滑落：

去掉搖晃反而更好？這是為什麼？
這是因為圓柱體的數量只剩下原來的四分之一，並且更加光滑，……而且初始位置很合適。

整個過程就像水流一樣順滑。哪怕它是圓柱物。

5、再減去一半的數量，並且多角度搖晃：

這時的物體只有36根了，這已經很難形成螺旋了。
總之就是這樣。

然而正方形的容器是不行的。

所以我個人認為：在有重力的情況下，在桶狀的容器內，一定數量的圓柱體或近似圓柱體，且每根長度大於圓桶直徑，那麼形成單葉雙曲面是一種必然趨勢。
阻止這種趨勢的是物體間的摩擦力。
然而每一次的輕微受力，都是對摩擦力的迫害，不對是破壞，會加速單葉雙曲面的形成。

至於多少圓柱體數量最合適……我也不會算，根據我粗略的觀察：圓柱體橫截面積之和，約等於容器橫截面的4分之1，最為合適。

簡單點說就是，裝滿容器棍子的數量X0.25

再簡單點就是這：

哎呀好累啊，搭一下你的肩
哎呀好累啊，搭一下你的肩
哎呀好累啊，搭一下你的肩
……
就醬

假設，理想狀態下，棉簽和棉簽筒都是光滑的。
一根棉簽，傾向於滑落到重力勢能最小的位置。
一頭固定，另一頭只有在位置最低的時候重力勢能最小，顯然，當另一頭抵在筒壁最遠端的時候，位置最低，俯視圖是這樣的

三根棉簽，俯視圖是這樣的

假如棉簽理想化模型是線段，那麼從上方看，則可以有無數根穿過圓心的線。
但由於棉簽棒是圓柱體，有直徑，而不是理想的線段，所以空間慢慢變小，棉棒會逐漸產生接觸，形成支撐的力，因此也就不能滑到最低點了。把整盒棉棒當成一個整體看，這種支撐力是一種內力。
直到棉簽足夠多，把棉簽筒塞滿，棉簽也就都成直立的了

生活中的例子？廣州塔小蠻腰只是形似，原理可跟這個完全不同。
棉簽筒里的棉簽受到筒壁的約束，呈現的是一種穩定的狀態，而小蠻腰沒有外在約束，那種排列顯然是不穩定的，還需要外加牽引力來維持穩定。

從原理上來說，跟下面這個例子有很大相似性……

我就放邊上不動，是重力讓它滑進去的

學習差，只能再舉個生活中的例子，帶點技巧性下挂面，就是這種排列方式

幾十根棉簽的問題你們能扯出熵來，玻爾茲曼的棺材都蓋不住了。
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非要解釋的話應該是考慮哈密頓方程吧，列出（6*棉簽數）個偏微分方程求解。

如果只是想證明的話，可以採用虛功原理。

整體勢能最小。

你知道有個東西叫廣州塔嗎？

事實上，廣州塔也是這樣的結構，乍一看以為每根棍棍都是彎的。仔細看看，每根都是筆直的。

奇怪，這題目給答的這麼歪還給推送知乎微博轉發真的合適么？
高票答案那些點贊同感謝的你們真的有看懂啊？顯然是錯的啊！！！
如果只有一根牙籤，則其為了保證勢能最小，除了要兩頭靠壁，還需要投影過圓心
在不考慮牙籤桿的體積的情況下，為了保證重心最低勢能最小，所有牙籤會交匯於一點，而不是實際上的螺旋形。

高票答案幾乎所有的前提都不對，然後硬是推導出來一個雙曲面，下面一堆人拍手不明覺厲實在哭笑不得。
比如「緊鄰的兩根棉簽距離相同」，錯，你扔3根距離相同的給我看。
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我這裡的評論也是各種無力吐槽，圓錐面是不是單葉雙曲面的極限情況跟人家問的沒有關係，高票答案是從所有棉簽距離相等和所有棉簽的頂點都落在同一個圓上，然而這兩個基本出發點既不嚴謹也缺乏證明。看題主發布的照片顯然得不到這兩點吧。

牙籤形成的是雙曲函數旋轉面。
日常生活中給你常見的之一：冷卻塔。

請見我的回答：火電廠的冷卻塔造型為什麼那麼設計？有什麼優勢？ - 知乎用戶的回答

這是一種穩定的排列方式，而且重心降低的釋能過程，符合熵值定義要求。

看熱鬧不嫌事小。
煽點風點把火，添點油加點醋。
前面有人提到一張動圖，不知道是這張不？

動圖鏈接：
http://1.im.guokr.com/uYWh0SRVRsPnngh-E1ljErW5OJTKNBf-HY42GwoP1j-QAQAAFAEAAEdJ.gif
來源：
酷炫動圖（十三）：數學篇 | 科學人 | 果殼網科技有意思酷炫動圖（十三）：數學篇

其實不用用複雜的數學公式來計算，簡單的生活常識也可以說得明白。

由於地球引力的存在，不能直立的東西必然倒下到重心最低的狀態，很明顯鬆散的棉簽無法直立在圓筒里，那麼它就會倒下，但是受制於圓筒的約束於是它只能以圓筒底部內徑邊緣和棉簽上面接觸的圓筒位置作為重心最低的倒下姿態，只有當所有棉簽都成最低姿態倒下時總的重心才是最低的，，受制於空間的限制，只有出現你說的狀態時才是所有棉簽產生的最低重心的狀態。於是奇蹟發生了。

如果你固定一個正方體對角的兩個頂點進行旋轉，掃過的空間上半部分和下半部分是圓錐，中間就是你說的這個東西

就幾根棉簽這麼累……文科生表示，單根棉簽無法站穩，大家互相依靠，這有什麼問題嗎？？？

微信公眾號：PentaxGreeen（歡迎來玩呀）

這問題像我看過的一個笑話。一群博士生討論一滴水從萬米高空落下會不會砸死人，又是g，又是h動不動還有這個￠，這個∮和這個㏒，最後買菜大媽告訴他，你們沒淋過雨嗎？為毛知乎上面什麼都要畫圖比數據，剛才還看見個什麼時間間隔生二胎好的，結果又是數據帝被贊最多。生個孩子時間間隔都TM能出數據。60年代那些家家6、7個的你怎麼不去普查下。

地轉偏向力？

和水的漩渦一樣，北半球和南半球的漩渦方向不一樣，回去學學地理？