流體界面形狀由什麼決定？

11-29

雨滴若在孤立系統中不受外力作用其形狀應為球形，即相同體積下使得表面積最小的形狀。這應該可以通過求某種約束方程的極值得到，這個約束方程應該是怎樣的？
能否提供相關物理公式？或者相關文獻也可以。

最近做的東西剛好和這個沾點邊……要公式和文獻這裡倒是都有嗯……

問題描述基本是一個正確的方向。實際上，對於這樣的熱力學系統，我們極小化液體界面的自由能，來計算液體界面的形狀。而需要的約束通常是體積不變。自由能可以經過力學的分析，計算可逆過程的能量變化來得到。比如對於最簡單的閉合液面，我們知道表面張力是施加在液面上任意一條線上的，單位長度上受到的力稱為表面張力係數。那麼當液體表面增加一點點後，能量的增加正比與表面張力係數乘以面積增加（力乘以長度=單位長度的力乘以長度乘以長度），所以表面自由能可以寫作：
$F=ointsigma dA$
其中 $sigma$ 是表面張力係數， $dA$ 是每一小塊的面積。如果表面張力係數是常數，那麼這個問題實際上就是同樣體積的液體怎樣形狀表面積最小，於是得到的顯然就是球。

當然這個唯像的例子太簡單……一個複雜的例子，比如紅細胞的細胞膜，我們一般認為是一種彈性膜（或者更確切、液晶），它的表面自由能是：
$F=frac{kappa_b}{2}oint(2H+C_0)^2dA+kappa_soint KdA+ointsigma dA+Delta pint dV$
其中， $H$ 是曲面上每一點的平均曲率， $K$ 是曲面上每一點的高斯曲率， $kappa$ 是兩個係數， $C_0$ 是自曲率常數（液晶的效應就在此）。實際上，自由能第一項是彈性膜彎曲導致的自由能，第二項是彈性膜拉伸導致的自由能，最後一項還是體積功。彈性膜的彈性自由能的推導比較麻煩……詳見朗道的彈性力學，是用了不同於彈性體的自由能的推導方式。其實，對於閉合曲面，第二項是拓撲不變數，所以只要球沒有變成麵包圈，那項的積分是常數，不用考慮。

接下來要做的還是把約束條件乘以拉格朗日乘子加進去，然後做變分法解歐拉-拉格朗日方程。得到的形狀方程是：
$2kappa_b abla^2H+kappa_b(2H+C_0)(2H^2-2K-C_0H)-2sigma H+Delta p=0$
嗯，鑒於平均曲率的表達式極其複雜，這方程我也不會解……但這個方程軸對稱的解成功模擬了紅細胞的雙面凹的形狀，還預測出了另一種形狀的磷脂泡，被實驗confirm了。

但因為變分法不涉及初始狀態，所以不會發生在正方形中找不到正確解的情況哦，那是約束條件的問題。

這些工作可參考劉寄星、歐陽鍾燦等人的工作。一些相關的書比如（我也在準備深入看一些）：
Statistical Thermodynamics Of Surfaces, Interfaces, And Membranes (Frontiers in Physics): Samuel Safran: 9780813340791: Amazon.com: Books
Intermolecular and Surface Forces, Third Edition: Revised Third Edition: Jacob N. Israelachvili: 9780123919274: Amazon.com: Books
彈性膜的問題看Landau的彈性力學就可以……然後液晶的問題可以考慮Helfrich的工作……

如果應@金晨羽的問題，來嘗試用變分法在體積不變的約束下算 $F=oint dA$ 的極小，其實得到的是曲線平均曲率 $H=$ 常數，但如果選定坐標系求解會非常複雜。比如取球坐標系，那麼一般的曲面方程大體可以用 $r=r( heta,phi)$ 來表示（ $hetain[0,pi]$ , $phiin[0,2pi)$ ），那麼曲面的表面積是積分：
$A[r]=int sqrt{left(r^2+left(frac{partial r}{partial heta} ight)^2 ight)sin^2 heta+left(frac{partial r}{partialphi} ight)^2}rd heta dphi$
而約束條件是體積一定，即
$V=intint_0^{r( heta,phi)}r^2sin heta drd heta dphi=frac{1}{3}int r^3( heta,phi)sin heta d heta dphi$
引入拉格朗日乘子 $lambda$ ，我們改極小化泛函：
$A[r;lambda]=int sqrt{left(r^2+left(frac{partial r}{partial heta} ight)^2 ight)sin^2 heta+left(frac{partial r}{partialphi} ight)^2}rd heta dphi+lambda(frac{1}{3}int r^3sin heta d heta dphi-V)$
可以用歐拉-拉格朗日方程來解：對於泛函
$A[f(x_1,x_2,cdots,x_n)]=int L(f,frac{partial f}{partial x_i},x_i)d^nx$
它的極大/極小由歐拉-拉格朗日方程：
$frac{partial L}{partial f}-sum_{i=1}^nfrac{partial}{partial x_i}frac{partial L}{partial(frac{partial f}{partial x_i})}=0$
給出。但這個方程太複雜了，我還是不繼續寫了。下面引用一點別人的結果：

泛函
$A=oint dA+lambdaint dV$
參考前面引用的液晶膜的方程，令 $sigma=1$ ， $Delta p=lambda$ ， $kappa_b=kappa_s=0$ ，變分後應該給出 $H=frac{lambda}{2}$ ，而這個條件如果解出具體曲面方程，代入約束可以確定出拉格朗日乘子 $lambda$ 的具體值，所以實際上泛函的極小對應於平均曲率為常數的曲面。而三維歐式空間的常正（平均）曲率曲面只有球面（有定理，見@陳浩的答案）。

對於一般彈性膜，就更複雜了我就不去嘗試解了……（我曾在球坐標系中把平均曲率具體表達式寫出來，單是分子，就在16開紙上橫著寫了2行，然後分母1行= =幸虧有Mathematica……）

同體積下球面表面積最小，等價於同表面積下球面體積最大。
這是數學問題，雖然結論有物理對應，但並不需要事先引入任何物理概念或定律。

首先要證明，相同表面積的情況下，達到最大體積的封閉曲面，其平均曲率處處相等。
相關維基頁面：Isoperimetric inequality
文獻 http://www.ams.org/journals/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14553-4/ 以下截圖部分用變分證明了三維的情況，簡短但是完整。
任意維的情況見論文原文。

接下來一步，物理學經常跳過。維基頁面 Constant-mean-curvature surface
Jellet 在 1853 年證明三維空間中的星狀緊曲面，如果平均曲率處處相等，必為球面。
Alexandrov 在 1958 年證明嵌入三維的緊曲面，若平均曲率處處相等且不為零，必為球面。
物理世界中的曲面滿足「嵌入」「緊」「星狀」等條件，因此相同體積下球面表面積最小。
而上面的文獻在總結了這些歷史後，給出了另一個證明，使用了 Brunn-Minkowski theorem。
物理學家們滿足了，而數學家還在繼續找其他奇葩的等曲率曲面，比如 Wente torus。最後，一般的最小曲面問題並不簡單。
比如雙泡泡猜想，說三個肥皂膜圍出兩個泡泡的情況下，三個膜在交線處呈 120 度角。
這個猜想到 2002 年才得到證明。

先扔塊磚頭出來。
這個問題很大很複雜……（廢話）

如果有了一系列的約束條件，可以找出幾個參數，寫出體積和表面積的函數，那麼可以用拉格朗日乘數，在固定體積的情況下最小化面積。
比如雨滴的例子，你的約束條件為體積一定，曲面閉合，見@趙永峰答案中的補充計算。

其實一般你寫不出來。
寫出來了也解不出來。
（相信我，我正在寫的畢業論文裡面就有例子）

好在我們還有數值模擬這種神器，可以用數值法算出解析不出來的函數。
一般的做法是把流體界面三角化，以體積為約束條件，最小化表面積。
我用的軟體是 Surface Evolver
背後的演算法我自己也沒有搞懂多少，大致是一堆矩陣，找到梯度，投影到約束條件構成的水平集上，沿這個方向下降之類的演算法（啊我已經不知道自己在說什麼了）。

注意原問中提到是孤立系，所以這是一個實際的物理問題，任何沒考慮「孤立系」一詞後所蘊涵的物理背景的回答，比如「在長方體里」找答案，都是耍流氓。
這個物理背景，從宏觀的、經典的層面上說，就是不可壓縮的液體其「表面張力」服從牛頓定律（一般規律），導致孤立的「水滴」表面處處曲率相等（對水適用），這在歐式空間的情形就是一個球。受力分析見下圖（來自中方維基百科:表面張力）：

至於「表面張力」本身的物理，則牽扯到液體的微觀物性，離題太遠，但對於水來說，其微觀物性所決定的表面張力的性質是沿表面各向同性的。
參考（英文維基中有題主想要的方程的微分形式）

http://zh.wikipedia.org/wiki/表面張力 http://en.wikipedia.org/wiki/Surface_tension http://en.wikipedia.org/wiki/Young-Laplace_equation

這個簡單啊，你可以想想如果水滴吸附在固體表面會怎麼樣，經過一系列的計算，你會發現楊氏方程

剛剛評論了@趙永峰的回答，這裡我想從數學角度多說幾句，雖然可能和前面的答案會有重複。基本的物理原理當然是所取的形狀要最小化一個能量（一般都和表面張力有關，從而和曲面的平均曲率有關）。但是從這個原理到具體問題還有很多步驟，所以有一個一般性的實用觀點：最對稱的形狀是最好的從而也是最有可能的。比如平面是完全平坦（從而有最大對稱性）的，因此在理想、完全沒有約束條件下必定是它（湖面是平的）；水滴或者肥皂膜要包含一個固定體積的區域，這時就是球面，具有旋轉對稱（當然有重力之類會把形狀改變一點）；而如果有多個肥皂膜（或者細胞等）堆在一起，我們能想到的就是蜂巢樣的結構。當然這只是猜測性的東西，但基本上都是對的，雖然數學上證明有可能非常複雜，但這個就留給數學家去想好了不是什麼嚴重的問題。