為什麼要發明和使用微積分？
發明面積，體積的計算方法和得出公式，有最直觀的用途。比如說，我做一張桌子，需要考慮桌面的大小（面積），大致的高度。我做一個鐵桶，需要考慮4桶水，大致填滿一個水缸（體積），一次用扁擔擔2桶。
那麼人們解析幾何，微積分，線性代數，最根本的原因是什麼呢？
在16、17世紀左右，很多科學家在研究運動的問題。於是，從物理問題中引出了函數概念，比如伽利略所著的《關於兩門新科學的對話》中幾乎從頭到尾包含了「變數之間的關係」這個思想。
函數的符號表示，自然是由那位熱愛研究符號的大數學家發明的。對，就是那個創造了一整套微積分符號的萊布尼茨。另外，「函數」（function）這個名詞也是萊布尼茨在1673年的一篇手稿中使用的，而牛頓使用的則是「流量」（fluent）。「流量」這個詞沒有流行開來，因為大家還是喜歡用WiFi。【別瞎扯啊摔！】
微積分是緊接著函數概念的採用而產生的，其創立首先是為了處理17世紀主要的科學問題，有這麼四類：
1.已知物體的位移-時間函數，求其在任意時刻的速度與加速度；反過來，已知物體的加速度-時間函數，求速度與位移。
研究物體運動時，這類問題不可避免，而且困難在於：每一個運動的物體在其運動的每一時刻必然有速度和加速度，但是它們大多是時刻發生變化的。計算平均速度時，我們可以用位移除以時間，但對於給定的瞬時，位移和時間都是0，這算個毛球球啊！而已知速度公式求位移的話，也會遇到一樣的問題。
2.求曲線的切線。
這個問題在很多方面都很重要的應用。舉個例子，光學在17世紀吸引了很多科學家。費馬、笛卡爾、牛頓等人對於透鏡的設計都有所研究。為了應用反射定律以及各種定律，必須知道光線同曲線的法線之間的夾角。法線垂直於切線，所以需要想個辦法求出切線。再舉個例子，如何知道運動的物體在其軌跡上任一點處的運動方向呢？答案是，求切線啊求切線！
其實「切線」本身的意義也是一個沒有解決的問題。對於簡單的曲線比如圓錐曲線，把切線定義為「與曲線接觸於一點且位於曲線的一邊的直線」就可以了。但是對於17世紀的數學上研究的較為複雜的曲線，這個定義就不適用了。
3.求函數的最大值與最小值。
高考題的即視感？當時這可是為了計算炮彈彈道和行星運動軌跡的！比如求炮彈從各個角度發射後所達到的最大高度，或者求行星距離太陽最遠和最近的距離，可高大上了。
4.求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體（比如行星）作用於另一物體上的引力。
古希臘人用窮竭法計算出了一些面積和體積，但是需要很多小技巧，缺乏一般性。隨著數學的發展，窮竭法逐漸被修改，而微積分創立之後則被徹底改變。
其實在牛頓和萊布尼茨分別獨立發明微積分之前，有不少先驅者已經創造出不少方法。比如Roberval、Torricelli、Fermat、Barrow、Cavalieri、Pascal等等。嗯，牛頓與萊布尼茨則位於全部貢獻的頂峰，而牛頓更是站在了巨人的肩膀上！【抱歉啦胡克！】
到此，微積分正式誕生了，題主的問題也回答完了。【鞠躬~】
參考資料：莫里斯·克萊因．《古今數學思想》．上海科學技術出版社
簡單說就是為了讓數學更加通用。
幾何上來說……我下面的措辭各種不專業，望見諒。一直有人說"數學沒用、數學沒用，世上哪有那麼多規則圖形需要你去算面積啊？"所以人們就發明了算不規則圖形面積的方法。
首先，人們發現面積就是被圖形的「邊框」所圍住的那部分的大小，這就是面積的定義，面積的約束條件就是圍住他的「邊框」。以至於我們只要知道足夠多邊框的信息(方向和長度)，就能得知面積。所以正方形的約束條件是他一個邊，所以他的面積公式是關於他一個邊的；長方形的約束條件是兩個邊，所以面積公式是關於兩個邊的。
那麼，人們就開始思考，怎麼得到不規則圖形的面積呢？這個時候簡化問題的思維就來了，把梯形的四個邊都變成曲線很麻煩，我們先變一個吧，這就是典型的數學思維。所以就有了曲邊梯形的面積計算問題。
要計算面積，首先我們要了解曲邊梯形各個邊的信息，也就是解析式，這就需要用到解析幾何。曲邊梯形的下邊是x軸，另外兩條邊垂直於x軸，最後那條曲邊可以用函數表達。就這樣，我們集齊了所有已知信息，就可以算面積了，而這個算面積的方法，就是定積分。後來我們發現，能夠讓一個邊變成曲邊，就能夠讓兩個邊變成，慢慢的所有圖形就都能算了。
以上這就是從幾何的角度談微積分和解析幾何，說得不好，既沒有專業的措辭嚴謹，又不夠通俗，各位湊活著聽吧。
其實還能從代數角度講。我們都知道代數的主題就是方程，人們有野心想解多元多次的方程。但直接變成多元多次不好吧？所以我們先把次數固定，專門研究多元一次方程，所以有了線性代數。而微積分，就是將非線性問題化為線性問題的方法。
這就是最簡單的理解，但是學得更深入以後，他們之間，其實還有更加有趣的東西再等著你。解析幾何可以描述複雜的曲線。
微積分可以計算各種複雜圖形的面積和函數變化率等問題。
這兩個學了就該知道。
線性代數的功效各種書籍往往沒有說清。
它是研究線性空間及其線性映射的，或者說各種線性結構和態射。
由於線性結構非常常見，所以線性代數的價值也相當大。
如果你一輩子都只是過著普通的生活，你當然不會明白。
但如果你想要探索真理與宇宙，那麼你自己就會明白為什麼它們是必要的。
人類的腦子只能處理離散的，和線性的東西。微積分可以對客觀世界中的複雜對象實現線性化和離散化。說到底是為了認識和解決更加複雜的問題。
微積分是用來解決工程問題的
比如說我們要求曲線的長度
或者曲面的面積
用初等數學沒有辦法很好的解決這個問題
那怎麼辦呢？
高中數學，物理我們都學過有一種巧妙的辦法——微元法。就是把曲線分割成一個一個小的「單元」，再來求每個小單元的面積。
但是我們也很清楚的意識到這樣的方法是存在很大的誤差的，怎麼辦？
因此，就引入了微分和積分的概念。
積分就是無數個大小趨近於「0」的小單元加在一起的過程。
而微分（也就是求導），就是微分的逆運算，現實中可以理解為曲線變化的曲線。
這麼一來，求解複雜的實際問題就更加準確了。
到了大學，我們也知道了這樣一個普遍規律
任何一個現實的物理模型，都可以用一個微分方程表示。
這就是微積分最重要的作用。
微積分的存在，是為了解決複雜的現實問題而生的。無論你是工程領域，化學，物理，生物，金融……你會發現都離不開微積分這個重要的工具。
有了微積分，我們就推廣出了卷積，疊積的概念，我們就有了無線電。
有了微積分，我們就發明了，傅立葉級數，傅立葉變換的概念，就有了現代電子技術和通信技術。
有了微積分，我們就有了拉普拉斯變換，就有了控制工程。
微積分不但是數學史上一個重要的發明，打開了高等數學的大門，它更是科學技術，工程技術史上的重要工具。沒人規定橫坐標和縱坐標只能是長度單位，換成其他物理量就能解決現實中的問題了。 比如x軸是時間、y軸是速度，那麼勻速運動和勻加速運動的路程就是直線覆蓋下的面積。那麼變加速運動就是曲線覆蓋下的面積。高中沒有系統講述微積分，所以高中物理課講到勻加速就講不下去了。同樣的還有很多，比如最簡單的LC電路，只能說變大變小，沒辦法做定量分析，到底變多大？怎麼變的？實際上，現實中隨處可見的電容器和交流電，沒有微積分就根本沒法計算，沒法計算就肯定沒法用。只能回到愛迪生的直流電時代了。
數學是抽象的，可能看上去沒什麼用。但只要賦予具體的物理意義，就能解決現實中的問題。為了更方便得處理函數極限的問題。
其實微分和積分都是極限表達式的另一種（更抽象的）寫法。
算航線 磨鏡片 炮彈落點
不知道這些用鐵桶什麼的能不能算出來
很多問題算著算著就成了：無限個趨近0的數相加成了什麼？
一個趨於0的數乘上趨於無窮大的數成了什麼？
微積分就產生了
後來發現：6666這是個神器
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