標籤：

用向量證明餘弦定理是否存在邏輯錯誤？

11-29

中學課本上說是用向量數量積推導出來的，但數量積不是人為規定的么？你用一個規定的東西去證明其他結論，雖然結論剛好正確，但這邏輯有沒有問題？比如說我定義a·b=｜a｜｜b｜sinθ或者cosθ^2之類的，得出的不就是不同的結論了嗎？這也有個果殼的提問，沒有佳答：請問眾位大神，向量內積是人為定義的嗎？如...
我知道這種定義是與客觀存在的東西適應，問題在於，用來證明，有沒有問題？

其實，整個問題的思路應該是這樣的：
利用單位圓在平面幾何中定義角度；
利用矢量點積在矢量空間中定義角度；
通過點和直線將平面幾何與二維矢量空間聯繫起來；
證明這兩個角度的定義等價；
那麼矢量空間中的餘弦定理成立等價於平面幾何中的餘弦定理成立。
完了
所以說這個問題沒有邏輯循環，但是通常的中學教科書上都省略了一步

不知道提問者的數學教育程度......

簡單的說吧，當我們建立一個 R^{2} 空間，就是一個笛卡爾積，我們可以定義的內積運算不是根據三角函數的，也跟角度沒有任何關係。

(x,y)(a,b)=xa+yb 是一個明確定義的函數。
然後我們定義一個度量 D（x,y）=sqrt{x^2+y^2} 滿足度量應有的所有性質
然後由這個度量引出一個拓撲，
然後可以得到那個定義內積的函數是連續函數
然後我們可定義 向量的和 差與向量與實數的乘積...都是連續的(這些其實沒啥用... ：D)

要得到餘弦定理，首先要明確一點就是上面定義的內積跟餘弦定理無關
然後由於我們考慮的是歐式幾何,作為一個獨立存在的公理體系跟我們的R^{2} 空間沒有任何關係，
我們要做的是把兩個邏輯體系聯繫起來:

歐式平面幾何的點可以用 (x,y) 實數對表示,這一步可行的原因是一維歐式幾何的公理體系滿足實數的集合論的定義,二維的情況就利用一下笛卡爾積的特性.
歐式平面中的線段可用 (x,y),(a,b) 點對表示
歐式平面中的線可用 t(x,y)+(1-t)(a,b) 其中t 取便所有實數
然後有關線的公理可以在 R^{2} 空間中的代數性質表示
...
概括一下就是歐式幾何的所有命題都可以翻譯成 R^{2} 空間的代數性質,歐式幾何中的公理在對應的R^{2} 空間中要麼也是公理,要麼是可證明為真的命題.

也就是說,R^{2} 空間的所有可證的命題中包含了歐式幾何中所有可證的命題

集中當然包含了角度的定義,
然後是三角函數的定義,
然後餘弦定理其實是一個相當複雜的代數方程,這個代數方程雖然複雜了一些但是是可推導的

總結一下,就是歐式幾何的公理體系在經過一個"翻譯"之後可以證明是包含在R^{2} 代數體系下的一個子邏輯系統,餘弦定理作為一個歐式幾何中的命題在對應的代數體系下是一個代數等式,這個代數等式的證明跟內積完全無關.但是由(x,y)(a,b)=xa+yb定義的內積可以證明是等同於向量內積的定義的.

沒錯,內積公式證明餘弦定理是一個自引用的無效證明

我的小意見如下：
內積的定義是人為的，但內積滿足分配律，卻不是人為假設，而是推證得來的（雖然高中教材沒有嚴格證明）。而高中教材用向量證明餘弦定理，就是用了內積的分配律。
換句話說，證明餘弦定理所需要的，不是內積的定義，而是內積滿足的性質（分配律）。

說點個人觀點，歡迎大家批評指正，但是拒絕民科的帽子。
個人覺得， 用勾股定理逐步推導出餘弦定理是可行的，把餘弦定理的一種特例作為勾股定理，也是可行的，不過要在不採用勾股定理的前提下推導出餘弦定理，這樣也是沒問題的，不會帶來循環論證的問題。當然， 不斷發掘這些證明的依據，扯遠點最後都會牽扯到公理上去，然而公理是無法證明的。
回到問題本身，我覺得現在我們的問題是這些定義的來源是否是參考了餘弦定理，這個我就不得而知了

邏輯上這麼證明是可行的，但有時定義的合理性利用了其它東西，所以看起來短的證明補上省略掉的東西未必短。

哎呀，這個問題問的不錯。但是你目前可能駕馭不了。還是先專心對付考試吧，不要越陷越深，耽誤了前途。

問題的根在向量空間。中學的幾何都是歐氏空間，它有自己的長度（範數）和夾角的定義。歐氏空間的性質是符合生活直覺的。

你目前可以這麼理解。在你這個問題中，內積（也就是數量積）的定義是更基本的假設，餘弦定理是由歐氏空間內積和長度的定義推出的。希望這樣可以暫時解決你關於循環定義和邏輯合理性的疑慮。

如果你採用其他的範數和內積的定義，那麼你目前學習的所謂「餘弦定理」也就不是你現在看到的這個樣子。

空間怎麼定義都可以，就是自己玩的一個圈，只要不會自相矛盾就好。是所謂自恰的體系。

不管怎麼樣你都要接受些基本假設的，也就是所謂「人為定義的東西」。

醒和夢哪個是真的，你得選一個吧

高票某數學話題優秀回答者，堆砌了一大堆名詞，但是他的結論：內積公式證明餘弦定理是一個自引用，是一個明顯錯誤的結論。如果你有了解的話就知道，高中數學教材編寫者的數學背景是非常深厚的，認為他們會犯這種低級錯誤，其實是很好笑的。

向量點乘公式是一個人為定義，答主想知道為什麼要那麼定義，其實。高中教材已經回答了你的問題，我不知道，答主是否去認真證明過向量點乘公式為何滿足交換律和分配律，不知道答主是否認真證明過向量數乘的性質，事實上，目前的點乘定義是非常完美的，它的運算性質和代數運算非常相似，除了結合律，三個向量點乘不滿足結合律。

事實上，向量還有叉乘，向量叉乘是一個向量，向量叉乘就不滿足交換律。

真正的答案是：如果你能找到一個另外的點乘定義，有目前的定義這麼好的性質，你也可以證明餘弦定理。餘弦定理本身並不依賴向量點乘的定義。

向量點乘為什麼這麼定義？原因只有一個，就是運算性質非常好，還有物理問題背景。跟餘弦定理毛關係沒有。

如果換一種定義，比如把點乘定義裡面的cos換成sin，也不是不可以。問題是性質就比較差，而且反直覺。可以自己去推推看，是否滿足交換律和結合律，如果你不算錯的情況下，也能證明一些幾何定理。但是由於其運算性質糟糕，使用起來非常困難就是了。

贊同@Hans Spielgarten ，向量數量積的定義是由余弦定理推導出來的，具體證明過程見https://github.com/gdgoldlion/Math-Note-for-Game-Dev/blob/master/%E7%AC%AC1%E7%AB%A0%EF%BC%9A%E5%90%91%E9%87%8F/1.4%20%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF.md
這個網站很不錯

屬於循環論證。有人說內積只是個定義。角度恰恰又是根據這個內積來定義的。本身沒有問題，這樣看來貌似沒有循環論證。但是為什麼內積要這樣定義？不胡亂定義成其他，內積為什麼滿足分配律？ 歸根結底就是抽象的數學還是以基本的生活常識掛鉤的。否則這個抽象的東西，就是空中樓閣。比如，我們總是先有了日常生活中角度的定義，然後抽象到歐式空間角度的定義，然後再抽象到一般內積空間的角度的定義。類似的還有距離的定義。所以這個定義要是well-defined，不只是要沒有邏輯問題，這個內積定義的角度，還要和生活中的角度的定義，也就是初中教材中餘弦等於直角三角形鄰邊除以斜邊 是相等的。而要做到這樣的聯繫。。恰恰是需要類似的餘弦定理來搞出這一套定義。

在線性空間，可以先通過內積為0來定義正交。然後通過2個元素在基的分量的積來求和來定義內積的求法。然後再通過這個來定義角度。x1x2 + y1y2 = |a||b|cosθ。 （1）

但是這個要過度的普通的生活之中。生活中我們是先有了夾角cosθ=x/z，坐標分量，長度的定義，這些定義可是在內積之前就存在了。這樣上式（1），就需要證明了。

要證明（1）式。要求向量的內積滿足分配律。 vec a .(vec b+vec c）=a.b+a.c ...這個是需要證明的，證明這個的方法是餘弦定理或者和差角公式。所以自然也就不能用這個公式直接來證明餘弦定理。

Good question 余玄定理是三個邊和角的關係。如果dot product 定義為sine, 那整個過程就推不出三個邊有這樣的關係(余玄定理)。事實上，可以定義dot product 為 矢量components積 的和, 然後利用余玄定理證明 此定義和中國教課書上矢量積的定義 a.b=|a|.|b|cosine等價。 不知道他明白了沒有。

顯而易見，這是一個中學階段的數學問題，最好在中學數學的範圍內回答問題。現行的中學教材中，證明餘弦定理所用到的應是平面向量。所以我將題目理解為「用平面向量方法證明餘弦定理是否存在邏輯錯誤」。

先下結論：不存在邏輯錯誤。

1.平面向量得出的結論，一定在平面幾何中成立。

讓我們先回顧一下平面向量。現行的中學教材中，平面向量和平面向量的運算的確是人為規定的，但是它們是藉助平面幾何來定義的。你可以回想一下必修4（人教A）是如何定義向量的。課本是不是用有向線段來定義平面向量的？

確實如此。

這就是說，在中學階段，我們使用平面幾何定義了平面向量。可以認為，平面向量是平面幾何的一部分，平面幾何「推導出」平面向量，或者說平面向量「蘊含於」平面幾何。所以：平面向量得出的結論，一定在平面幾何中成立。這就像用平行、線段等長的概念定義了正方形之後，研究得出的正方形的性質可以直接在幾何中應用。

2.推導出平面向量中的餘弦定理的過程沒有錯誤。

那麼，我們再平面向量中推出了餘弦定理，還會有什麼邏輯錯誤嗎？這時候要考慮，是不是在推導的過程中用到了餘弦定理的推論。這就如不能用平面向量證明勾股定理。

來考慮用平面向量推導餘弦定理的過程。這個過程用到了平面向量的線性運算：平面向量加法、平面向量的數量積。這兩個運算及性質都沒用到餘弦定理或其推論。可以確定：使用平面向量推導餘弦定理的過程中，沒有用到餘弦定理或其推論。所以：推導出平面向量中的餘弦定理的過程沒有錯誤。

總結：我們在平面向量的範圍內推導出餘弦定理，這個結論一定在平面幾何中成立。如果我們承認以上兩點，那麼我們就要承認：用平面向量方法證明餘弦定理不存在邏輯錯誤。

內積是人為定義的，實際上你接觸的幾乎所有數學概念都是人為定義的。為什麼大家接受這種定義，只是因為這樣能更方便的解釋很多現象。

假設你定義定義a·b=｜a｜｜b｜sinθ，那麼會不會就和餘弦定理矛盾呢？不會！
（a+b)^2 != a^2+b^2+2a·b，因為任意的x^2=0！！跟餘弦定理扯不上關係。

內積用餘弦定義是滿足分配律的，你用正弦試試?而你推導餘弦定理的時候是用了分配律的。

1.餘弦定理有不止一種證明方法，向量證明只不過是其中一種。例如三角形內作高，用勾股定理跟三角函數即可證明。
2.數學是一種工具，工具是用來為實際服務的，故而一個新概念的定義要方便實際使用，數量積也是如此。就像導數可應用於實際中的變化率問題，而數量積則可用於物理中功之類的矢量積的計算。

推薦閱讀：

TAG:數學 | 高中數學 | 向量 |