假設函數f在[0,1]上連續且f(0)=f(1),那麼對落在(0,0.5]上的a是否均存在一個x使得f(x)=f(x+a) (0<=x<=1-a)？

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這個問題在各習題書上均沒有找到，所以不知道是否能證出來。
在數學分析中的典型問題與方法 p140 中有提到：當a=1/n (n是大於1的自然數)時上述命題是成立的。(證明用的是假設輔助函數g(x)=f(x+a)-f(x),當a=1/n時,g(0)+g(1/n)+...+g((n-1)/n)=0，從而在x的範圍內達到0；而a不等1/n時，任意整數m,ma恆不為1，g(0)+g(a)+g(2a)+…在x範圍內不可能為0，因此無法使用類似證明。)

原命題是錯的。問題的關鍵在於，a=1/n成立甚至不能保證a=2/n成立。
一般地，對任意不滿足1/a是整數的a，可以如下構造f(x).
設1=n*a+q,0&<=q&先取定f(x)在[0,a]上的取值，使得f(q)不為0,f(a)=-f(q)/n。然後令f(x+a)=f(x)-f(q)/n即可。
比如如下反例。
考慮a=0.4時，取f(x)=
-x 當0 &<=x&<=0.2
1.5x-0.5 當0.2&<=x&<=0.4
-x+0.5 當0.4&<=x&<=0.6
1.5x-1 當0.6&<=x&<=0.8
-x+1 當0.8&<=x&<=1.0
容易驗證：
f(x)在各端點和區間內均連續
f(0)=f(1)=0
f(x+0.4)-f(x)=0.1
所以這樣的x不存在。

如果f在區間內連續且一階可微，結論應該是對的。
當f連續但不可微的時候呢？

若不是直線，則曲線存在最大值與最小值沒有與之相等的點。曲線自己腦補。。。