如何理解開普勒問題（以及氫原子問題）中的LRL矢量和角動量構成SO(4)的生成元？

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題目描述不知是否正確。希望有大神把題目中的語言改得嚴格一點。
「生成元」這個說法似乎是不嚴格的，我指的是李群中的一個無窮小變換。
如果我們接受「角動量構成轉動的生成元」這個說法，那似乎可以理解題目中這句話。（抱歉，我使用的數學語言實在是不嚴格，希望有人能明白我的意思）
LRL（拉普拉斯-龍格-楞次矢量）和角動量構成了SO(4)的生成元，而這兩個守恆的矢量（6個分量守恆）似乎表明開普勒問題（平方反比力下的有心力問題）的閉合軌道是具有某種SO(4)對稱性的。
為什麼三維空間中的運動會具備某種SO(4)的對稱性？我想問的是，這種性質的物理意義是什麼？
以及，三維球諧振子也有一個守恆量。確切地說，是一個守恆的並矢（長得很像聲子產生和湮滅算符的那個東西）。作為有心力問題中僅有的兩類有閉合軌道的情況（Bertrand定理），三維球諧振子問題和開普勒問題有什麼共同性嗎？
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$ext{Runge-Lenz}$ 矢量 $M=dfrac{1}{mu}m{p} imesm{L}-dfrac{ihbar}{mu}m{p}-dfrac{e^{2}}{r}m{r}$ , 通過較為繁複的運算(如，參見 Greiner 量子力學：對稱性)可以得到閉合對易關係 $[L_{mu},M_{ u}]=ihbarvarepsilon_{mu usigma}M^{sigma}~ ext{and}~[M_{k},M_{l}]=-dfrac{2ihbar}{mu}varepsilon_{jkl}L_{j}m{H}$ ，加上 $m{L}$ 原本具備的対易式，通過簡單變換即可將之寫為標準 $extbf{SO}(4)$ 李代數對易關係的形式。

我試著提供一個引入 $mathfrak{so}(4)$ 的原因。

先說結論：我以為，將 $extbf{SO}(4)$ 強行物理解釋為什麼四維空間旋轉純粹是無稽之談，它的引入（或者說，物理意義）只是為了使簡併度與解方程所得的簡併度達到一致，換句話說，只是對稱性要求。
（對解釋為四維空間旋轉的人，我就不問你們四維空間是什麼鬼了，我就問一點，你知道李代數同構么？！ $mathfrak{spin}(4)=mathfrak{so}(4)=mathfrak{su}(2) imesmathfrak{su}(2)=mathfrak{so}(3) imesmathfrak{so}(3)$ ，既然我們所有的對易計算只涉及李代數，你咋不把解釋成 $extbf{Spin}(4)$ 或者 $extbf{SU}(2) imes extbf{SU}(2)$ 之類的單連通雙重覆蓋群的對稱性呢？）
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下面闡述：

一個有趣的論斷說：「可觀測量本徵譜的簡併預期了體系的某種對稱性」。（若有知友知道出處（以及證明）不妨告訴在下）

氫原子的 Hamiltonian 在轉動變換下不變，於是自然地引入了 $mathfrak{so}(3)$ 描述其對稱性。
$extbf{SO}(3)$ 的不可約表示維數為 $2l+1$ ，這也是 $extbf{SO}(3)$ 群預期的電子簡併度。然而，直接求解氫原子 $ext{Sh"{o}rdinger}$ 方程，我們知道在主量子數 $n$ 確定時，角量子數取值 $l=0,1,cdots,n-1$ （不計自旋簡併），實際簡併度為
$sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^{2}>2l+1$ ,
換句話說， $extbf{SO}(3)$ 群並不能完全概括氫原子體系的簡併度（對稱性）。也即，可以預計，真正描述氫原子體系的對稱群應把 $extbf{SO}(3)$ 作為其子群，且簡併度達到直接計算的 $n^{2}$ 。

按我補充題目的対易式，對固定的 $m{H}=E$ , 做歸一化： $m{N}=left(dfrac{-m}{2E} ight)^{1/2}m{M}$ ，並令 $mathbf{I}equiv(mathbf{L}+mathbf{N})/2,~mathbf{K}equiv(mathbf{L}-mathbf{N})/2$ , 得兩 $mathfrak{su}(2)$ 對易關係，記其 Casimir 運算元的本徵值分別為 $i(i+1)hbar^{2},~k(k+1)hbar^{2}$ , 其中 $i$ 、 $k$ 為半整數。
由於 $mathbf{L}cdotmathbf{M}=0$ (verify it !)，我們的兩個 Casimir 運算元不獨立，由此得到 $i=k$ . 也即，僅是 $mathbf{SO}(4)$ 中滿足 $mathbf{I}=mathbf{K}$ 的表示者才是描述氫原子束縛態的（這也再次說明，去追問為何是 $mathbf{SO}(4)$ 是沒有意義的）.
另外，計算 $mathbf{I}^{2}+mathbf{K}^{2}$ ，可得
$E=-dfrac{me^{4}}{2hbar^{2}}dfrac{1}{(2k+1)^{2}},quad k=0,dfrac{1}{2},1,dfrac{3}{2},cdots$
顯然, $2k+1$ 即是主量子數 $n$ ，滿足條件。

謝謝摸摸邀請。

因為這個問題確實是一個 $S^3$ 球極投影到平面上的解。相應的在球上的運動是自由的所以會有 $O(4)$ 對稱性（ $S^3$ 的對稱性）。因此一定要說有幾何意義的話還是有的。

細節稍後再寫。