如果在地球上某處有一座高山，能夠在月食的時候在月面上看到山的輪廓，這山要多高才行？

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月食實際上是地球的陰影投射到了月球表面，所以，如果地球上有一座足夠高的山，它又恰好在月食的時候出現在合適的位置，那麼理論上我們是可以在月球上看見它的。比如這樣：

當然這只是效果圖。這裡回答的問題是這座山至少需要多高才能在月食中看見，所以不需要像圖中這麼高的山。

要回答這個問題，首先我們需要了解月食的成因。從下面的圖可以清楚地看到，地球背離太陽的一面會在太空中投射出圓錐狀的陰影。如果月亮進入地球的陰影，就會形成月食。

圖片來自https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%88%E9%A3%9F

每個月的望日，月球都會轉到地球背後去。由此看來，似乎每個月都應該發生月食，但實際上並非如此。轉一個角度看看就明白了。

圖片來自https://youtu.be/_cmZuz0N3jI

從上圖可以看出，由於地球和月球的軌道平面並不重合，在多數時候，月球從地球陰影的下方或上方鑽過去，不會發生月食。

回到我們的問題。為了計算這座山的高度，我們需要了解地球陰影的更多細節。

對陰影的簡單定義就是：物體遮擋光線形成的陰暗部分。實際上地球的陰影有比較複雜的結構。因為太陽不是點光源，有一定的面積，所以陰影可以分為兩部分：1）本影：整個太陽都被遮擋的部分，和2）半影：只有部分太陽被遮擋的部分。

圖片來自https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E5%BD%B1

從地球上看到的月食，對月球來說實際上是日食。由於半影在本影的外圍，所以月球首先進入地球的半影。當月球在地球的半影中運行時，從月球上可以看見部分太陽。

圖片來自SVS: September 27, 2015 Total Lunar Eclipse: View from the Moon

月球進入地球的本影以後，太陽被地球完全擋住了。地球周圍的紅色光環來源於大氣層散射的陽光。這些黯淡的紅光也是月全食中「血月」的成因。

圖片來自SVS: September 27, 2015 Total Lunar Eclipse: View from the Moon

當月球運行在地球的半影中時，可以看見的太陽面積逐漸變小，光照強度逐漸降低，所以半影不會產生清晰的陰影輪廓。地球上有再高的山，在半影中也是看不見的。

我們看到的月食，實際上是地球的本影。和半影相比，本影的輪廓清晰得多。如果要從月食中看到地球上的物體，我們只能在本影上面找。為了計算山的高度，我們需要知道地球本影的大小。

圖片來自Eclipse

知道了太陽，地球，月球的半徑和它們之間的距離以後，計算月球位置的本影大小只是一個簡單的幾何問題。但是，值得注意的是，由於地球和月球的公轉軌道都是橢圓，所以地-日距離和地-月距離都不是常數，地球在月球上的本影半徑也會發生變化。它的大致範圍是4479到4735公里，是月球半徑的2.578到2.725倍。

把月食的不同階段照片放在一起，我們就可以看到地球本影和月球的大小比較關係。

圖片來自APOD: 2008 August 20

然而，從18世紀開始，人們就發現，計算結果和實際觀測的數據並不吻合。觀測到的本影半徑總是比計算結果大2%左右。普遍接受的解釋是：地球大氣層吸收和折射陽光。

圖片來自https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%B0%E7%90%83%E5%A4%A7%E6%B0%94%E5%B1%82

地球大氣層主要包括上圖中顯示的5層。雖然對流層集中了大部分的空氣，但是它的高度只有地球半徑的0.24%，對本影的增大效果很小。起主要作用的是平流層、中間層和熱層的底部，大約120-150公里。在大型流星雨以後，地球大氣的高層中會留下很多流星粉塵。這時候，地球的本影會明顯增大。這在一定程度上證實了這種觀點。但是，並非所有人都接受這一解釋。有人認為，其實本影並沒有增大，只是在本影-半影交界處亮度增加不明顯，人眼不能覺察，從而造成了本影增大的幻覺（Enlargement of the Earth"s Shadow on the Moon: An Optical
Illusion）。

這裡我們還是採用主流的觀點。那麼這個數字就給了我們關於山峰高度一條重要線索：如果一座山要在地球的本影邊緣上顯示出來，它至少要高於150公里。否則，它的身影就會被地球大氣掩蓋，無法看見。

那麼山峰的高度需要超過150公里多少呢？下面來分析一下。由於地球大氣層沒有明顯的分界，所以從本影到半影之間有一個模糊的過渡區（從下面的圖中可以看到）。

根據韋伯定理（Eye intensity response, contrast sensitivity），如果山峰的本影在這個過渡區能夠被人眼察覺的話，那麼它的亮度和周圍環境的亮度的差別就必須大於1%。雖然韋伯定理適用範圍比較小並且不太準確，但是在月球表面的光照環境下，這個定理基本上可以適用。

但是這個計算需要本影到半影的精確亮度數據。我只找到了下面這個十分粗略的圖表，不足以進行1%精度的計算。所以只能進行一個大致的估算。

圖片來自http://iopscience.iop.org/article/10.1086/125848/pdf

注意圖中的橫軸表示距離，是從本影中心開始計算的角半徑（以角分為單位，1角分是1度的1/60）。本影的邊界是45『。也就是說，本影的角半徑是45『。而半影的角半徑是78『。

圖中的縱軸（左邊）是以對數表示的相對光照強度。以半影外的月面亮度為標準：1（log（1）=0）。在本影邊界處，相對光照對數是-1.55（我用尺子量的），對應於的相對光照是0.0282。因為數據精度不夠，我們就計算光照增加10%需要多大距離。

0.0282 x （1 + 10%） = 0.030，對應的對數是-1.51。這個數字在橫軸上對應於約46『。也就是說，從本影邊界開始，向半影區移動1『，光照會增加10%。在這個很短的距離內，相對光照（對數）的增加基本上可以看成是線性的，所以，在約0.11『的距離內，光照會增加1%。

0.11『的視角代表著什麼高度呢？這是地球本影半徑的0.24%，那麼它代表的高度也就是地球半徑加上150公里大氣層的0.24%，即 (6371 + 150) x 0.24% = 16公里。加上淹沒在大氣層下的150公里，166公里高的山就夠了。

也就是說，一座山如果有海拔166公里高，如果你的眼力很好，在加上一個不錯的望遠鏡，就有可能在月食的時候看見這座山的影子。

這只是一個粗略的計算，你可以把它看做是一個下限。把這個數據放到真正的月球上，還有很多因素要考慮。比如，我們需要觀察的本影-半影交界處亮度很低，而半影中的月面亮度很高，這會大大降低山峰陰影在視網膜上的對比度。此外，山峰的影子本身也不會有一個清晰的輪廓，這也會給觀察增加很大的困難。最後，月球明暗不一的表面也會降低陰影的辨識度。這些因素都是很難（如果可能的話）定量計算的。我估計要可靠地看見山的影子，它至少要有200公里高。

如果你希望不用望遠鏡，只靠肉眼就能看見山的影子，那麼影子突出地球本影的高度就應該超過人眼的最小辨識範圍——1『（將廣告投影到月球上（比如一個可口可樂的瓶蓋）一秒鐘成本是多少？ - Mandelbrot 的回答）。這個角度對應的高度是地球半徑加150公里大氣層的1/45，即145公里。加上大氣層下的150公里，這座山的高度必須達到295公里。同樣，由於環境的影響，能否真的看得到還很難說。我估計2』應該就比較可靠了，也就是說，山的高度需要達到440公里。

440公里是地球半徑的6.9%。如果真的有這樣一座山，它看起來應該就是這樣的。

當然，地球上的山是不可能長到這麼高的（在地球上山峰的高度有限制？地球的山峰最高高度是多少？ - 地理）。

人眼解析度2角分，對應120/206265弧度，月地距離是38萬公里，所以山高至少得380000*120/206265千米才可以，大概是221公里，都快到近地軌道了。