為什麼人類想像不出四維的空間？
很想知道高維空間是怎樣的
物理學認為高維坍縮成小尺度了 是什麼意思 理解不了？
還有就是二元方程用平面 三元方程可以用立體
多元方程怎麼用幾何表示？
有人說人類的大腦是三維結構的無法想像出四維，這有什麼關係嘛？理解不了
還有生活中有沒有體現高維的東西？
謝邀。
高維空間作為幾何對象是很難理解的，作為代數對象卻很容易理解。
根據我們日常對一維（線）、二維（面）、三維（體）空間的印象，一個空間有幾維，就是在這個空間中能夠做幾條互相垂直的直線，或者說有幾個互相垂直的方向。你面前一條左右伸展的直線上，只有左右方向。你面前一張鋪開的白紙上，有左右方向加上下方向。你面前的整個空間中，有左右方向、上下方向和前後方向。
以此類推，四維空間就是在左右、上下和前後之外，還有一個與它們垂直的方向的空間。這個定義一目了然，人腦卻難以想像出來（不排除有些數學家經過特殊訓練有可能想像出來），因為我們日常見到的空間是三維空間，不存在這第四個方向。四維都想像不出來，更高維度就更不用說了。所以說，高維空間作為幾何對象是很難理解的。
從代數的觀點看，n維的空間就是所有的滿足以下性質的矢量的集合：（1）有n個互相垂直的基礎矢量屬於此集合，垂直的定義是純粹代數的，即兩個矢量的「內積」等於0；（2）此集合中任何一個矢量都等於這n個基礎矢量乘以某些常數後相加（即這些基礎矢量的線性疊加），例如2乘以第一個基礎矢量，加上3乘以第二個基礎矢量，加上0.5乘以第三個基礎矢量，加上0乘以後面的基礎矢量。你如果能看懂，太好了。如果看不懂，沒辦法，只能說這是大學裡線性代數的內容，等你學到線性代數就明白了。這個定義的妙處是完全不需要空間想像，無論多少維在數學表述上都是一樣的。所以說，高維空間作為代數對象很容易理解。
兩個矢量的內積
龔昇《線性代數五講》在以上定義中，如果一個n維空間的某個基礎矢量變成0，那麼這個空間就降低了一維，成了n-1維空間。就像我們把一張紙看作二維的，其實紙畢竟也有厚度，只是我們關心的實際問題的尺度比紙的厚度大得多，所以近似地可以把厚度當成0，紙就從三維物體變成了二維物體。物理學中提到高維空間坍縮成低維，是同樣的意思，某些維度的尺度遠遠小於我們關心的尺度，於是把它們當作0。
這個問題在很久很久之前，就被人完善的解釋過。久到那時我還不是文科生。。。
這個人叫加來道雄。。。
萬贊答案里的類比法就在他的書里被詳細討論過。。。
以下是我這麼多年還記得的幾個例子：
1.在二維人看來，因為沒有高度這個維度，那麼他們在看一個圓形的時候，就是一個沒有厚度的圓形。那麼如果這個時候，在二維人面前，你用手指把這個紙捅破，然後做起淫蕩的活塞運動的話，這個二維人看到的時候什麼呢？
沒錯，就是一個不斷改變大小的不規則的無厚度的肉片。
那麼以此類推，如果一個四維（只討論空間維度，不討論時間）人，用的手指把我們眼前的空間戳一個洞的話，我們看到的是什麼呢？
大概是一個不斷改變大小的不規則的肉球。。。。
2.前面也有答案提到了這個東西：
我們可以再往下假想一下。
左邊的六個正方形可以疊成一個正方體。
那麼如果放在二維人面前的話，這個正方體是什麼樣子的呢？其實還是正方形，因為他只能看到正方體在自己平面的那正方形。
但是，如果機緣巧合，這個二維人進入到了這個正方體的內部。那麼他會發現無論他如何沿著正方體內部的那六個正方形來走，都無法走到外面的世界。他被困在了正方體的內六面中。
同理，右邊的立方體應該也是有我們不知道的方式可以坍縮成四維立方體的。
那麼在我們的世界中看到的，應該是右邊這一坨東西突然變成了一個單獨的三維立方體，剩下的七個，應該都被隱匿在了四維空間中。
而如果我們進入了這個四維立方體的內部，那麼我們應該是會被困在裡面出不來的。類似前面答案提到的，每個房間都有門，但每進去一個房間都發現還是一個房間。而進過一定數量的房間後，應該會回到最一開始的房間，從而形成循環。類似二維人在立方體內六面里的經歷。
3.第三個例子
如果你把一個二維人從紙上撕下來拎到高處（即第三維），那麼他就具有了相對於二維世界的超視覺。
他可以看到其他二維人的內部構造。類似三體中描寫的超視覺效果。
而如果你把這個二維人又貼回到紙上其他的位置，那麼在其他二維人來說，他就實現了瞬間的空間移動。
這兩種情況，對應三維比較困難。但是如果一旦科學家們研究出了實現途徑，那麼不管是哪一種，都會對人類社會帶來最深層次的變化。
以上假設，均來自加來道雄的科普著作： 《穿越超時空－十度空間科學奇航》
好像網上的書店並沒有電子版賣。。。
我TM真的老了。。。
假說預警~~
具象的想像做不到，因為我們想像不出沒有見過的世界。
比如我說，我有一隻狗是綠色的。你說你沒有見過，但是可以想像出來啊~
其實呢，狗你見過，綠色你也見過。你可以組合罷了。
但如果我說我有一隻狗是你從沒見過的「紅橙黃綠青藍紫黑白灰」之外的一個全新的顏色，你就傻眼了。因為你想像不出那個全新的顏色。
區別就在這裡。
不過不要氣餒，具象的想像無法進行，抽象的想像卻是可以的。
我們可以用我們見過的東西，去構建一個類似的模型。
慢慢說，長文預警！！
讓我們先從0維開始。什麼是0維呢？可以理解為沒有空間。
就像是一個點，一個想像出來的點。因為沒有空間，所以它沒有體積，沒有大小。它即存在又虛無，空即是色，色即是空。本來無一物，何處惹塵埃。
那現在我們想像在它的右邊出現了一個空間，這個點突然可以往右移動了。那麼恭喜你，一維空間出現了。
一個點，從A移動到B，無論多長的距離，只要它動了。OK，這就是空間。
所以一維空間是一條線。而一個無限大的一維空間，就是一條無窮無盡，不知從哪裡開始，也不知到哪裡結束的直線。
我們可以快速地進階。現在想像一下有一個生物，它的概念裡面只有長度，沒有寬度。因為它生活在一維空間中，永遠只能在一條直線上移動，左手右手一個慢動作……
比如一個一維空間的直線AB，假設A點是北京，B點是上海好了。
有一天這個空間在更高維度的空間，也就是二維空間上，發生了扭曲。變成了一個二維的圖形，然後A點和B點重合了。
但是生活在直線上的一維生物並沒有認知到二維。
那麼在他們眼裡世界發生了什麼呢？有一個住在A點的人，他同時出現在了B點！A點B點都有他的存在，但是又只有一個他。於是所有人都為他獻出膝蓋，膜拜這個大神……
現在我們再進化到中學時期那個讓我們無比頭痛的平面幾何中來。兩條直線就能構成一個二維空間。
比如說直線X上的生物，X就是他們的世界。而對於直線Y上的生物來說，Y就是他們的世界。現在這兩條直線在O點相會，於是就構成了一個二維的世界。
然後這些生物開始在二維空間過上了幸福的生活。
不過好景不長，一個三維空間的生物，突然沿著Z軸進入了這個平面。這哥們先在A點著陸，然後像一隻鳥一樣跳躍到了B點。這是一個在三維空間的運動。
那麼對於二維空間的人來說，這個傢伙的運動意味著什麼呢？
他從A點莫名其妙的消失了！然後又突然出現在了B點！二維空間的低等生物絞盡腦汁也想像不出這隻鳥是怎麼運動的，他們只能把這個三維空間的生物叫做不明飛行物，也就是UFO。
好了，從零維到我們熟悉的三維都很好理解。在我們開啟第四維之前，首先得開一個腦洞，以便於更好的理解後面的維度。
接下來假說預警！！腦洞預警！！科幻預警！！玄學預警！！
如果你是嚴肅的物理黨，請當作假說。如果你是普通的好奇黨，請當作腦洞。如果你是嚴謹的數學黨，出門左轉……
讓我們回到一維空間的直線X。現在假設這條直線從下往上運動，於是有了Y軸。
我們需要把Y軸塗成難看的黃白漸變色。
現在，生活在直線X上的低等生物A先生，它的世界還是一維空間，所以它認知不到一個完整的Y軸。
那條Y軸，在他的世界裡永遠都只是一個O點。
那麼當X軸從下往上沿Y軸運動的時候，在A先生的眼裡，左邊的O點不是白色就是米色或者黃色。
所謂管中窺豹，所謂坐井觀天。
OK，第一個腦洞開完，再回到我們最熟悉的三維空間。這個空間你可以想像成你的卧室，或者是整個宇宙，what ever，這不重要。
重要的是，我們現在要把你的卧室想像成一個點，排除掉暫時不虛要考慮的上下左右和前後。
那麼如果我們的這個三維空間正沿著某一個軸運動的話，我們看到的就會如同A先生所看到的Y軸那樣，一個白色的三維空間，慢慢地變成了黃色。
比如說你卧室里逐漸泛黃的牆壁，或者是窗外晝夜交替的天空。
也許這是一種比較好理解的方式。我們生活的三維空間，其實是在沿著一條線，從原點開始朝著固定的方向在運動。我們可以把這條維度理解為時間t。
物理學裡面，可以把時間t軸作為一條維度去和其他的XYZ軸一起運算，並且在運算的過程中還可以和另外三條維度相轉化。那這不是另一條維度是什麼呢？
以至於很多抽象的宇宙模型都把時間作為一個維度去分析，不過它又不能等價於歐氏幾何的維度。它很特殊……
簡單一點說吧，我們的三維世界可以理解為一個漂浮在河水上面的落葉，大河向東流，天上的星星參北斗……而這條河的名字叫做時間。
不過它和其他的體積維度不同。我們沒有能力逆流而上，而是只能沿著t軸的一個方向，從過去向未來運動著。
反觀我們這些三維生物，對於這樣一個高維度的認知，就如同刻舟求劍。
比如著名的雙縫實驗：
我們朝一個雙縫發射一枚光子或者電子。按照傳統的粒子觀點，它要不走左邊，要不走右邊。
雖然我們用各種不同的實驗，都無法觀測到最終那個確定的結果。不過所有的實驗觀測都還是間接地指向了那個假想，這枚粒子同時穿過了兩條縫。
它沒有把自己一分為二，而是在那一時刻，它即在A縫，又在B縫。並且依然是一個完整的個體！
什麼意思呢？科學家也不知道。
但是我們可以從空間的角度開一個腦洞。
假設一個情景好了。現在有一個一維的點，它在二維的直線上面相對於我們以光速飛行，從A點到B點。
儘管理論上光速飛行做不到，但是我們可以暢想一下。
那麼按照相對論，這傢伙的時間相對於我們就靜止了。也就是說，如果這傢伙12:00從A點出發，同樣是12:00就到達了B點。
同一個時刻，它處在A點到B點的每一個點上。
相對於我們在t軸上一分一秒地運動的生物來說，他在t軸上靜止了。
結果就是一個零維的點，現在變成了一條一維的線。它升維了……
by the way……我沒有說雙縫實驗的電子就是在以光速運動……這裡只是提供一種如果。
再換一個腦洞好了。
我們現在需要把我們生活的三維空間想像成一條線。上下前後忽略掉暫時不需要考慮。
現在，比方說A是左邊的縫，B是右邊的縫好了。
如果我們熟悉的三維空間，在更高維度中扭曲了，會發生什麼呢？
是的，那個即在A點存在又在B點存在的神一般的哥們又出現了。
那這個空間通過扭曲進入的那個新的維度，可能是時間。
但是……但是了啊！！
這個扭曲的高維度，也可能是另外的維度哦～
於是我們的思想就進入t軸之外的，某一條維度。
還是要把我們的三維空間想像成卑微的一個點。我們沿著時間軸t，從A點出發。
假設A點是午夜十二點好了，然後我們一起等待凌晨一點鐘的來臨。這是四維空間。
那麼有沒有可能存在兩個時間軸，比如t1和t2呢？
我們或者按部就班地沿t1軸走到B1點，也可能不走尋常路，沿著另外一條時間軸t2，走到B2點。
那麼我們就可以在一個小時後之後到達B1，也可能在同樣一個小時後到達B2。
B1和B2都是凌晨一點，卻是兩個不同的世界。
這是不是就是傳說中的五維空間呢？
而第五條維度，專業一點的人叫它「速率指向」。拓展到宏觀上面，通俗一點的話……我們給它起個名字吧，反正至今仍然沒有確切的結果。
我們姑且叫它……「可能性」？
may be
簡單地說，宏觀地說。現在不是粒子，是你。你曾經有兩個選擇，一個是成為工程師，另一個是成為會計師。如果你選擇走T1的話，你就是工程師。而如果你選擇走T2，那麼你就是一個會計師。
於是乎，對於一個生活在五維空間的生物A的話。他就能同時看到那個工程師的你，以及會計師的你。
這個腦洞深入下去會變得更加詭異。我們還是把三維空間想像成一個點。那麼四維空間就是一條直線。
A點是你出生的時間，B點是你死亡的時間。
現在我們把t1軸扭曲一下，A點和B點在更高維度也就是五維空間裡面重合了。
那麼此時的你，就同時處在A點和B點。
你此時既處於A點的生存狀態，又處於B點的死亡狀態……
你看，大名鼎鼎的薛定諤的貓來了。
事情是這樣的。量子物理學家們發現，某一個電子，在被某種射線照射的情況下，有一定概率被激發出來，也有一定概率不被激發出來。
這和我們一般理解的概率不一樣，這枚電子的狀態不是或，而是且！就像是一枚硬幣，它既是正面朝上同時又是反面朝上！這是一種沒有因的結果。只不過我們觀測不到而已。
牛逼的來了。
這枚電子，它同時處於激發與不激發這樣矛盾的，神一般的存在！
反常識吧？著名物理學家薛定諤也覺得這個理論太他媽扯淡了吧。甚至包括愛因斯坦也表示質疑。比如那句「上帝不會拋骰子」的話……
然後呢，薛定諤給出了一個反例。或者說悖論。
他假設有這樣一個儀器：如果這枚電子激發出來，那麼這個儀器就發出毒氣，毒死一隻貓。反之如果這枚電子沒有被激發，那麼就不發出毒氣，喵星人依然歡快地活著。
那麼，你們這些量子物理學家所說的電子處於即激發並且又不激發的情況。是不是等於在說，這隻貓現在處於即活著，同時又死了的狀態呢？
你們確定不是猴子請來的逗逼嗎？
然而量子物理學家們也很無奈啊，他們認為通過實驗結果，得到的推論就是這樣啊！
然後這個腦洞今天成為了量子力學的入門小故事……
其實雙縫實驗也好，薛定諤的貓也好。我們今天也不確定這些實驗和高維度到底有多少聯繫，只不過他們的現象和我們關於高維空間的腦洞如此類似。。。
比如說。。。我們回到雙縫實驗中來，見證一個更加更加更加詭異的奇蹟。
激發一枚電子或者光子，前方有個雙縫AB。我們通過一系列複雜的實驗儀器來檢測它到底走A還是走B。比如量子擦除實驗。
實驗比較複雜，我也記不住……
總之，我們如果開啟這個儀器，這枚電子就無恥的不讓我們測量它的粒子性了！然後我們就無法知道它到底是走A還是走B！
如果我們不開啟這個複雜的實驗系統，它就老老實實的保留它的波粒二象性。但如果我們開啟了這個複雜的儀器，它就羞羞地壓抑自己的天性，只表現波性或者只表現粒子性！
這枚粒子就像是有思想一樣，它在干擾我們的實驗。
也就是說，在我們現有的水平上。如果我們沒有測量它，推導結果就是它同時處於A和B的位置。但如果我們去測量它到底是走A還是走B，它就改變實驗結果！「塌縮」為確定的A或者B。
而且我們無法觀察到這個過程到底是怎樣的。
什麼意思呢。。。
回到我們的主題高維空間來。
現在有一個三維生物O，羞恥的被我們視為了一個點。
然後有代表第四維度的時間軸t1和t2。
這樣兩條t軸就構成了一個五維空間。
為了方便我們想像，這個五維空間被視為一個平面。
那麼接下來，一個四維生物：「e」，就應該是一條直線。如圖：
現在四維的e，在這個五維空間裡面就和t1，t2各有一個交點AB。那麼同樣是一點鐘，在t1上它是B狀態，但是在t2上它是A狀態。
這兩個狀態都存在，但是我們這些愚蠢的三維生物只能苟且地觀察到一種狀態……非A即B。
因為我們只能在這條四維的直線上觀察。
假設我們不服，試著在同一個時間去觀察AB兩種狀態的話，e就會「塌縮」到我們的三維空間來，成為我們世界中那個確定的A點或B點中的一個。而另外一個遙遠的交點，它依然存在，只不過是在高維空間中。
世界上最遠的距離不是生與死的距離，而是你就在我身邊我卻不知道——泰戈爾
就像是薛定諤的貓，如果我們打開那個儀器，貓就要麼活著要麼狗帶。但如果我們不打開那個儀器的話，貓就是生並且死的狀態。
還是莎士比亞說得好啊。To be or not to be，thats a question……
你看question來了吧。那麼answer是不是就是：電子和光子其實就是生活在高維空間的物體呢？
不知道……
因為以上的所有解釋都只是假想而已。僅僅是我們試著用想像中的高維空間來解釋那些粒子實驗中反常識的現象。但是法治社會，我們卻沒有證據……
愛因斯坦自稱證明了時間軸的存在，我們姑且相信他老人家。
不過很遺憾的，目前還沒有實驗及觀察能證明在時間之外，第五條維度的存在。
其實我們甚至連真正的一維二維空間，都沒有見過！
所以，上面的一切，從零維到所有維！都只是沒有證據的假說。
說白了就是科學家自己編的一套理論，僅僅是在邏輯和概念上成立而已。並沒有得到驗證。
好了不要累覺不愛。。。至少我們還可以繼續在邏輯和概念上，再開啟一下六維空間。
還是一個低等的三維生物，自覺地被我們視為卑微的一個點。
假設在下圖A點的時候，上帝拋了一枚硬幣。走t1的話他就當工程師，走t2的話他就當會計師。
多出來的這個人生的岔路口就形成了一個五維空間。
那麼問題來了，這個岔路口只能從這個方向長出來嗎？如果上帝拋的不是一枚硬幣，而是一個骰子呢……
比如這樣：
那這大概就是我們對於六維的理解。
依然是所謂的「速率指向」，不過我們剛才起了個更通俗的名字叫做「可能性」。
他還是你的各種可能，比如警察，比如黑社會。然後有一個胖子跟你說，路怎麼走，你自己選。最後你說你還是想做一個好人……
但是這些都在第六維中。
接下來還是不要深入了……
因為在你看完上面的內容，並且接受了一切反常識的現象之後。
我們似乎可以繼續把六維空間再視為一個點，那麼它再繼續沿一個未知的軸移動，那就是第七個維度。具體我就不展開了。
總之這裡面有無數個你，無數次出生又無數次死亡。然後他們不是你的可能，他們是確定的另外一個你。
你可能是工程師，可能是會計師。他們也可能是工程師師，或者會計師。不過那些工程師也好會計師也罷，並不是六維空間的你，卻依然是七維空間的你。。。
慢慢體會……不要絞。
那麼現在我們完全可以在另外的方向再來一條直線啊，就像五維到六維的過程一樣。那這不就是周杰倫的專輯《八度空間》了嗎？
八維空間終於來了，一切卻並沒有結束。我們完全可以再把它視為一個點啊，然後再來一條直線代表九維空間，就這樣無限疊加下去……
宇宙是不是就是這樣無限疊加下去的無限維度呢？
答案依然是不知道……
雖然現在有大師自稱找到了十一維。但是很難說這個構想將來會有怎樣的變化。
所以呢……如果你和我一樣，並不是一個專註於基礎理論的孜孜不倦的學者，那麼就停留在卑微的三維好了。
把剩下的都看做腦洞，然後洗洗睡吧。
這是由於人類的大腦對輸入信息做了針對性優化,想突破幾乎不可能.
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接下來我說的是高維空間、空間、空間...重要的詞說三遍.
歐氏空間是不會有什麼11維宏觀上就是3維的這種說法的.
其實吧,雖然流形很好理解,但是科普的話反而會加大理解難度.
-----------------------------打個比方--------------------------
某個國家有遺傳性的黑白色盲,所有人都只能看見黑白色.他們發現顏色都能用0-100的灰度表示.有一天,你(正常人)來到了那個國度,他們拿了盤草莓招待你.
你說,這草莓鮮紅欲滴.
他們很奇怪,什麼是紅?
紅是一種顏色.你說,顏色是三維的,可以用RGB表示.
但是,所有的顏色都能用0度灰到100度灰定義啊?顏色是一維的啊!
這麼說吧,紅色就是光譜上700納米左右的那種顏色.
胡說,那明明是50度灰色...
這才是他們眼中的世界...
就像你不能想像紅外線和紫外線是什麼顏色的一樣.
-----------------------------做個類比----------------------------
前面的答主說的很對,物體包含的信息量確實隨著維度上升大幅增長,但是大腦對所接收到的一切都進行了優化處理,你接收到的不是原始信息.這有點像經驗公式或者速算公式.就像3D軟體都是高度優化的,硬杠非燒了你的電腦不可.
二維類比三維難度不大,但是三維空間類比四維空間所有的方法都失效了.因為大腦中無定義.
你寫個程序結果函數都不定義那自然就算有原始數據都沒用.
看到四維的方法只有投影,常見的有色度投影,球極投影,時間投影啥啥的,反正得加起來四個量,就算是顏色,溫度,長度,聲音這四個都行,例子待更新
但是又有什麼用呢,大腦中還是沒法構建出四條正交的直線,數學上高維歐氏幾何已經研究的差不多了(即便無法想像),但是,對於想像四維空間並沒有什麼卵用.
而且有個哲學問題,就算你天資聰穎在大腦中構建出了四維空間.但是卻無法啟蒙我,對,現在我就是那個色盲,你說顏色是RGB三維的就是三維的了,我還說是ABCD..26維的呢.----------------------------------------------------------------------
有資料表明即使是天生的盲人也是能想像三維但卻無法想像四維的.
呃,有可能是人類進化出了針對三維優化的大腦?即使沒有輸入也行?怎麼這麼像GPU加速.....
人類看不到4維空間因為人類生存的物理空間維數就是3維的。但是數學上可以隨意構造任意維數的空間，這種空間還可以是彎曲的，我們稱之為「流形」。然後我們就可以在流形上玩幾何和拓撲。這就是現在的幾何學家和部分拓撲學家在玩的事情。像我們這種做幾何的，一般開口就是「假設我們有一個n維（黎曼，復，Kahler, etc.）流形，blabla」，而一般不會說「考慮3維空間中的一張曲面」，後者一般是做古典微分幾何或者做分析的數學家們乾的事（好像又黑了什麼）。
補充：
嚴格地來說，我們生存的宇宙空間微觀上並不是連續的，普朗克長度以下就沒有意義了。宇觀上我也不認為宇宙在拓撲上就是個R^3，按照廣義相對論的觀點，時間和空間應該是「絞纏」在一起的，共同構成一個有複雜整體同胚的4維洛侖茲流形。我們局部看到時間和空間可以「分開」，空間好像是「線性空間」，不過是因為我們的視野太小而已。
關鍵看起來太累
人只能看到二維圖像
要理解一個三維物體至少繞這個物體看一圈 得到一系列二維投影 大腦經過組合才能理解
要理解一個四維物體要有一個處在四維空間的三維視覺眼 然後繞這個物體「看一圈」得到一系列三維投影 然後還要再通過處在三維空間的二維視覺眼繞這些三維投影都看一遍 得到一系列二維投影 組合後才能理解
大腦和眼睛都表示不夠用
這裡推薦一個可以讓你對四維世界有初步了解和直觀感受的App，《四維空間》
上面的答案都是文字和圖片，你並不能直觀感受到四維空間的神奇之處，解釋多維空間概念絕對是所有教科書上最無解的知識點，哪怕那上面每一個字你都能看懂，但理解起來卻是另一回事，四維空間到底是什麼？為什麼我們沒有辦法去想像出一個四維空間呢？一款勇氣超群的的 App《四維空間》本周獲得優秀新應用推薦，如果你想嘗試去理解「四維空間」這個概念，這個 App 可能會對你產生史前無例的影響。
《四維空間》應用的開發商 Drew Olbrich 據說有一群對超立方體異常痴迷的人，而這個「超立方體」，就是最常用來解釋四維空間的建模，於是他們鼓足勇氣，製作了這款渾身上下都是科學知識的應用，一共三十頁的圖文動畫，做得很用心，它的中文翻譯也非常棒，語句通順流利，語義準確，語氣還有點小俏皮。《四維空間》有點像我們去書店買的那種高端科學參考書，但它能夠做到平面書籍、動畫完全做不到的效果。
知識改變世界！當我們獲得的知識越多，就會知道我們所處的世界之大。當你以一個三維生物的眼光去觀察點、線、平面這些物體的時候，想不想知道更高維的世界是什麼樣子？當你看各種科幻電影、小說中出現四維、五維空間這些名詞的時候，有沒有一種「雖不明但覺厲」的感想。
從零維空間到三維空間，尤其是從三維空間到四維空間的發展更是幾何學的的一次革命。為了讓用戶更好的明白空間概念，App 從我們最好理解的點、線、面開始解釋，告訴我們零維；一維；二維；三維；四維；N 維這些幾何概念。
最棒的是超立方體建模的運用，用一兩個建模形象地表達了一長串複雜的概念，你可以自己用手轉動這個建模來細細觀察，並且軟體還對建模進行剖析，更便於理解。
雖然內容不多，不過可以看出這個 App 盡了最大努力，這些知識可以一遍看不太懂，本來也沒有什麼東西是簡單粗略體驗一遍就能很好理解的，開發者在程序中反覆提醒用戶多閱讀裡面的文字說明，多嘗試，反覆揣摩來理解。這種對待科學的態度大概是很多教育類 App 都會忽視的，它們在乎把方方面面詳細的告訴你，卻不會告訴你學習這個需要耐心，需要反覆的思辨。
很多人這一生都無法理解什麼是四維空間，當然理解或者不理解對生活影響不大，但是——對我們的思維影響一定很大——就像一場頭腦風暴革命，此後你看到相關小說、電影甚至看待這個世界上某些發明創造，都可能擁有了不一樣的眼界。各人學習程度有異，一個 App 並不能解決所有問題，但它最好的地方在於，讓你開始試著去學習、感受、理解，這個原本你認為永遠都不會懂的知識。甚至可能以前是完全一竅不通，現在終於有了通的跡象。
這大概也屬於知識的力量，求知是本能，所以它永遠吸引人。
（轉強悍的科普互動書《四維空間》正在限免中）
以上。·
關於四位空間我想過很久。我得出的結論是，人實際上可以感受四位空間。
只不過我們需要藉助特殊的工具。
（以下內容不保證正確，畢竟我不是物理專業，錯誤在所難免）
首先，人眼是看不到四維的。這個都知道。實際上，人眼連3維都看不到，只能看2維平面。
然後在你腦里把2維圖片合成，給你3維的感覺。
但是，不靠眼睛的話，我們是可以感受3維的。比如你閉眼，三規管會告訴你你在朝3維空間中哪個方向運動。或者你拿個方塊，用手摸，你就可以同時感受它的所有面。而這是眼睛做不到的。
藉助特殊的方法，我們也可以想像4維空間。
我們看到很多圖上，都是類似這樣的。
或者像上面這樣，是個動態圖。
（地址
http://3.im.guokr.com/ck3EJ2w9RJn24Kij88ocaGcGyqo7SkGHu9ta1fPvSFYAAQAAAAEAAEdJ.gif）
可以看出，這樣的圖非常難以想像。
那麼，我們來換一種方面去想像。
我們使用遊戲來想像，會變得更直觀。
首先是，吃豆人。
玩過的朋友都懂，上面，有兩條通道。
如果我們的主角，從左邊的缺口進去，它會從右邊的缺口出現。
現在假設我們是主角，如果讓我們親身去走一圈，會有什麼效果呢？
感覺就是，明明我在一直走直線，走著走著就回到了原地。
這說明什麼呢？
說明這個2維的遊戲空間，在3維上不是平直的。
如果用一個圖形來比喻的話，可能類似於莫比烏斯環。
好，現在我們換一個遊戲，鬼泣4。
在鬼泣4里，其中的某一關，森林裡有個十字路口。
很簡單的結構。有4個路口。如果你走錯了路口，又會重複回到這個場景。
同樣的關卡在鬼泣3也有。（鬼武者2裡面森林迷路那段也是一樣的，老卡真特么偷懶）
現在你想像一下，
有一個方形的房間。
房間四面都有門，往上有梯子，往下有地窖門。
類似這樣的。
現在想像，當你走進左邊的門，發現卻從這個房間右面的門出來了。
如果下地窖，跳下去卻發現自己是從天花板的梯子里下來的。
那麼現在這個房間，它就是一個類似四維的空間。（不嚴謹的類比）
不僅如此，還可以更怪異。
比如，
打開左邊的門，探頭出去。發現你自己的腦袋從右邊的門裡伸了出來。
左右實際上是同一扇門。
只不過空間被扭曲，左右在更高維度上接起來了。
就像這樣。（注意門把手是對稱的）
但是，因為我們是3維生物，無法感知到4維的扭曲，只能看到3維扭曲。
而4維扭曲的時候3維可能還是不變的。
類似地，2維空間的生物生活在一個面上，你在3維里把面捲起來，他們也是無法察覺的。
他們只能感受到，類似於吃豆人裡面的情況，
明明左右的路，是朝完全不同的方向，但卻可以連通。他們也會覺得很神奇。
上面這個也類似克萊因瓶。
如果想像一下，我們在克萊因瓶的4維空間內行走，是什麼感覺？
不嚴謹的比喻，可能並沒有什麼特殊的感覺。
就是一個狹長的通道，我們一直走啊走啊，走一會發現又回到了原地。
（也可能走到頭，到了之前的天花板、地面、牆壁。看你怎麼扭曲了。回到原地的應該是一個環形。）
當然，這個通道和你圍著地球走一圈是不一樣的。
在地球上，的確，地面的曲率很低。我們也會以為在走直線。然後繞了一圈回到了原地。
但是，如果用光呢？
光沿直線傳播。如果不考慮空氣透明度之類的問題。在一個很長的彎曲的普通3維洞穴里，我們用望遠鏡朝前看，因為洞穴是彎的，我們早晚會發現看到了牆壁。這樣我們就知道它只是個彎曲的3維洞穴而已。
但是如果在4維的克萊因瓶內呢？我們不妨把通道縮短，比如，只有20米長。
這樣用肉眼就能看到。
那麼我們會看到的內容就是
比如你站著不動，朝前看，會看到20米外站著一個人，背對著你，是的，這就是你自己的後背。
然後40米外站著另一個你。60米，80米……有無窮多個你自己。（就像上圖裡，把裡面人物正面朝鏡子的所有像給PS掉，就是這個效果了。）
如果通道距離更短，比如半米，你甚至可以朝前伸手拍拍背後的灰塵呢。
（理論上，你可以看到自己的後背，這些房間都是同一個空間）
心慌方2-hpyercube
電影裡面有很多鏡頭，很有趣，感興趣的人可以看看。
所以從感官上來說，如果現在所在的空間變成了4維莫比烏斯環，估計你的腦子會瘋掉…………
因為一個普通的三維空間，以你無法觀察到的方式 打了個結，頭尾相連了。而這是只有在更高維度 扭曲空間本身 才能做到的事情。
那麼蟲洞是什麼感覺呢？
我們拿世界地圖來說明。
假如把地球展開來看，是這樣一個地圖。
如果你朝左邊走，最終會從右邊出現。
是不是覺得很似曾相識？
沒錯，你和吃豆人是一樣的！
也就是說，世界地圖看似是2維的，實際上它是3維的，當然現實里它也是3維的。
它是個3維球。
假如你是個2維人，現在你能夠進行3維旅行了，會是什麼樣？
假如你要從A去B地。可能你要跑1000公里。
但是宏觀上看，地是球形的。你跑的1000公里是表面上的路徑。是曲線。
如果直接從A挖洞，把地球挖穿，然後去B地，路線就是直線了，也許500公里就搞定。
換成4維空間也是一樣。
現在人類無法探知4維空間，假設我們的宇宙內4維空間也有類似3維的『大形狀』，比如銀河系的空間是一個球形（只是打個比方）。
普通的平直空間，就像沿著直線行進一樣。最高速度只能是光速。
可能從太陽系去另一個星球，有一萬光年。
而利用空間的幾何形狀，就像在地球上『挖洞』那樣，直接到達，也許只需要1光年而已。
穿越蟲洞的時候，應該也不會像電影里演的那麼酷炫。估計就是朝著某個方向飛啊飛啊，一直飛，然後就到了……
（應該不會像很多科幻畫裡面畫的那樣酷炫）
哦，說起來，如果是在莫比烏斯環一樣的立方體內部，可能看到的
大概會是這種感覺。
上下左右各個方向全都連通。你可以朝任何方向看到你自己。
如果你動一動，各個方向都是同步動的。（真進去了應該會感覺很恐怖，那種無限的感覺，會有一種自己很渺小的可怕）
圖真的很難找，大概類似這個效果。
但是，實際上更可怕。因為沒有牆壁、門和柱子，假如它是有重力的，你會一直往下掉。而且它也沒有這麼規整的邊界，可能是球形的，你看到的自己會是扭曲的像。
哦對了，實際上克萊因瓶和魔比斯環 應該是等價的。只是維度不同。
我上面說的並不嚴謹，只是從感受角度去想像。實際不一定對。
空間內一個正方形，應該是圍住一片區域，讓裡面的東西在這個維度上無法跑出來才能算（也就是隔斷了內外）。
在1維空間，它應該是2個點。這樣2點中的東西兩頭被堵，就出不來了。
2維空間，是個正方形。然後正方形內部就堵死了。
如果在3維空間看上面的2維正方形，它就不存在什麼內外的區別。也關不住裡面的東西。所以三維空間里是6個平面，堵住每個角度。
如果是4維呢？
8個立方體，才能堵住每一個位置。這也就是4維立方體的展開。
或者這樣的。
如果實在想不通，可以下載一個遊戲，
portal或portal2，也叫《傳送門》。相當經典的遊戲。
圖很形象，左邊的光圈 扭曲了空間，通過高維，和右邊的光圈相連。
如果你朝洞口看，因為空間已經連起來了，所以你就能看到自己了。
何止看到，你給自己來一槍，就可以把自己打死了。
如果並排造兩個門，站過去，理論上你可以同時從兩個不同的角度觀察自己。
或者像圖上這樣把地面和牆壁連接，丟到牆裡的東西會從地上出來。
其實我有個想法。
如果把portal這種遊戲方式，結合到VR之中，
估計我們人類就可以體驗真正的4維空間了。
希望VR時代能早點到來。·
其實人類什麼都想像不出來，
有個人生活在一個沒顏色的房子里永遠不出來，她懂所有關於顏色的物理性質，光譜學，所有所有對於光的知識。
但是她沒見過顏色，她根本想像不出來顏色的絢麗。
對於四維，我覺得也是這個道理。
推薦題主去看看三體中的相關內容！
或者B站上的《我的三體》
簡單來說就像嚴格意義上的二維世界，假設二維平面上有生命存在，他們的世界沒有高度，任何形狀在他們看來都是點或者長短不一的線。假設他們有的「人」長得圓，有的「人」長得方，有的「人」長的五角星。在我們三維世界看來，他們長這樣：
但是在它們自己看來是這樣
它們並不能看到對方的形狀（或許它們自己知道）
它們的智慧可能會意識到高度這個維度的存在，但是無論如何它們看不到。
類比三維世界，我們意識到了時間這個維度的存在，但是我們無法看到，我們可以對時間進行各種猜測想像，但是我們看不到。
比如在電影《星際穿越》中，男主掉入了黑洞意外的進入了四維空間，在那個空間中，時間就像書本一樣可以被觸摸，可以看到過去到現在任一時間的情形。
《三體》中的描述是高維空間中的人看三維空間的人就是一堆幾何剖面的堆疊，包括內臟，所有都一覽無餘。大概就像我們看二維平面的圓吧。
我們可以猜測，但可能永遠無法真正看到。
至於你說的方程，題主你學過高數嗎？聽說過安利...不...行列式嗎，行列式的本質就是向量。http://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70730210
二階行列式由兩個二維向量組成，在坐標繫上代表這倆向量組成平行四邊形的面積。三階行列式由三個三維行列式組成，同理表示體積。n階行列式由N個n維向量組成，但是無法想像在三維空間中是什麼形態…或者題主試著研究下四維坐標系？說不定就得諾獎！
行列式是用來研究矩陣的，而矩陣就是你所說的解n階方程的手段。
如果題主真的對維度感興趣的話推薦AppStore里的一個應用：四維空間，不過也只到四維了。
2.28
好吧 綜上評論那個應用是戰五渣…
立體直角坐標系可以表示三維空間，xyz軸，如果要加入第四維的軸，往哪裡加？如何同時與xyz軸垂直？你能想像出來的加入的位置都可以用三維坐標系來表示。
無法想像，只能通過「對二維的感知」來類比「四維空間對三維空間的感知」。二維空間內一切細節對三維都是開放的，無所遁形，人類看到的像，都是平面，之所以有立體感，是雙眼得到的的不同的像經大腦處理後的結果。二維內看二維，只能看到點和線。
同理，四維內看三維，可以看到三維空間的任何細節。就像三體中，在四維空間內直接干預三維從內部摧毀水滴。
也許有四維物體跟我們的三維空間有過交差，我們也感知不到，靶子不會明白子彈的三維形狀。
請觀看美國動畫電影《二維世界》。
人類所定義的一維世界是點，二維世界是面，而三維是體。至於四維，多數人認為第四維度是時間，但是具體如何通過我們所在的世界觀描繪出第四維度，人類暫時還沒有這個概念，只能通過想像，而這種想像是沒有畫面感的，連抽象都談不上，我們只能通過文字把這個「想像」表達出來。
回到電影，以二維世界的面為主線視角展開敘述。具體情節就不透露了，但是有個非常有趣的點可以供大家腦洞小開一下：
一維之點，若繞第三某點為中心旋轉一周，即可成面，一維通過旋轉可得二維。
二維之面，若按某點旋轉一周即可為體，二維通過旋轉可得三維。
而三維之體，若通過某種旋轉，是否能形成四維世界呢？
以上若成立，那豈不是說四維亦可推出五維，空間維度數原來是無限的？
說到「旋轉」，到底如何實現呢？我們以三維世界看二維世界，此旋轉中心點是在此平面之外的，（雖然說圍繞平面內的某點旋轉依然可得一個體），但是旋轉這個動作本身已經跳出了二維世界的理解範圍了。
換句話說，我們站在更高維度，也具有更高維度的智慧，我們定義這個動作為「旋轉」，這在三維世界裡只是一個基本動作。而在二維世界中，此動作可以顛覆二維世界的價值觀，正如麥哲倫在500年前繞地球航行發現地球是球體時一樣，得出的結論足以顛覆原世界的知識體系和生命價值觀。
所以，當我們找到這個「旋轉」時，也許就能進入更高維的空間了。慢著，當我們發現四維世界後，必定會找另一個「旋轉」進入更高維度，我不禁小心翼翼地問自己：維度的上限是多少層呢？我們生命的意義在於永無止境地探索和發現更高的維度嗎？
腦洞至此，我打了個寒磣，是時候結束了。
推薦看數學紀錄片 Dimensions 維度：數學漫步
以下兩集都是講四維空間的，省時間的話可以看這兩集，有時間還是希望從頭看起 ^_^
維度：數學漫步視頻
實名反對所有沒有指出以下事實的回答：
人是可以想像四維空間的！並且是直觀的想像而不是僅僅數學上想像。
這位答主推薦的app很不錯，推薦給大家，18塊買不了吃虧：為什麼人類想像不出四維的空間？ - 知乎
文章分以下幾個部分，讀者可以按圖索驥：一，廢話。二，我們為什麼能想像四維空間（我們想像四維的基礎）。三，簡介：什麼是維度。四，四維空間想像入門。
一，廢話
非常之主張需要非常之證據。大家都天經地義的覺得無法想像，我當然得講點廢話免得被當成民科啦。本文並非如同電荷不存在一般瞎扯，經過訓練確實能對四維空間具有直覺想像，我曾經很迷戀這種想像，也獲得了一定的想像四維的能力。
先問是不是再問為什麼是我乎的優良傳統。固然即使是想像最簡單的四維歐幾里得空間也是十分不容易，但我們依然可以做到。當然了這得經過訓練，但做什麼不需要經過訓練呢。我們只擁有平面的視網膜，卻能理解三維的世界，這並非自然而然的事情，剛出身的嬰兒並不能分辨距離遠近，而一個先天失明後來恢復了視力的人甚至會嘗試從四樓窗戶直接爬下去到花園裡玩耍，因為他還沒能懂得從看到的圖像中分辨距離。隨後有心理學家和人類學家分別對不同年齡的嬰兒以及一個終身視野的狹窄的叢林部落做了調查，結果是嬰兒需要到一定年齡才能懂得，而叢林部落的人甚至不知道近大遠小。
二，我們為什麼能想像四維空間
一些答案也講了，我們視網膜是二維的，眼睛只能看到二維的世界，但我們能想像和理解三維物體。通過觀察不同的角度和截面，以及利用物體相對於雙眼視角的不同粗略的判斷遠近，再加上生活經驗和反覆的嘗試，比如下樓梯就是一個驗證和熟悉三維的過程，我們每個人都能很好的想像三維。並且我們人類還掌握了投影的黑科技，可以畫出一幅栩栩如生的透視圖來，我們也常常在屏幕上體驗影片中的三維場景。
往深了說，瞎子能理解和想像三維嗎？瞎子能知道一個物體有長寬高嗎？答案是肯定的。對維度的認識甚至不依賴於視覺。儘管視覺是我們認識空間和維度的最重要的方式。對維度的想像和認識實際依賴於一系列的經驗和體驗，以及大腦自然而然的推理整合。既然我們懂得整合自己視網膜上的二維畫面得到三維的觀感，那整合一下我們已經獲得的三維觀感從而想像四維也是自然而然(誤)的事情了。
這裡我們再度借用投影的黑科技，把四維圖形投影到三維，大家就能面對（應該是體對）三維屏幕而流連忘返於四維空間啦。什麼，您說您沒有直接讀取三維圖像的眼睛？沒關係，我們再投影一次，這樣就只有二維了，空間感知並不決定於視覺，就讓我們面對屏幕上四維物體的三維投影的二維投影來暢遊四維空間吧。
讀完本文，您也能在紙上畫出一些基本的四維圖形來。
三，簡介：什麼是維度
維度有其嚴格的數學定義，有很多種表現方式和理解方式，其它回答裡面講得很好很詳細，這裡給出一些比較直觀的東西。
零維：一個點，沒有大小和方向，生活在其中的生物（零維生活個屁！）
一維：一條線，線上線段具有長度，線上只有一個坐標（可正可負），可以用一個實數描述線上任意一個位置（數軸），一維的線可以由零維的點移動產生，各位寫字就是這個道理，中學教科書曰：點動成線。生活在其上的生物，只能向「左」，或向「右」運動，碰到別的東西就無法穿過了，如果有視覺，只能看到「左」「右」兩邊各一個點，亮度顏色可以不同。將一維截一下得到一個交點。一維物體的邊界是點（即線段端點）。
二維：一個面，兩個坐標，由兩個實數描述（比如平面直角坐標系），面可以由線划動產生，中學教科書：線動成面。生活其中的螞蟻可以在平面上移動，看到的世界由線條組成，各種長度色彩亮暗不一的線條。把平面截一下得到一條交線。二維圖形邊界是線（三角形三邊）。
三維：也就是大家生活的空間，三個坐標三個實數描述，「面動成體」，看到的世界由面組成，RAmen(霧)。截一下得到截面。三維物體邊界是面（地球表面）。
四維：四坐標四實數描述，體動成四維體，看到的世界由體構成。四維物體截面為三維圖形，邊界也是三維。
其實眼睛看到的是物體的邊界。
四，四維空間想像入門
首先我們考慮一下二維生物怎樣試著理解三維世界。對於生活在二維的生物，日常看見的世界是一些長短形狀透明度各不相同的線，畫冊上的蜥蜴無法躍出紙面，世界就只剩線條。通過對一個正方形各邊的仔細打量和撫摸，這些蜥蜴也能得到「正方形」這樣的整體概念，並且發展自己的平面幾何，甚至推向高維。那麼這些蜥蜴怎樣觀看三維圖形呢？
一個很自然的想法就是觀看截面，例如一個穿過二維世界的四面體：
注意他們「看到」三角形的方式是通過觀看各邊然後得到整體的感覺。二維朋友們反覆觀看，想必能很好的想像出三維物體的。二維朋友：我有一句...不知當講不當講。
其次，他們可以通過投影的方式來理解，想必各位一年級的時候都學過怎樣在紙上畫一個正方體，我就不放圖了。透視原理也好，斜二測繪法也好，投影出來正方體的各面是疊在一起的，對於沒有經驗的二維朋友來講，會難以理清面和面的空間方位關係。用專業的術語來講，透視投影使得圖形的拓撲性質難以識別。一種更好的方法是球極投影：
球極投影指通過北極點和三維物體表面上的點作一條直線，和投影平面相交，然後把該點投影到平面的對應點上，如下圖：
這是地球的球極投影，我們還可以轉動地球改變北極點的位置來旋轉整個投影：
球極投影雖然略微損失了一些關於準確形狀的性質，但能夠很方便的顯示出物體的拓撲特徵，各個點線面體的連接特性得到很好的保留，轉動起來也很有「立體」感。好了現在我們可以給二維友人放四面體的球極投影了：
四面體：
正方體：
八面體：
二十面體：
當然了二維朋友們看不見三維物體的，他們看起來是這樣的：
OK，拜訪完了二維的客人並且教會了他們想像三維圖形之後，輪到我們觀看四維圖形了。記住你的屏幕是二維的，你將看到的是一些三維圖形，並藉以想像四維。
首先是單形，最簡單的四維多面體，是三角形(線段之外取一點，然後連接之)，四面體(三角形之外取一點，連接之)的推廣，具有5個頂點，10條棱(每2個頂點之間有一條棱，就像三角形四面體一樣)，10個面(每3個頂點一個面)，然後每4個頂點之間加入一個四面體的三維面，一個最簡單的四維圖形就製作成功啦！然後我們遵循和二維朋友一樣的方法來認識它。
透視投影：
穿過我們世界時的截面：
然後是球極投影：
超立方體：正方形正方體的推廣：
當然了，四維空間存在其獨特的物體，沒有三維類似物，比如這個：
當然了還是影片的動圖更直觀詳細，大家去看片子吧：Dimensions3-四維空間（上） 有了一集聰明的各位應該能找到全系列了。
201X年，高三的我百無聊賴之中發現了這麼一個東西，驚為天人，並且痴迷於想像四維物體。這個過程很困難很少提腦袋，孜孜不倦一年多之後，也算獲得了不錯的直覺想像。其中也經歷了一些靈性頓開的頓悟時刻。尤記得一個逃課的清晨，我在河邊散步，那天陽光晴朗，空氣清新，晨風涼爽，整個世界空靈得彷彿一顆水晶，我一如既往的思考著四維的事情。忽然間似乎看穿了三維世界，彷彿紙面上的蜥蜴看穿了紙面，看到了外面廣闊無數倍的世界。整個天空，整個三維，對外變得透明起來。我們知道，一本紙張極薄的書可以有無數頁，一個四維空間也會包含無數個三維世界，當時我仰頭望著廣闊的天空，卻看見了無數個這樣廣闊的三維的天空，宛若神明也難以描述這樣的體驗。《三體》裡面，劉慈欣有對四維觀感的描述，基本是正確的，並且描述得很好。但這樣的體驗豈是言語所能描寫！當然了我們沒有一顆四維了眼睛，沒有一個三維的視網膜，像三體一樣進入四維空間，也沒法看見全貌，僅僅能看見其中一個截面。但好在邏輯和理性在不同維度是通用的，我們可以依靠自己的大腦生成一個三維視網膜去看見四維空間。但好在邏輯和理性在不同維度是通用的，我們可以用自己的大腦去虛擬出三維的視網膜來看見四維空間。
對於怎樣去想像四維，首先在道理上數學描或者說推理上弄清楚四維是什麼肯定是必要的，然後上面的各種方法，透視，球極投影，截面圖都是極其有用和寶貴的，畢竟我們三維生物認識四維的途徑並不多，不能輕易捨棄任何一種。然後截面圖是一種現實中可以具備的東西，當你撐開雨傘的時候，雨傘的骨架就好似一個四維物體正在穿過我們的世界。
又是一個無聊的日子，我了解到三維世界有一條求均勻平面物體質心的巴普斯定理：平面物體移動划過的體積=質心經過的路程*面積。作為一個有四維視角的蜥蜴我自然得推廣推廣：將一個三維半球繞四維中和它垂直的軸旋轉一圈得到一個四維超球，超球的四維體積=半球三維體積*質心運動距離，稍加計算便可得到半球質心位置。當然了計算四維超球的四維體積和「表體積「也是一件很有意思的事情。
時光荏苒歲月如刀，沉迷數學的我早已喪失了很多的空間想像能力，看個地圖都需要把手機轉一轉不然思考左右會有障礙，早已不是當初那個立體幾何三視圖什麼的不假思索就能想像的我了。對於四維的想像能力也是一息尚存氣若遊絲。放幾張當年畫過的四維物體的三維投影的平面投影圖作為結束吧，各位跨出三維的見習蜥蜴們可以認認都是些什麼圖形：
我傾向於認為三維空間的生物是無法想像出四維空間的。
在這裡，四維中的另一個維就是像xyz軸一樣的空間上的長度，不是指運動軌跡，數學變數，或者時間。
假設存在一個二維生物，他可以在平面的xy軸上任意移動。你倆的關係不錯，於是你試圖和他解釋三維空間。你在二維的紙上畫了一個立體幾何課上畫過的立方體，試圖和他解釋z軸的存在。結果是什麼？
他根本無法理解你畫出的這個立方體。在你腦子裡看來理所當然的立方體，根本無法在他的腦子裡呈現出來。他無法通過三維空間在二維的投影而理解什麼是三維空間。
當然如果你想繼續跟他交流，你可以交給他一些物理學或者數學的知識，立體幾何，或者弦論，流形什麼的。於是，這個二位空間的生物知道了宇宙是多維的，他甚至記住你畫出的立方體上哪條邊代表z軸，做一些立體幾何數學題。但在他腦子裡，還是無法想像真實的三維空間是什麼樣的。
所以我想，就算你知道到四維空間的存在，但你依舊無法正確的在腦子裡呈現它。
關於四維空間，我們可以簡單的猜想一下。二維平面是三維空間的切片，那三維空間也很可能是四維空間的切面。把很多三維空間在另一個維度上堆疊在一起就是四維空間了。我認為人類是可以在一定尺度上觀測到高維的，前面的答案有提到如果第四維是時間，那麼第五維就應該是可能性，而我們人類可以在一個比較短的時間尺度內看到不同的可能性，例如你在穿越馬路的時候一輛失控的大貨車以15米每秒的速度朝你撞過來，離你的距離不過是十幾米遠，這時你可以清晰地預知，大概一秒鐘之後你將被拍成肉泥，如果你反應敏捷的話，你會迅速的跑開，這時你離開了原來的時間線，進入了一條新的時間線，其實這應該屬於一個高維度的活動。也就是說你能夠在一個較短的時間尺度內看到不同的可能性所帶來的後果，並選擇一個對你最有利的結果，實際上你已經是一個五維生物了，只不過第五維被限制在一個較小的範圍內，或者說第四維並不是嚴格的一條線，而是稍稍有點寬度的一條線。
這裡假定高維都是時間維，而不是空間維。
誰說人類想像不出四維空間了！？
早在1827年，莫比烏斯就認識到三維物體可以通過四維旋轉得到他的鏡像；1853年施萊夫利發現了多個在四維空間的多胞形。研究高維數學的人少，但不是沒有，人家天天都在搗鼓這些問題，為啥覺得他們都想像不出來？
最前端的數學，是能超越普通人的認知幾百年的。
可能因為高維數學太冷門了，很少有人專門去研究四維空間，也沒有人能去時空高度扭曲的地方體驗一下再把想法說給我們聽。所以很少有人去專門研究。但並不是沒有這樣的人。
沒法想像是因為大部分人試圖在三維空間中想像四維空間，這是不可能的。
你只能聽懂四維空間在三維空間的類比，或者看懂四維在三維的投影。這也是大多數人給你的解答。
想像四維空間首先要找出第四維的方向，否則想多久都沒有用。
然而第四維空間的方向又在第四維空間中，就這樣進入循環。
要走出這個循環，需要在腦中拓展出一個新的坐標軸，不同於我們的三維空間，這跟坐標軸穿過我們的三維空間，而且與我們的空間只有一個交點。
想像四維空間需要兩個階段
第一階段：在三維空間中想像四維切片，平行投影，球形投影。
第二階段：根據理解在腦海中構建第四維
本文不談第一階段，你可以在樓上樓下的答主們的回答，或者知乎關於四維空間話題的精華里看到很好的描述，完成你的第一階段。他們的答案對於理解四維空間很有幫助。關於這方面的資料很多，也是大多數人給你的解答，但這並不說它們不重要，相反很重要，你需要透徹理解他們想表達的對四維空間的理解後，才能更好看懂我所寫的內容。注意他們給出的平行投影雖在二維屏幕，但是你要把他放在三維空間想像。
你既然能在一個二維屏幕上面感受到三維空間，那麼要想像四維空間，你要做的是想像無限個屏幕重疊。
第1步： 代數上理解超立方體。
假設立方體邊長為1，則立方體z=0處的方程為
0&
0&
0&
當你覺得
0&
這個膜的意思指無厚度，而不是指三維空間里的一個平面切片。三維空間是四維空間的一個切片。一個三維物體只有長寬高，不管你在四維空間中如何擺放，總有一個方向，它是沒有厚度的。
如果你把眼前的屏幕想像成一個三維膜（實際上是二維膜，所以需要靠你想像），那麼
以下兩種方法可以幫助你想像w軸，但前提是你想像力必須大到可以同時在腦中印象大量的立方體。如果要想像四維空間，必須同時印象大量的三維空間；就好像你想像三維空間的時候，你腦中印象大量的二維空間。
- 想像你有透明的200張紙，每張紙厚度是0.01，如果在每張紙上面畫每張紙代表不同的w值，從-1，-0.99，-0.98一直到1為止，按w對應的值畫出200個立方體在這些紙上。這時便在一本三維書上畫出了一個超立方體。
- 四維空間很難想像，但是我們已經生活在了一個四維時空，我們想像三維空間+一維時間是沒有問題的。我們也可以先把時間當成w方向處理。把每個三維圖像在w軸方向發生的變化從腦中過一遍。然後再把時間當成x方向處理，想像圖像在x軸的變化，描繪出每個yzw三維膜內的圖像。熟練之後請你把所有時間發生的200個三維圖像同時在腦中印象，你就能體會到四個互垂直的方向。
觀察下圖
x, y, z軸在這個屏幕裡面，而且三條坐標軸兩兩垂直。
這個想像在我們的世界裡是反常識的，但是在四維空間里是正常現象。請你努力想像，努力把這個屏幕想像成一個沒有厚度三維空間。
為什麼說三維空間沒有厚度？因為在四維空間中，任何三維物體沒有在第四維方向上的長度。
第3步：新的方向
這個方向不同於你認識的任何方向。將你的手指垂直立在屏幕上，此時努力想像你的手指垂直於這個屏幕。垂直於屏幕里的三根坐標軸。現在覺得你x軸是否為第四維的方向？如果不是，說明你還沒有把屏幕想像成一個沒有厚度的三維空間，請回到第二步繼續。
進入下一階段
如果你成功完成了第二階段，那麼恭喜你打開了新的世界，這個世界比三維世界大無限倍，因為四維空間包含無限個三維空間。
如果有時間，在第三階段開始之前，把知乎關掉，請自由思考，讓自己在這個新的世界裡暢想。這個新的世界無比的廣袤，你可以想像關於那裡的一切，你可自由在這個空間中創造物體，也可把我們一件三維物體放到三維，但是你會發現這東西不好用，需要四維結構上的改造。這是一件極其自由，快樂和神奇的體驗。一萬個人有一萬種想法。
如果你是化學家，你可以想像在四維空間的分子結構應該如何組成；
如果你是語言學家，你可以設計更為精簡的立體的文字；
如果你是藍翔畢業，可以設計一個在四維空間中的使用的挖掘機，你很可能是第一個！然後被世人尊稱：四維挖掘機之父；
而答主對幾何略有拙見，所以想出來了下面這些。
人類如何感受到四維空間？ - 視限的回答
或者你對四維幾何感興趣，也可以來看；來看之前，記得自己稍微思考下哦。
回答「人類怎樣才能想像四維空間？」這個問題也許讓人更容易理解為什麼我們現在無法想像四維乃至高維空間。
那麼很顯然，第一步我們必須回答「人類是怎樣想像三維空間的？」這個問題。
首先，並不是因為我們可以看到物體的長寬高我們就判斷這是三維的。平面寫實繪畫就是一個利用二維作畫來模擬三維視覺效果的例子，我們在畫里同樣看到了長寬高，但是我們很容易判斷這不是真正的三維。有過 3D 體驗的朋友知道，要真正模擬三維視覺效果，必須是兩隻眼睛看到稍稍錯位的畫面，這種錯位來自於看三維物體時兩隻眼睛處於稍稍不同的角度；所以真的要在平面上實現這個效果，就要靠偏振鏡片之類的器材使得雙眼捕捉到不同的影像。數學上來講，單隻眼睛的視網膜成像只獲得二維的信息（視網膜是二維的），因此它看到的一個點只能在三維空間中確定一條線，而不能判斷這個點在直線的什麼位置，通俗說就是判斷不了遠近。通過兩隻眼睛確定的兩條直線，交於一點就能使我們判斷遠近了。
如果我們獲得來自四維空間的光信息，那麼二維視網膜上的一個點只能確定一個平面，即我們無法判斷我們看到的一個點在這個平面內的什麼位置，這就不單是不能判斷遠近了。兩隻眼睛呢個？得到兩個平面，它們交於一條線，還是不能確定這個點的位置。只有我們引入第三隻眼，才能確定第三個平面，三個平面交於一點，從而確定這個點的位置。所以，想要獲得四維空間的空間感，我們需要第三隻眼。或者我們可以考慮每隻眼擁有一個三維的視網膜，這樣每隻眼都能確定一條直線，兩隻眼就可以確定一個點的位置了。因為眼睛的數量或者性質發生了變化，腦也必須做相應的調整，用新的演算法處理更多的信息，正如 3D 效果比較耗顯卡一樣，要處理四維空間信息對腦的圖像辨識和處理能力也有更高的要求。
所以，像《三體》里描述的進入四維空間的人類，是否真的可以培養那種空間感是存疑的，至於「空間異常空曠」之類的感覺也僅僅是作者毫無根據的猜想，更可能的是人類在四維空間中靜態視覺不會有明顯的變化，而動態視覺則會非常詭異，很難判斷物體之間的關係，僅此而已。
@Again 同學提的問題很好。是的某種程度上動態視覺可以彌補單眼無法定位的問題，所以眼睛的數量在考慮動態視覺的時候並不重要。重要的是什麼呢，是我們在「轉動腦袋」的時候能不能做「四維轉動」。
最容易想到的就是戴上一種特製眼鏡，當轉動頭部的時候電腦向眼鏡輸入經過計算的光學信號。這種方法實現三維空間是很簡單的，只要在電腦里創造場景，在感應到頭部的位置和轉向後輸入相應的投影景象就行。但是要實現四維空間，僅僅轉動頭部就不夠了，就像一個二維小人僅僅在紙面中轉動是無法獲得第三維信息的。我們應該添加一個自由度，用手或者身體別的什麼部位控制，結合頭部轉動，模擬四維的轉動。習慣之後，就能形成四維的空間感了。
夏蟲不可語於冰， 井蛙不可語于海。
2016_2_29修改
之前答的時候人少，所以狂妄的說沒有看到好的答案。
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不僅是想像不了四維空間，實際上三維生物只能看到二維，二維生物只能看到一維。
我們看到的世界都是一個三維物體二維的面，我們無法看到真正的三維。
題主你想想是不是。
不信的話你不用想像四維空間，真正的想像一下三維空間的彎曲。
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強行從哲學角度看呢，就是你的認識都是存在原型的，現實中沒有四維原型甚至三維原型，所以你想像不出來。最多拿什麼橡皮膜之類的類比三維空間的彎曲，比如這樣
所以說呢，你們人類蟲子還是要多學習。不要想著四維五維搞個大新聞！
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