方的車輪，與它相配的路應該是條什麼曲線，才能保證軸在一個水平面上運動？

11-28

Read this！
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1630/

我同學給的答案:找一塊大橡皮泥,一個方形車輪,用外力控制輪軸在一個平面,讓輪子在橡皮泥上走一圈就知道了...

找個圓形，內接個正方形，把正方形扣掉，剩下的地方拉平鋪在路上即可。
2012.11.16半夜改答案。。。
以下是我的一些想法，由於本人數學極差，某門數學曾經連掛三年，所以有問題還煩請各位大牛指正。

先從圓形入手，之所以圓形的輪子穩定，因為圓心到邊緣距離處處相等（這句是廢話）。

我們可以假設地面是水平的，為了讓正方形的輪子能滾動起來，那麼在地面上鋪上一層墊子。這種東西一面是平的，正好放在地面上，另外一面是曲面，它可以在輪子滾動時保證輪軸到輪子和輪子與墊子的接觸點到垂直方向地面的距離之和為固定值。

這樣輪子在上面滾起來就能保證軸處於水平位置。

然後接下來就是想想這曲面是什麼樣子了。

然後就是數學了。。

假設輪子的外接圓半徑為1，那麼畫出來大概是這樣的：
（手頭沒有合適的工具，這是用SketchUp畫的，湊合看吧）

其中O為原點，咱們先只考慮邊AC的情況，由於對稱，別的邊得到的結果是一樣的。

對於任意直線ON，表示當輪子旋轉到OM垂直地面的時候，需要下面的墊子接觸點高度為MN才能保證穩定。

使用極坐標，設角NOD=x，則OM長度為

需要用到正弦定理

則MN長度為

畫出來形狀大概是：

By Wolframalpha

這是本人的想法。不過有一些問題。如果需要滾動的話需要四條這樣的曲線接在一起，那麼兩端曲線連接點處的左右切線夾角可能根本不足90度，也就是說滾不起來。

數學不好傷不起，這點東西算了半天。如有問題請各位指出，謝謝。

理想狀態才可行，否則必然顛簸！顛簸的原因就是實際上那個車軸無法始終保持與道路中心線正交！
試想：平時騎自行車（兩輪的），由於重心不穩，必然會不斷地左右扭動車把以保持平衡，對吧？當你扭動車把使得輪軸的軸線方向與前進方向不是正交時，方形車輪在懸鏈線形的路面上碾過的路徑將變長，這樣方形的直角點就不會剛好抵達路面溝槽最低點，繼續滾動的結果就是方形車輪的下一個邊的某處與下一波懸鏈線弧形上的某個點直接接觸，感覺上就是車子重重地砸在路面上。
即便是像圖中的三輪車也無法避免扭動車把。會騎三輪的同學你們懂的。（話說這年頭的大學生們誰還可能有騎三輪的經歷呢？）而且，三個車輪造成的顛簸比兩個車輪必然更厲害。
而且，這樣的路面怎麼轉彎呢？誰能保證車輪軸線與道路中心線始終保持正交呢？