如何證明∑sin(kx)在[0，π]有界？

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如何證明∑sin(kx)在[0，π]有界？

謝 @王希邀，這個不是很簡單的么……

$sum_{k=1}^nsin kx$ 是有求和公式的……
一個比較容易想到的方法是利用 $sin kx=frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}$ ，然後等比數列求和公式求出來，然後再把復指數的帶掉
另外一個是用積化和差。假定 $sinfrac{x}{2} e 0$ （等於0的話隨便討論一下就好了），這樣的話
$sum_{k=1}^nsin kx=frac{sum_{k=1}^n sin (x/2) sin kx}{sin (x/2)}$
而利用積化和差， $sin kxsinfrac x 2=frac 1 2Big(cos(frac{2k-1}{2}x)-cos(frac{2k+1}{2}x)Big)$
這樣相鄰項就可以消掉了

$sum{sin kx}$ 在[0， $pi$ ]上一致有界應該是錯誤的

若此和在【0， $pi$ 】關於x一致有界，
由狄利克雷判別法，由於1/n關於x一致收斂到0，
可得 $sum{frac{sin kx}{n}}$ 在【0, $pi$ 】一致收斂，
但易證明 $sum{frac{sin kx}{n}}$ 在【0, $pi$ 】非一致收斂（0附近）
故假設不成立