非常神奇的數學結論有哪些？

11-28

謝謝大家的熱情回答！

Monsky定理：正方形不能被分割成奇數個等面積的三角形

這個是比較新的結果了，看起來像是一個初等的小問題，證明過程卻格外的精彩

第一次見到這個結論是高二，第一反應是這tm也能證
看完證明已經說不出話來了

這裡的v就是p進賦值（p＝2）

思路大概是對於坐標為(x,y)的點，比較v(x),v(y),v(1)的值，對該點進行染色，稱三點頂點不同色的三角形為彩虹三角形
其次證明彩虹三角形的面積不為1/n（n為奇數）
最後通過組合方法證明必然存在彩虹三角形

說句題外話，去年北大夏令營面試就用這個定理裝了一逼。
田老師說舉一個你覺得最精彩的定理例子，我說Monsky定理。
田老師說你讀了那麼多書，這時候怎麼就想到一個初等的定理。

但是要現在我說一個最震撼的證明，恐怕還是Monsky定理。

這裡直接拿出p-adic數的確有點匪夷所思，原作者的思路大概是要尋找一個滿足他所需要利用性質的賦值，恰巧p進賦值是滿足的。
更自然一點的敘述是去證明符合所需性質的賦值是存在的，原書中也給出了說明。

相比於真真假假的「 $pi$ 包含所有的數字序列」，「zeta函數包含所有的全純函數」是被嚴格證明的：

考慮條帶 $1/2 < mbox{Re } s < 1$ 。在這條帶上取一個圓盤，且圓盤不與條帶邊緣相切，對於圓盤上沒有零點的全純函數 $f$ ，那麼總可以上下平移這個圓盤，使得zeta函數在這個圓盤上的取值和 $f$ 充分地接近。

參考：Zeta function universality

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如果兩個獨立隨機變數的和服從正態分布，那麼兩個變數也都服從正態分布

Cram??r"s theorem

2016年6月11日更新
之前幾天不在學校，沒辦法回復各位數學迷~今天剛剛回來就馬上畫圖更新了
哈哈，我先來解釋一下，本人是河南考生，並不是評論中說的江蘇大神→_→術業有專攻，看到樓主提問，就回答了一下，希望還沒畢業的高中學生，能有所收穫，不在這道題上浪費太多時間。評論區有的人說會扣步驟分，那是因為是你沒有把必要的內容交代清楚，方法不存在扣分點，而且本方法在選擇填空最有奇效。。
接下來上圖解釋我之前的內容：

上圖是我當時發現的規律，但凡做過一定量的解析幾何題的同學都能看明白它的便捷性，然後對其延伸至圓錐曲線

（→_→多年不畫橢圓了，實屬無奈，自己PS畫了一個，其中兩條紅線是平行的）
有人會問：當A點的橫縱坐標超過a、b了就不存在垂線和圓錐曲線了，就沒有P點了。
答：這樣是為了讓沒接觸過極點極線的同學容易理解，A點和直線MN互為極點極線，在有意義的範圍內，是它的幾何意義。

對於其他的圓錐曲線也是如此。
我是從特殊推導至普通，類比得到計算方式
下面直接上定義：

前人研究的很透徹了，高中的同學再遇到圓錐曲線線外一點引切線的時候，不妨試試上圖的計算方式，熟練使用後確為一神技啊~
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我來答一個，高二的時候一次數學競賽的時候，有一道解析幾何的大題，做的時候由於理解錯了題意，卻突然發現一個規律:過拋物線外一點A做拋物線的兩條切線，切點為M、N，在拋物線上取橫坐標和A相同的點B，發現B點切線的斜率等於MN的斜率。。。。。。
卧槽，當時考試也不管了，拿起稿紙多次運算，成立。再算，還成立。。我開始向圓延伸，發現也是成立的，然後把所有的圓錐曲線都算了好幾遍！竟然發現，全部成立！！！那時候一下子陷入無法自拔，查了好多資料，都沒找到關於這種方法的介紹。。。。
後來再繼續算，假設A點在圓錐曲線上，把A的坐標帶入解析式會怎樣，，竟然發現一化簡就是A點切線方程。。
。。。。。。。。。。。。
那時候天真的我，還以為自己發現了什麼不得了的事情，借了同桌哥哥的高等數學翻了好多遍也沒有找到這個定理。。。於是一本正經的把這個「定理」整整齊齊地寫在筆記本的最後一頁⊙▽⊙
。。。。。。
後來幾乎秒殺解析幾何所有選擇題填空題和大題。。
看著別人還在準備代入聯立方程的時候，我已經秒殺了。。→_←終於。現在大二的我，知道了原來是極點極線。

你知道一維的線段，二維的形狀，三維的立體，你也許能想像四維五維空間的樣子，你能想像1.5維圖形或者1.7維圖形么？

我曾經聽過一個同學說他研究的是分數維圖形，後來也一知半解地看了一下，給大家做個簡單的科普：

這個圖形可能很多人見過，學名叫「謝賓斯基三角形」，是分形幾何學裡面的一個入門例子。

這個圖形是把正三角形分成大小相等的4塊，然後挖去中間1塊。
再把剩下3塊重複上述操作……不斷重複。

如果無限細分下去，這個圖形的面積趨向於0（每切割一次，面積為原來的3/4）。這個圖形被稱為2維圖形已經十分勉強，但顯然又不是一個1維圖形。那這個圖是幾維的呢？

我們來找一下維度與圖形大小的關係。

一維的線段：當這條線段朝所有方向延伸2倍之後，其大小是原來線段的2倍。也就是說，由2條原來的線段，可以拼成一條2倍的線段。

二維的圖形（以方形為例）：當這個方形朝所有方向延伸2倍之後，其大小是原來方形的4倍。由4個原來的方形，可以拼成一個大的方形。

三維的圖形（以立方體為例）：當這個立方體朝所有方向延伸2倍之後，其大小是原來立方體的8倍。由8個原來的立方體，可以拼成一個大的立方體。

找到規律了沒？

n維的圖形，延伸2倍之後，其大小是原來圖形2的n次方倍。

我們再回到這個圖……當這個圖無限分割下去的時候，我們會發現一個令人驚訝的事實：

一個大圖是由3個小圖構成的，也就是說，這個圖延伸2倍的時候，大小變成了原來的3倍。

所以我們認為，這個無限分割之後的謝賓斯基三角形，其維度是ln3/ln2，大概是1.58

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再舉個例子：

下圖的科克曲線，現在能算出是幾維的嗎？

謝邀。說起神奇的結論，不能不提統計學家 Wald 大神的一個經典案例，大家也許聽說過，但感覺這樣的經典還是聽一次爽一次

I. 讓更多的戰鬥機活著回來

第二次世界大戰打到中後期，盟軍的優勢開始逐漸確立，但是德國和日本防空系統還有空戰經驗也在不斷升級，而極其倚重空軍力量的美國發現他們在歐洲和太平洋地區投放的戰鬥機在越來越頻繁地被擊落，而且飛機損失比例的飆升也讓飛行員執行任務的時候壓力山大。。。

飛行員1：腫么辦呢？

空軍專家：給飛機增加防護裝甲吧！

飛行員2：可是裝甲一多，重量上去了，載彈量就得減少呀？？！！

空軍專家：那就選出一兩個最容易被打到的地方加！

飛行員3：怎麼選呢？

空軍專家：咱們有大！數！據！

於是，美國空軍就把所有受傷飛機上的彈孔畫了一個分布圖（在當時那是絕對的大數據啊），而彈孔分布最密集的部位自然也是目標最明顯的地方（比如機翼啦，機身啦什麼的）。於是，這些地方也就順理成章地成為了空軍添加裝甲的首選部位。。。

幸好還有個明白人。

Abraham Wald，就是「Wald 統計量」的那個大名鼎鼎的 Wald，不騙你。

Wald 說，恰恰和你們的建議相反，裝甲應該加在彈孔分布最稀疏的地方。你問為啥？

「因為被打中這些地方的戰鬥機，都沒能回來。」

這樣一個經典的例子，其實告訴我們很多道理：如果我們只關注數據所展現出的表面信息（彈孔分布很大程度上標誌著飛機目標最明顯的部位）而忘記這個分析所要支持的決策（最終的目的是找到最薄弱的地方而不是最容易受到攻擊的地方），那麼數據量再大的分析其實也價值不大，而如果忽視數據自帶的深層信息（比如由於徹底沒有包含被擊落飛機數據而造成自我選擇性偏差），再複雜的分析也不過就是
garbage-in-garbage-out 的垃圾交換機。

於是想到了另一個例子：

II. 流行病爆發時的陽性檢測結果
O！M！G！

假如有一場致死率極高的流行病開始爆發，人群的感染比例高達10萬分之一（當年的非典也到不了這麼高的感染率），同時你接受了一個準確率高達95%的病毒檢測，得到了一個陽性結果，請問劇情到此是不是已經基本宣判你可以去領盒飯了呢？

其實不然。

用一個不是最精確但是很簡單的方法來說明一下，以你為中心湊齊 10萬人，這裡面應該只有一個人是真正的感染者。但是對這 10萬人都用一遍這個準確率高達95%（所以不準確率也高達5%）的檢測，那麼同時會有大約 5000 人得到陽性結果，所以恭喜你，你依然只有大約 0.0002 (萬分之二)的感染可能，雖然這個感染率已經比最初的 10萬分之一提高了 20 倍。

如果你懂得貝葉斯公式，那麼這個精確的概率應該是 0.0001896 (萬分之1.896)。究其原因，很多人會被那 95% 的高精確率嚇死，但實際上，我們需要的，並不是這個條件概率：

0.95 ＝在你真的已經感染的前提下，檢測告訴你陽性的概率

0.0001896 ＝在檢測告訴你陽性的前提下，你真的已經感染的概率

別被忽悠了，盒飯不是那麼容易領的。:-)

III. 最後，附送一個假設檢驗的 joke:

結論：螃蟹的聽覺器官長在蟹腿上

原因：

－對照組：沖著未作處理的螃蟹大吼，螃蟹迅速走開

－實驗組：切除同一隻螃蟹的所有蟹腿，沖其大吼，螃蟹一動不動。。。

各位元宵節快樂！

概率統計中，利用貝葉斯公式設計敏感性問題調查。比如想知道大學生中看黃片的比例，你直接問一個人你看沒看過黃片，被問人第一反應肯定是你有病吧，然後你說是在做調查研究，被問人即使想配合大部分人也不好意思回答是，這樣調查出的結果毫無準確可言。但敏感性問題調查方法可以既保護隱私又可以得到真實結果，用的原理也很簡單，當時看到的時候覺得太巧妙了，方法很驚艷。
有同學問具體怎麼回事，由於爪機就懶一下貼個鏈接，有興趣可以看看，原理就是利用全概率公式：http://wapwenku.baidu.com/view/060013350b4c2e3f57276326.html?ssid=8fd1d2f8b0cbc8fec8fc5c61from=1014414euid=0pu=usm@0,sz@1320_1003,ta@iphone_2_4.4_1_10.9bd_page_type=1baiduid=3A423147C731B3AC504047916BCB56F5tj=wenku_2_0_10_title#2

謝邀。

下面要說的一個「現象」，展現起來非常淺顯，連小學生都能看懂，卻讓人感到匪夷所思。

我們來看兩組數：

A：1，5，10，18，23，27；
B：2，3，13，15，25，26。

這兩組數有什麼關係呢？

它們滿足一個「神奇」的性質：這兩組數的和相等。
即： $1+5+10+18+23+27=84=2+3+13+15+25+26$

看到這裡，你也許會不屑一顧：這有什麼稀奇，這樣的數組要多少有多少！

真的是這樣嗎？那我們做一個小小的變化：算算各自數組的平方和。
然後你可能發現了： $1^{2}+5^{2}+10^{2}+18^{2}+23^{2}+27^{2}=1708=2^{2}+3^{2}+13^{2}+15^{2}+25^{2}+26^{2}$
這兩組數的平方和也相等！

這個時候，有些人可能有點小驚訝，但也有人會很淡定：畢竟每組6個數呢，找兩組和及平方和都相等的應該並不是什麼難事啊。

但是事情並沒有結束，我們算算它們各自的立方和：
$1^{3}+5^{3}+10^{3}+18^{3}+23^{3}+27^{3}=46324=2^{3}+3^{3}+13^{3}+15^{3}+25^{3}+26^{3}$

這就讓人有點意外了，不過，這並不是終點，請看：
$1^{4}+5^{4}+10^{4}+18^{4}+23^{4}+27^{4}=916885=2^{4}+3^{4}+13^{4}+15^{4}+25^{4}+26^{4}$

請再看：
$1^{5}+5^{5}+10^{5}+18^{5}+23^{5}+27^{5}=22777944=2^{5}+3^{5}+13^{5}+15^{5}+25^{5}+26^{5}$

神奇吧？難道有什麼玄機嗎？

並沒有，如果我們繼續下去：
$1^{6}+5^{6}+10^{6}+18^{6}+23^{6}+27^{6}=570484228$
$2^{6}+3^{6}+13^{6}+15^{6}+25^{6}+26^{6}=569274628$
六次方和就不一樣了。

這兩組數看上去真是匪夷所思，奇妙之極。那麼，它們究竟是怎麼來的呢？

原來，這些數字源於前蘇聯數學家 Gelfond 發現的恆等式：
$a^{n}+(a+b+4c)^{n}+(a+2b+c)^{n}+(a+4b+9c)^{n}+(a+5b+6c)^{n}+(a+6b+10c)^{n}$ $=(a+b)^{n}+(a+c)^{n}+(a+2b+6c)^{n}+(a+4b+4c)^{n}+(a+5b+10c)^{n}+(a+6b+9c)^{n}$
其中 n = 1，2，3，4，5

上面的例子，只是 a = 1，b = 1，c = 2 的情形而已。如果改變 a，b，c 的值，我們就可以得到其它滿足要求的數組了。

我們原以為這樣的數組是「鳳毛麟角」，不可多得的，現在看來，它們真的是「要多少有多少」的！

這類問題，在數學上叫做「k 次乘方冪的等和問題」，或者「等冪和問題」。這個問題在表述上極為簡潔，但是深究起來卻有很多門道。比如，如果限定數組的個數（如每組 6 個數），我們能構造出多大的 n 次冪等式？這個 n 是不是有上界？這依然是未解之謎。

不過……

我們知道，上文中 Gelfond 的構造的恆等式是「神來之筆」，要構造這樣的等式，對普通人來說顯然太難了。但是，如果我們放寬條件（比如：不對每個數組中數的個數作嚴格限制），那麼，對普通人來說，這也是一件並不困難的事情哦！

怎麼做呢？請移步我的專欄文章：如何將一群人分成兩組，使各自的總體實力「旗鼓相當」？- 看！你身邊有一隻數學，這裡不僅展現如何構造「等冪和」，更是挖掘了這個問題背後有趣的應用場景。

（復係數）對稱函數環

對稱群 $S_n$ 的復表示環

一般線性群 $GL_n$ 的多項式表示環

$Gr(n,k)$ 的上同調環

它們居然是同構的！

Quora上看到一個，印度數學家拉馬努金的神奇數字矩陣：

這個樣子

矩陣每一橫排的數字之和等於139

每一豎列的數字之和也等於139

對角線之和也是139

四個頂角數字之和：139，有點意思了？

再挑顏色相同的數字，和還是139

當然這樣也可以

這樣也行

隨你怎麼搭配

都可以

好了，拉馬努金的生日是1887年12月22日，也就是22.12.1887，就是矩陣的第一排

神奇哈？

「選擇公理」這玩意兒看似是ZFC公理系統里最平凡也最符合直覺的一條（說白了就是給你一堆【有限或無限多】非空的集合，你總能做到「從每個集合里拎出一個元素作代表」這件事）。然而相對於其他幾條公理，它所生產的奇葩要多得多，也詭異得多！(這反過來說明：不要迷信直觀，你就承認了吧——其實你並不知道你看到的是不是奇葩！)

最驚世駭俗(或者邪惡些講——「臭名昭著」)的一條是以下的：

分球悖論(準確的名稱應該是「巴拿赫—塔斯基定理」)：

把一個 $n$ 維實心球分成幾塊兒（對於三維，五塊兒足矣）然後重新組裝，就可以造出兩個和原球等大的三維實心球來。

起先這結論的稱呼是「悖論」，可見數學家對此的態度明顯是——「選擇公理你TM還敢不敢再扯淡些……」；但後來發現，與「理髮師悖論」這種經典的悖論(直接導致體系內互相打臉)不同，這結論在承認選擇公理的前提下，證明的邏輯毫無問題(僅僅是極度的反直觀，但數學對此的態度么…呵呵你懂得，就跟寬容那些調皮搗蛋卻不失真誠可愛的孩子差不多，其實覺得特有面兒，寵得不行)，所以明顯是一條定理！

但我從中受到的教育是：「不扯淡」這事兒本身最為可疑，往往是看問題不深刻的徵兆！

附通俗講解的視頻鏈接（鳴謝 @權霜問）：【中字】分球怪論The Banach

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再更一個相對古典但神（qi）奇（pa）度有過之而無不及的：

黎曼重排定理（Riemann Rearrangement Theorem）：實數項的條件（非絕對）收斂級數經重新排列可以收斂至任！意！值！（甚至發散都可以）。

眾所周知，在我們的日常經驗里，有限項的求和是確定的，也就是不受重排的任何影響（加法的交換律和結合律保證了和的唯一性，嚴格的證明並不簡單，可見我另一答案的附錄：為什麼四則運算規定 × / 的優先順序比 + - 高？ - 張樂陶的回答），這保證了「級數（求和）」這個說法在數學上是有定義的。
而所謂「無限級數」顯然就是一個無限的求和。然而，正是「無限」這個東西再次給我們開了腦洞。這條定理明白地告訴我們——要認真對待無限級數（求和），這個東西明顯比有限求和狂野得多，甚至把「求和」這麼基礎性的定義徹底顛覆掉也是輕而易舉的事情。

理解了這個定理，你才能明白為什麼對於無限級數我們需要「絕對收斂」這個條件——只有絕對收斂 的級數才不怕黎曼翻雲覆雨的重排！

回顧歷史就會發現：自從兩千多年前芝諾提出四個悖論，放出「無限」這個魔鬼以來，到了兩千年後牛頓/萊布尼茲他們這一代才開始剛正面，然後又過兩百年到柯西/魏爾斯特拉斯這一代才好不容易才搞出「收斂」的嚴格定義，完整解決了第二次數學危機（這個可以看作是人類征服「無限」的第一次成功經驗），但分分鐘又被「無限」花式教做人了——小樣兒，換件馬甲我保你不認識我！

有道是「有限靠歸納，無限靠腦洞」。面對「無限」，我們還是大開腦洞，小心腦補吧……

本廢物最近剛好在讀Donaldson的diagonalizability定理，讀了一陣子還是覺得很神奇，趁著吃飯空檔來刷一下?

敘述：一個緊緻、可定向、單連通且有definite的intersection form的四維光滑流形，則他的intersectional form可以被對角化。

應用：Freedman的工作告訴我們任何一個unimodular form都是某個四維拓撲流形的intersection form，而有許多positive definite的unimodular form沒辦法對角化（eg. E_8)，因此我們得到了許多沒辦法賦予微分結構的拓撲流形。

比較讓我覺得神奇的是這個學過代數拓撲就能看懂的敘述，證明這個敘述卻需要去研究在四維流形上陳類=-1自對偶聯絡（物理術語是k=1的瞬子，即楊-密爾斯方程在四維中的某類解）的模空間的結構，透過一些我還沒完全搞清楚的方法研究這些模空間的奇點的一些性質便證明這個看起來是個拓撲的敘述。

橢圓曲線的模性可以推出費馬大定理。

黎曼猜想等價於素數分布的精確形式

謝邀。

有兩個式子我認為還挺神奇的。
$sqrt[3]{cosfrac{2pi}{7}}+sqrt[3]{cosfrac{4pi}{7}}+sqrt[3]{cosfrac{6pi}{7}}=sqrt[3]{frac{5-3sqrt[3]{7}}{2}}$
$sqrt[3]{cosfrac{2pi}{9}}+sqrt[3]{cosfrac{4pi}{9}}+sqrt[3]{cosfrac{8pi}{9}}=sqrt[3]{frac{3sqrt[3]{9}}{2}-3}$

這兩個式子原始出處是 Equations and Inequalities: Elementary Problems and Theorems in Algebra and Number Theory by Ji?í Herman, Radan Ku?era and Jaromír ?imsa, Translated in English by Karl Dilcher

我是在Ch 2.10, Mathematics by experiment: Plausible reasoning in the 21st century. by Jonathan M Borwein and David H Bailey看到的，想看更多神奇的式子可以看看這本實驗數學。

抄段第一個式子的證明如下：
考慮方程 $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$ ，如果令 $varepsilon=cosfrac{2pi}{7}+isinfrac{2pi}{7}$ 表示7次單位根，那麼它的解集合是 $mathcal{X}={varepsilon,varepsilon^2,varepsilon^3,varepsilon^4,varepsilon^5,varepsilon^6}$ 。

原方程兩邊同除以 $x^3$ ，可得 $x^3+x^2+x+1+x^{-1}+x^{-2}+x^{-3}=0$ ，我們現在做代換 $y=f(x)=x+x^{-1}$ ，那麼
$x^3+x^2+x+1+x^{-1}+x^{-2}+x^{-3}\ =y^3-3y+y^2-2+y+1\ =y^3+y^2-2y-1\ =0$
而它的解為 $f(mathcal{X})={2cosfrac{2pi}{7},2cosfrac{4pi}{7},2cosfrac{6pi}{7}}$ 。

我們現在要對方程 $y^3-ay^2+by-c=0$ (其解為 ${y_1,y_2.y_3}$ )構造一個新的方程 $z^3-Az^2+Bz-C=0$ ，使得後一個方程的解是 ${sqrt[3]{y_1},sqrt[3]{y_2},sqrt[3]{y_3}}$ 。由根和係數的關係，我們有
$y_1+y_2+y_3=a\ y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1=b\ y_1y_2y_3=c\ sqrt[3]{y_1}+sqrt[3]{y_2}+sqrt[3]{y_3}=A\ sqrt[3]{y_1y_2}+sqrt[3]{y_2y_3}+sqrt[3]{y_3y_1}=B\ sqrt[3]{y_1y_2y_3}=C$

代入現在的條件( $a=-1,b=-2,c=1$ )，得到 $C=1$
然後由恆等式 $(m+p+q)^3=m^3+p^3+q^3+3(m+p+q)(mp+pq+qm)-3mpq$
得到
$A^3=a+3AB-3C\ B^3=b+3BCA-3C^2$

代入條件( $a=-1,b=-2,c=1,C=1$ )得
$A^3=3AB-4\ B^3=3AB-5$

令 $w=AB$ ，那麼有 $w^3=(3w-4)(3w-5)$ ，也就是 $(w-3)^3=-7$ ，所以唯一的實數解為 $w=3-sqrt[3]{7}$ ，所以 $A^3=3w-4=5-3sqrt[3]{7}$ 並且 $B^3=3w-5=4-3sqrt[3]{7}$ 。而我們有
$A=sqrt[3]{y_1}+sqrt[3]{y_2}+sqrt[3]{y_3}$
也就是
$sqrt[3]{5-3sqrt[3]{7}}=sqrt[3]{2cosfrac{2pi}{7}}+sqrt[3]{2cosfrac{4pi}{7}}+sqrt[3]{2cosfrac{6pi}{7}}$
所以
$sqrt[3]{cosfrac{2pi}{7}}+sqrt[3]{cosfrac{4pi}{7}}+sqrt[3]{cosfrac{6pi}{7}}=sqrt[3]{frac{5-3sqrt[3]{7}}{2}}$
證畢。

是不是感覺很神奇,是不是覺得背後一定有規律?我這就來揭示背後的規律.

(＾－＾)V
不好意思,這是我湊的.壓根兒沒有這種規律.
有趣的地方在這裡,只有滿足 $[frac{1}{A} = frac{{{a_1}}}{2} + frac{{{a_2}}}{3} + frac{{{a_3}}}{5} + frac{{{a_4}}}{{17}} + .......]$
的A才能被二次根式表示,所以7以上的情況就不存在了.

--------------------------------------------------------------正經的分界線--------------------------------------------------
Well,不開玩笑了.(≧?≦)ゞ
舉這個例子只是想說明什麼叫神奇.也就是 有視覺衝擊力或者超乎常理.
術業有專攻,別的領域我就不瞎說了,我就說說分形幾何.

取一個邊長為1的正四面體...這是個三維物體.
嗯,沒錯,我想說的就是Sierpinski Pyramid.

這玩意的面積是 $sqrt{3}$ ,我沒說體積,因為它的 Hausdorff維度是2.沒有體積.
什麼??(o゜▽゜)o☆ 你跟我說一個豎著的有長寬高的東西是二維的!!
看來即使被降維打擊後還是能維持三維存在之尊嚴的.
被二向箔打中除了會變紙片人以外還能變成 篩子人.

Sierpinski Pyramid的二維形式Sierpinski Triangle可以通過如下方式生成:
畫一個二項展開三角.把所有的奇數全部圈出來,就得到了謝賓斯基三角形.
(或者叫賈憲---楊輝---帕斯卡三角,按時間標上去,有效避免署名糾紛)
上面的描述等價於擦掉 N mod 2 = 0的數,很容易想到mod其他數會怎麼樣.
我們來看看,感覺有的圖有規律,有的卻沒有.

萬能的教主Stephen Wolfram殿下證明了如下結論:當k為素數時,其Hausdorff維度為 $[Dim(H) = 1 + {log _k}frac{{k + 1}}{2}]$
二項式,素數與分形結合到了一起,相當的有趣.
另外如果寫三項式展開三稜錐的話能得到類似的結論.

有個圖形XoY平面上是科赫曲線,Z軸上是康托爾塵集,求其分形維度.

兩個分形的笛卡爾積的分形維度等於各自的分形維度之和.這個結論非常好用.
=_=:難道整數維不是這樣的嗎.(o?v?)ノ其實這個主要佐證了就算某存在的維度低於三維你作為三維生物也無法想像.並且笛卡爾積給出了這麼一種構造方法.

之前有人說過了Mandelbrot集中每個點對應一個Julia集.我補張圖.

好像沒啥好說了.我是不是偏題了....(＾?＾●)??我看看還有啥.....
禪師體里各種填充滿三維的曲線:謝賓斯基曲線,希爾伯特曲線,莫里曲線,勒貝格曲線,皮亞諾曲線.....ORZ,都是各個分支大佬的名字啊.

來幾個現實里的:
分形維最低的大陸毫無疑問是南極洲,但是分形維最低的國家不太好說.
西蘭花的分形維度比花椰菜高很多.(所以營養會高點嗎?)
人體肺部的輪廓,(我沒說肺,肺當然是三維的)可能是分形維度最高的.(很接近3,比大腦高的多)
----------------------------------大霧------紅色警報------------------------------------------
三加一猜想等價於求 $[f(z) = frac{1}{4}[2 + 7z - (2 + 5z)cos (pi z)]]$ 的無窮迭代.
(注,這個函數滿足奇數3x+1,偶數x/2)
無窮迭代的收斂點么就是分形圖中的黑色部分嘍,用Ultra Fractal渲染下.

所有的整數點都在黑色的收斂域裡面,由自相似特性就可知對於任意正整數成立了.
角谷猜想,卒~~~~ (╯﹏╰)

雖然是扯淡,但是分形確實是研究迭代的混沌與秩序的有效工具.
-----------------------------------------更新線----------------------------------------------------
無限周長有限面積貌似不是分形的特徵吧,反常積分也行啊.
比如{y=0,x=1,y=x^(-2)}圍成的區域面積是1,周長也是無窮大.
@吳俊涵分形學的技能樹是怎麼點的呢?呃,我也不是很清楚.因為有非常多的路子能導出分形.
推薦Geometric Measure Theory,比較"正統".從IFS開始學也不錯,這個起點低.另外還有混沌到分形這條路,不推薦用這個學.

快情人節了更新下. $[ ho = 1 - cos heta ]$
這是傳說中笛卡爾公主的表白神器:心臟線.(霧)
說屁股的面壁去.(??????) ?

Mandelbrot集中也有,而且因為自相似性質有無窮個.

(注:藝術上M集指整張圖,數學上M集一般說的是黑色部分,特殊情況特指邊界,極少指外界)
對於M集我們幾乎是一無所知,那幾個大圓都是連在心臟線上的,但是不是心臟線只能連接圓形?
不得而知,連M集的面積是多少也不知,維基說邊界分維是2,但我沒看到證明...心臟線其實是二次外擺線,一次外擺線那就是圓了.那還有三次外擺線(腎形線)啥的.
正好三次外擺線對應三次M集:N次外擺線對應N次M集合

二次M集中只有圓能連心臟線的話,那三次M集中所有連著藍線的都只能是心臟線?
分形圖中很多東西只能說是這樣而說不出為什麼是這樣.越研究越感到神奇.
分形是一門新學科,有太多神奇之處等著去解密.

講一個不動點定理吧。設 $f$ 是圓盤 $S$ 上的一個連續函數，並且把 $S$ 映入自身，那麼肯定存在一個點 $x$ 使得 $f(x)=x$ 。
怎麼理解這個結果呢，你喝過茶吧，你想像手裡有一杯茶，然後你用勺子去攪，肯定有一個地方是不動的，沒錯就是那個漩渦。這個看似簡單的日常現象最後轉化成上述的定理，這個定理就是Brouwer不動點定理。
你會說這個東西有什麼用呢？它可以證明代數基本定理。它的無限維推廣可以用在解偏微分方程解的存在性上。

謝謝 @Camelot邀請。

五點共圓問題。
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實際上，國家領導人發現、證明數學定理是有很多的。
例如拿破崙定理，看名就知道是拿破崙一世發現的。

拿破崙定理（法語：Napoléon Bonaparte）由拿破崙發現：「以三角形各邊為邊分別向外側作等邊三角形，則他們的中心構成一個等邊三角形。」該等邊三角形稱為拿破崙三角形。如果向內（原三角形不為等邊三角形）作三角形，結論同樣成立。

來源是度娘，hosts又不好使了。
再例如勾股定理，美國第20任總統加菲爾德給出一個證法
總統證法_百度百科
我就直接貼一個鏈接就好。
雖然就是把古代證法切下來四分之一但是也是新的證法
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五點共圓問題，就是樣一個很美的定理。

在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圓順次相交的交點分別是K、O、N、M、L。
求證：K、O、N、M、L五點共圓。

應該說，這個定理和密克定理是有很深的聯繫的。
證法在我的另一個答案里，請問如何證明五點共圓問題呢？ - 四點共圓的回答
具體就是證明任意「四點共圓」，就能證明「五點共圓」了。

破兩百贊了..那就再更新一下＝_=

-------------------------------------------------------------------------------更新------------------------------------------------------------------------------------------------------既然說到黑洞數。。那麼再說一個水仙花數的黑洞。
數字黑洞153。
任意找一個3的倍數的自然數，將這個數的每一位上的數字立方以後再求和，得到新數以後重複以上運算，最後都能得到一個固定的數153。。。
比如12...
1^3+2^3=9
9^3=729
7^3+2^3+9^3=1080
1^3+8^3=513
5^3+1^3+3^3=153.
往下就是153的循環...-_-

證明起來雖然原理不難但是比較繁瑣-_-表示並沒有學過數論只能用淺顯的語言描述了
三位數每一位數字的立方和必定是9的倍數(用立方和公式)，如果在較小的數字範圍內可以推導得出，那麼在較大的數字經過有限次操作之後可以將結果確定在較小的數字範圍內，這樣經過有限次計算可以得到最終結果-_-得到153後再運算則是無休無止的反覆。
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補充一個...黑洞數（￣▽￣）／
任何一個數字不全相同的三位數，把各數位上數字從大到小排列，再從小到大排列，大數減掉小數，如此7步以內必出現黑洞數495。 (O_O)
是不是很神奇？
例如123
321-123＝198
981-189＝792
972-279＝693
963-369＝594
954-459＝495
如此循環..(??? )
三位數是495，四位數是6174
這個問題也叫做「Kaprekar問題」，由印度數學家Kaprekar在1949年提出（這個數學家看上去好有聊 (O_O) ）
貼上個分析過程

以上（￣▽￣）／

p是不等於23的素數，則
可以找到整數a，b，c使得
abc-1，a+b+c，ab+bc+ca+1都是p的倍數
當且僅當
$prod_{i=1}^{infty} (1-x^i)(1-x^{23i})$ 展開後x的p-1次方前面的係數是2

並且這樣的素數佔全體素數的1/6

如圖，在光滑水平面上，有一個球A向牆運動，速度垂直於牆面，A和牆之間的連線上停著另一個小球B。假設球與球，球與牆之間的碰撞均為完全彈性的。這個圖畫的並不好，兩個球大小完全一致可以看成質點。

當兩個球質量相等時，A碰上B，A停下來B繼續運動，B碰到牆再返回碰A。球與球、球與牆之間一共發生了3次碰撞。
如果球A的質量大於B，那麼A碰完B之後還會繼續向牆運動，總共的碰撞次數可能會大於3。實際上：
當A的質量是B的10000倍時，共碰撞314次。
當A的質量是B的1000000倍時，共碰撞3141次。
當A的質量是B的1億倍時，共碰撞31415次。
隨著A和B質量之比的增大，總共的碰撞次數會和圓周率 π 的數值有關。
神奇吧～源自知乎上的一個問題，侵刪。

網上看到的段子
若一個Pizza的半徑為z，高為a，則這個pizza的體積為pizza。