如何計算可觀測宇宙的大小？

11-28

希望看到具體的計算過程，謝謝了～

最喜歡直接粗暴的上公式了，不想看那麼多後面的文字的記住這兩個公式就好：

$t=int_{0}^{1 } frac{da}{aH(a)}=frac{1}{H_{0}} int_{0}^{infty } frac{dz}{(1+z)sqrt{Omega_r(1+z)^4+Omega_m(1+z)^3+Omega_k(1+z)^2+Omega_{Lambda}} }simeq 13.8Gyear$ $r=c int_{0}^{1} frac{da}{a^2H(a)}=frac{c}{H_{0}} int_{0}^{infty } frac{dz}{sqrt{Omega_r(1+z)^4+Omega_m(1+z)^3+Omega_k(1+z)^2+Omega_{Lambda}} }simeq 46.5G Light year$

上式中，a為尺度因子（宇宙不同時刻大小和現在的大小比值），z為紅移， $H_{0}$ 為哈勃常數， $Omega_r,Omega_{m},Omega_{k},Omega_{Lambda }$ 為輻射，物質，曲率，宇宙常數佔總體能量的百分比，這裡 $Omega_r$ 輻射組分太小，具體計算是經常忽略掉，其實 $Omega_k$

目前也認為接近於0,。

可觀測宇宙，字面上來說，就是我們能夠看到的宇宙。可觀測宇宙的半徑，對今天來說，就是一束引力波從宇宙誕生之初跑到今天，剛好被我們接收到走過的距離，這個半徑隨時間會變化。（之前用光子從宇宙誕生之初跑到今天的距離，白神提出cmb之前的屏蔽問題。所以這裡用引力波更合適）
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誤解澄清：

對於可觀測宇宙的大小，直覺上，最簡單的想法是：既然宇宙中物體的速度最快為光速，而宇宙的年齡為138億年，那麼可觀測宇宙，甚至整個宇宙的大小不就是138億光年嗎？這是個常見的錯誤。

首先光速最快有條件的，那就是在狹義相對論下，對局域參考系的局域速度有限制，換句話說就是說，你相對於你周圍的物體速度不能快於光速。但是，如果是全空間的話，空間膨脹會使得物體之間有個額外的速度增量，這是時空的固有屬性，和相對論無關。可觀測宇宙邊緣的星系，其目前很可能以超光速遠離我們，但是，他們不在我們的周圍，所以不違反相對論。同樣，科學家相信，宇宙在剛誕生的時候有過暴漲過程，空間可以在極短時間（不超過 $10^{-32}$ 秒）內從一個原子膨脹到一個星系的規模。所以空間自身的膨脹和光速沒關係。

其次，認為可觀測宇宙大小就等於光速乘以時間，是一種把宇宙當做靜止的宇宙的觀點，而宇宙是隨時隨地膨脹的！光子在傳播過程中，它的局域速度始終是光速。如果光子在早些時候經過一個星繫到達另一個星系，花費時間是t，那麼這個距離是ct(c是光速），之後由於宇宙整體膨脹，兩個星系遠離到了2ct的距離。對光子經過這段總路徑，是ct還是2ct呢？當然是2ct！因而，光子經過的路程的每一段距離，都是隨著宇宙膨脹變化的，所以用經典的速度*時間的公式，得到的一定是錯誤的結果。必須考慮宇宙膨脹才能計算。

相對論認為物質之間的相互作用不能超過光速，所以可觀測宇宙之外的宇宙和我們不會有任何物質和信息的聯繫。換句話說，可觀測宇宙也許只是真實宇宙的一小部分，但卻是和我們所能探測的宇宙的極限。宇宙學原理認為宇宙中任何一個點也該有一個以自己為中心的球形可觀測宇宙，而且大小一樣，地球並不是整個宇宙的中心，也不支持唯心論的觀點。

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尺度因子 $a(t)$ ：

我們知道，宇宙是膨脹的，那麼宇宙在各個時間的大小顯然一直在變。由於宇宙膨脹被認為是均勻膨脹（非勻速），所以所有的星系都伴隨膨脹而相互遠離（除了靠的比較近的星系）。因而，這對我們計算非常不利！

有必要建立一個框架來描述這種運動，我們引入尺度因子，尺度因子定義為宇宙不同時刻的大小相對今天大小的比值,隨宇宙大小變化而變化。今天的尺度因子 $a(t_{0})=1$ , 尺度因子和紅移之間的關係為 $a=frac{1}{1+z}$

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哈勃定律： $v=H_{0}cdot D$

D是宇宙固有距離，也就是通常意義上的真實物理距離。 $H_{0}$ 為哈勃常數。哈勃定律表明，今天在紅移0時刻，宇宙中星系互相遠離的速度，和固有距離與哈勃常數有關。

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共動距離和固有距離:

固有距離就是通常意義上的距離，但是這個距離是隨時間變化的！

有了尺度因子之後，我們能不能建立一個新坐標系，使得所有的星系相對位置固定呢？因此，我們引入了共動坐標系，定義共動坐標系不是一成不變的，而是隨宇宙膨脹一起變化。這個坐標系下的星系距離是相對不變的，也就是共動距離x。

既然共動距離下星系距離是定值，那麼這個值設成多少合適呢？當然是以今天的固有距離標定最為方便。因此，我們強制規定。

在今天， $x=D_{0}$ ,也就是說，共動距離和今天的固有距離相等，星系過去的固有距離一定小於共動距離，未來的固有距離一定大於共動距離。

很明顯，我們可得到了共動距離和固有距離的關係： $D=xcdot a(t)$

這樣，星系在不同時刻的固有距離，取決於尺度因子的大小

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基本方程：

宇宙的年齡和可觀測宇宙大小是我們根據現代宇宙學推測出的。而現代宇宙學的核心方程起源於廣義相對論的場方程

$G_{mu u}=frac{8pi G}{c^4}T_{mu u}$

(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%88%B1%E5%9B%A0%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%9C%BA%E6%96%B9%E7%A8%8B)。
場方程在目前被認為是刻畫四維時空的基本方程，然而找它的解是非常困難的。好在我們通過觀測，大體上認同我們的宇宙遵循宇宙學原理：（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%97%E9%87%8C%E5%BE%B7%E6%9B%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B）
宇宙大體均勻（3億光年以上尺度）和各項同性（從各個方向觀察宇宙不同地區的星係數密度和分布，大體相同）。

這樣，四維時空遵循特定的幾何形式，又被成為羅伯遜-沃爾克度規（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E5%AD%B8%E5%8E%9F%E7%90%86）

$ds_{2}=a^{2}(t)(frac{dr^{2}}{1-kr^{2}}+r^{2}d heta^{2}+r^{2}sin^{2} heta phi ^{2})-c^{2}dt^{2}$

根據羅伯遜-沃爾克度規，可以把場方程簡化為弗里德曼方程：（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%97%E9%87%8C%E5%BE%B7%E6%9B%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B），這個方程是現代宇宙學動力學演化的基本方程：

H為哈勃參數，是一個隨時間變化的量，在紅移0(後面的下標0 都代表紅移0)，也就是今天為哈勃常數 $H_{0}$ ，a是尺度因子（很多地方又叫R），da/dt是尺度因子變化率，G是萬有引力常數， $ho$ 是宇宙平均密度，c是光速，k是宇宙曲率， $Lambda$ 是宇宙學常數。

弗里德曼方程的根本性在於，它建立了一個框架，在這個框架裡面，時間和尺度因子的關係，被建立起來了。只需要知道哈勃參數隨時間的變化，就可以知道宇宙如何演化！

（如果詳細討論這些方程如何推導，那麼幾本書也寫不完的。（有興趣的可以參見：廣義相對論_弗里德曼方程的推導）所以這裡只想簡單的利用一些既定的物理框架來推導這兩個物理量。我簡單的假設各位雖然不知道這個公式怎麼來的，但是會用就可以，也不影響後面的理解。）
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宇宙成分：

我們從弗里德曼方程出發，首先先考慮一個問題：我們從高中開始就學過萬有引力，大家必然想過，既然宇宙中物質彼此吸引，那麼我們宇宙為什麼不減速膨脹，反而加速膨脹呢？

因為宇宙的演化不僅僅和物質有關，還有其他的因素。現在公認的影響宇宙變化的有四種，輻射，物質，宇宙曲率和暗能量（宇宙學常數）。其中輻射在宇宙初期演化過後很快消散，宇宙曲率幾乎為0也可以不考慮。那麼如果沒有暗能量，宇宙的演化將完全取決於物質，物質之間有引力，導致宇宙的膨脹是減速的。如果宇宙密度很大，那麼萬有引力很強，宇宙很快就從膨脹開始收縮，如果宇宙密度很小，那麼萬有引力很弱，雖然有吸引作用，但是太小了以至於不能把物質拉回去，只能減速膨脹。然而，1998年超新星觀測（科學網—2011年諾貝爾物理學獎揭曉）發現宇宙在加速膨脹，這說明宇宙中存在著未知的暗能量（通常認為是宇宙常數），使得宇宙膨脹加快。因而，弗里德曼方程中，右邊各項分別代表密度（物質和輻射），曲率，暗能量的影響。

如果宇宙中，只有物質而沒有曲率和暗能量，我們根據今天的哈勃常數（哈勃參數在紅移為0的值）。可以得到一個臨界密度：

$ho_{c}=frac{3H_{0}^{2}}{8pi G}$

這樣，我們定義宇宙中各個成分佔宇宙總物質之比，分別為：

$Omega_{m,a}=frac{ ho_{m,z=0}}{ ho_{c}}a^{-3},Omega_{r,a}=frac{ ho_{r,z=0}}{ ho_{c}}a^{-4},Omega_{k,a}=frac{ ho_{k,z=0}}{ ho_{c}}a^{-2}, Omega_{Lambda,a}=frac{ ho_{Lambda,z=0}}{ ho_{c}}$

那麼

$Omega_{m,0}+Omega_{r,0}+Omega_{k,0}+Omega_{Lambda,0}=1$

標示了宇宙中今天各組分的比例。

而在過去，各個組分隨著宇宙演化不是一成不變的，物質密度與尺度因子立方成反比，輻射和尺度因子四次方成反比。曲率和尺度因子二次方成反比。只有暗能量被認為是不變的，這也是它為什麼被稱為宇宙常數。

這樣，弗里德曼方程改寫為：

$frac{H(a)^{2}}{H_{0}^{2}}=Omega_{m,0}a^{-3}+Omega_{r,0}a^{-4}+Omega_{k,0}a^{-2}+Omega_{Lambda,0}$

萬事具備，只欠計算了
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宇宙年齡計算：

如弗里德曼方程所述，哈勃參數與尺度因子有關：

我們有： $H(t)=frac{da(t)/dt}{a(t)}$

因而： $dt=dacdot frac{1}{H(t)cdot a}$ ，這個公式下面計算距離時候還會用到

因此，我們可以計算宇宙年齡：

$t_{0}=int_{0}^{t_{0}}dt=int_{0}^{a(t_{0})}dacdot frac{1}{aH}=int_{0}^{1} frac{1}{aH_0}frac{da}{sqrt{Omega_{m,0}a^{-3}+Omega_{r,0}a^{-4}+Omega_{k,0}a^{-2}+Omega_{Lambda,0}}}approx13.8Gy$

積分得出宇宙的年齡為138億年。至於為什麼要用a積分也是顯然的，宇宙的尺度因子在大爆炸時刻為0，在現在為1，積分上下限是確定的。這裡的H和宇宙各個成分相關，隨尺度因子變化。

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可觀測宇宙大小的計算：

接下來計算可觀測宇宙的大小，

我們知道，共動距離下，星系距離不會變化，所以用共動距離算光走過的路程才是正確的。所以：

$r=D_{0}=a_{0}cdot x=a_{0}int_{0}^{x}dx=int_{0}^{x}dx$

x 為共動距離
但是光的速度定義在固有坐標系下，怎麼轉換到共動坐標系？

首先，我們先計算固有坐標系下物體的運動速度：

$frac{dD}{dt}=frac{dxcdot a} {dt}+frac{xda}{dt}$

dx*a/dt 被稱為局域慣性系速度，狹義相對論指出局域慣性系下光速最快。因此， $frac{dxcdot a}{dt}leq c$

。而x*da/dt是宇宙膨脹導致的相對速度加和，是空間自身膨脹導致的，與物體本身運動無關，也和相對論無關，所以，遙遠星系之間的退行速度可以超光速。

（一般的星系運動速度在幾百千米每秒左右，相對於遠距離星系幾乎靜止，因此，局域速度可以約為０．那麼
$v=frac{dD}{dt}=frac{xda}{dt}=Dcdot frac{x}{D}frac{da}{dt}=D cdotfrac{1}{a}frac{da}{dt}=H(t)cdot D$
當設定時間為今天的時候，H(t)變為 $H_{0}$ , 我們又重新得到了哈勃定律。）

對於一束光來說，它的局域速度恆定為c，它在宇宙年齡內直線跑的距離，就是可觀測宇宙的半徑。

我們有 $frac{dxcdot a}{dt}=cRightarrow dx=frac{cdt}{a}$

帶入上述公式：

$r=a_{0}int_{0}^{x}dx= a_{0}int_{0}^{t_{0}}frac{ccdot dt}{a(t)}$

把dt換成da，

$dt=dacdot frac{1}{H(t)cdot a}$

我們有：

$r=int_{0}^{a_{0}=1}dafrac{c}{a}frac{1}{aH(a)}=int_{0}^{a_{0}=1}frac{c}{a^2H_0}frac{da}{sqrt{Omega_{m,0}a^{-3}+Omega_{r,0}a^{-4}+Omega_{k,0}a^{-2}+Omega_{Lambda,0}}}$

~465億光年

實際上由於我們在電磁波段看不到CMB之前的宇宙，因而我們能觀測到的宇宙大小要稍小一點。但是引力波不受這個限制。
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進一步，我們考慮用紅移z取代尺度因子a進行積分，因為紅移在天文學上更常用。

把弗里德曼方程改寫為和紅移相關：

$frac{H(t)^{2}}{H_{0}^{2}}=Omega_{m,0}(1+z)^{3}+Omega_{r,0}(1+z)^{4}+Omega_{k,0}(1+z)^{2}+Omega_{Lambda,0}$

這樣我們得到了哈勃參數和紅移的關係，對於宇宙中紅移為z"的天體，它離我們的距離的更為方便的計算公式為(輻射項忽略不計）：

$r=int_{a{$ $=int_{0}^{z^{$

這個公式和前面的計算公式完全等效。但是，採用這個公式的好處是：可以方便的計算不同紅移處星系離我們的共動距離，因而更為常用。
當z"取無窮大即為可觀測宇宙的半徑。z取1100為CMB光子走過的最遠距離~

（ $frac{c}{H_{0}}$ 稱為哈勃距離，當兩個物體距離為哈勃距離時，它們之間的退行速度正好為光速。這個距離是144億光年。離我們哈勃距離之外的星體，它們今天發出的光，我們永遠也不可能接收到了，當然，它們過去發出的光仍然能被我們接受，只不過越來越紅~）

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驗算：

採用Plank 2015數據( Lambda-CDM model) , $Omega_{m},Omega_{k},Omega_{Lambda }$ 的值非別為0.3089, 0.0 ,0.6911， $H_{0}$ =67.74km/(s*Mpc)，用Mathematica 計算結果:

由於不同年份給出的宇宙學參數一直有浮動，所以計算的可觀測宇宙半徑也會有少許偏差,大概在465億年左右.
通常,我們說可觀測宇宙年齡138億年左右 Age of the universe（按回歸年365.25天計算），可觀測宇宙半徑在460~470億光年左右，直徑在930億光年左右。

遠處星系紅移與和我們共動距離（光年）關係：

尺度因子與可觀測宇宙半徑（共動距離）關係，可觀測宇宙的共動距離半徑有極限，大約在630億光年左右：

宇宙年齡與可觀測宇宙半徑（共動距離）關係：

（順便討論一下宇宙的未來，如果未來暗能量就是宇宙常數，那麼宇宙會無限膨脹下去。可觀測宇宙在未來的一段時間內還會繼續擴大，但是到了共動距離大約630億光年之後，我們將無法接收到更多的其他星系的光（固有距離仍然增加）。最後，周圍的星系將會越來越遠，直到他們現在發出的光全都紅移到極大，以至於低於探測器的接收極限而將不被我們接收到。但是，目前，對於宇宙的結局仍然是開放式的，有很多可能，在此不詳細展開）
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膜拜高票回答簡直太專業了，不過如果看不懂的同學可以看看我這個簡單的科普

可觀測宇宙930億光年是算出來的，而且是直徑，我們在中心，摺合成半徑就是466億，可觀測宇宙的最邊緣如果技術允許，能看到的是137.98億年前大爆炸時的景象~

目前已觀測的最遠天體是現在距離315億光年，看到的是它133億年前(大爆炸4.8億年後)的樣子。

通過電磁波最遠能看到現在距我們457億光年遠的物質於137億年前即大爆炸後38萬年(這時光子第一次能自由傳播)發出的宇宙微波背景輻射，當時這些物質離我們只有4200萬光年，本來只要4200萬年就能到達我們所在的空間，但因為空間本身也在膨脹，一米膨脹成若干米，這些輻射在飛過來的同時其後面旅程的距離也在增加(而且受暗能量的推動在加速增加)，所以當它們到達我們這時，這個相對距離已經從4200萬光年膨脹成137億光年了(它們本身波長也從光被膨脹成微波了)，而當年發出它們的物質在發出它們後往相反方向遠去(速度甚至可以超過光速)，所以根據計算這些物質現在距離我們就是457億光年。

同理，如果技術允許，通過中微子能看到大爆炸後幾秒鐘，而通過引力波則能看到目前處於可觀測宇宙的邊緣466億光年遠的物質在大爆炸開始時發出的信息，這是理論極限與技術無關。

可觀測宇宙邊緣以外，就是那些從大爆炸開始後某個時點以光速發出了電磁波/中微子/引力波等，但已經不可能追上空間膨脹速度，以及追的上但追及時間長於其發出到現在的時間間隔(此間隔&<137.98億年)的，如果算上那些未來追的上的那麼可觀測半徑擴大到620億光年，不過如果是現在剛發出，那麼現在距離超過160億光年的在未來都不可能收到了。

而宇宙的真實大小？是無限還是有限無界？其外有沒有別的宇宙/高維宇宙/平行宇宙？。。那就不知道了，有種說法認為可觀測宇宙可能只是真實宇宙的1/10。
當然，宇宙可能大於也有可能小於可觀測宇宙，甚至可能小於已觀測宇宙，但目前很難證實或證偽，因為天體的光還可以從相反方向繞宇宙一周(在一個足夠小且膨脹夠慢的宇宙里還可若干周)發射過來，讓你誤認為是更遠的天體，但由於正向和反向發出的光所處時期不同，很難辨認。

朝聞道夕死可矣，我願意以死為代價，見識到宇宙之外的秘密，領略不論宇宙內外一切的一切誕生的奧秘，神明聽到了我的內心獨白，於是滿足了我，瞬間神明賜予我無敵金身和短暫的豐富時間（可能領略這一切需要幾個月，但實際也許只有幾天時間)。
我以超越光速萬億倍的速度往宇宙邊界移動，突然我能感覺到我的認知改變了，感覺腦子裡不由自主的誕生很多畫面，都是似曾相識的畫面，（看到了和我長的很像的人，看到了猿人猴子猩猩，原始爬行動物再往後就感覺不到畫面了，但是圓源源不斷的信息在我腦子裡不斷閃過，像是夢中女孩如此清晰）神說道「我會賜予你人類最高限度的能力、智力，你將會理解你自身DNA生物鏈在人類誕生和每個細胞萬億年來遺傳下來的所有信息，至少這樣，我們才能達成初步溝通，如果只是現在的你對我來說只是一粒沙塵除了能幻想你什麼都無法與我交流。
速度，難以言喻的速度，我不知道具體有多快，就像行駛在高速路一樣1秒能划過幾棵樹木一樣，而我是經過了幾個星系，相對論沒錯，時間流逝的很慢，慢到快靜止了，我脫離了一切的引力束縛，只是在這空間穿梭。所有的天體如一條直線般從我眼前划過，（神說：你已經和時間速度平行了，我：啥？最快的不是光速嗎，神：先有雞還是先有蛋，時間空間物質構成了你的宇宙，光不過是物質所釋放的能量，怎麼能超過組成空間本身的時間呢，呵呵）
我想到一句歌詞「我想要有一陣風，帶我領略山高海闊」，沒過多久我便來到宇宙的邊界，沒錯是邊界，這是一張連綿萬億光年長的滾滾塵埃，一張永遠也看不到邊界的塵牆，壯觀是什麼？宏偉是什麼？無法定義。此處周圍數千光年無光，是神為我照亮周圍一切，說是周圍其實不然，發光的僅僅是前方一張看似無邊無界的暗塵，因為沒有物體可以反射光線，所以往宇宙中心望去，除了零星的幾個光點，則是黑暗的深邃，寂靜的寒顫，神讓我放慢速度，說慢慢出去吧。
踏出這邊界時，我麻木了，知識？什麼是知識，認知？什麼是認知，我的所有、我們人類所有，從無機物到有機物，從有機物到生命體，我即將踏出這一切認知的範疇，到底是什麼創造了這一切？
這堵塵牆厚幽幽數光年，我什麼也看不見，光也照不穿，其中有強大的電流穿刺著我的身體，不過在神的護佑下也只是一點點溫熱感。
不久後我看見濃密的塵埃漸漸發光，也許要出來了..
我說：STOP 為我播放一首《星際穿越》見到海嘯那首插曲，要7.1聲道的謝謝。
神：。。。。等一下給你看個東西
神突然創造了一個黃色星球，我走進一看這樣的

你面子真大
後續更新給我一點時間，因為稍不注意就會變成神話小說了———————--第一次更新--—————————
本身期待這外面的世界究竟是怎樣的（是在未知文明造的空間裡面嗎；是多重宇宙無邊無際的宇宙彈珠，讓人永遠走不出的邊際絕望的世界嗎；還是四壁空無連空間都不存在的讓人幽幽寒寂的區域）
真理，慾望，望眼欲穿，讓我把這一切看清楚吧。
心緒複雜加上大腦100%的運作，我走出了走這遍塵埃。
天吶，這是什麼，為什麼看不見東西，幫我照亮可以嗎？神說沒辦法，空間和時間還沒有擴散到這裡來，啥？這就是我期待的外面的行空？空無一物（那為什麼我能存在這裡，沒有空間沒有時間，那我為什麼能夠出來）
這裡沒有物質，沒有時間，簡單的說，光在這裡照不亮任何事物，沒有任何介質，沒有任何次序，沒有引力。你可以把這裡理解成多次元空間，維度多的你無法理解，也許你認為我站在你面前實際上我們可能隔了數個宇宙年的距離（這段對話和視覺觀是靠的神力），你們物理理論、或者是神話小說完全猜不透的地方，在這可以創造無數的可能。
來吧孩子，你已經脫離了物質、時間的束縛，加以目前緯度我們可以瞬息萬里，來縮小縮小吧，讓你看的更多，我們的宇宙縮小了，天吶，旁邊那些是什麼。
平行宇宙！！
一望無際沒有鏡頭排列有序的彈珠球
過百繼續

較簡單和直觀來說，「最遠的可觀測宇宙」是「最後散射截面」，即是微波背景輻射（CMB）的光子的來源地。因為CMB的光子紅移是大約1100左右，通過在線宇宙學計算器
Ned Wright"s Javascript Cosmology Calculator
換算成各種距離則是：

共動徑向距離：the comoving radial distance, which goes into Hubble"s law, is 13614.4 Mpc or 44.404 Gly.
角直徑距離：the angular size distance DA is 12.365 Mpc or 0.040331 Gly.
光度距離：the luminosity distance DL is 14989415.2 Mpc or 48889.322 Gly.

宇宙空間膨脹的關鍵，不僅僅是膨脹的速率，更重要的是膨脹的均勻度，否則，就不能僅靠紅移來定距離。

宇宙到底有沒有盡頭，這是一個問題

就像螞蟻會問宇宙這條路有多長？

我記得是根據哈勃定律看何時推行速度超過光速吧，再和宇宙年齡乘以光速比一下。好久不做了很可能有錯。

大約137億光年。

你的計算或推導得到宇宙膨脹就一定錯了！錯在你們對哈勃常數的物理意義不清楚，對哈勃的近似公式如何得到的不知道，不知道更精準的紅移公式是什麼，對哈勃公式的適用範圍不知道。