Riemann 積分與 Lebesgue 積分的聯繫與差異分別是什麼？

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單看定義，一個按定義域分割，一個按值域分割，區別好像不大。但後者的可積範圍更大，應用也更廣泛。有什麼比較好的視角看待這個問題嗎？

Riemann積分的定義是從逐段常值函數開始的（這是最簡單的情形），而Lebesgue積分用更一般的函數——簡單函數代替了逐段常值函數。對於一個函數，簡單函數比逐段常值函數逼近得更細緻，這使得Lebesgue積分可以處理更多的函數。至於按定義域分割，還是按值域分割，這是無關緊要的。

這裡簡單回顧一下Riemann積分和Lebesgue積分的定義，以一維的情形為例。
----Riemann積分----
設 $I$ 是有界區間，一個逐段常值函數 $f:I omathbf{R}$ 是有限個 $I$ 的子區間 $I_isubset I (i=1,cdots,n)$ 的指示函數 $1_{I_i}$ 的線性組合
$f=c_11_{I_1}+cdots+c_n1_{I_n}quad (1)$
這裡 $ngeq 1$ 是自然數， $c_1,cdots,c_ninmathbf{R}$ 是實數。

如果 $f=c_11_{I_1}+cdots c_n1_{I_n}$ 是一個逐段常值函數，我們定義 $f$ 的逐段常值積分
$mathrm{p.c.}int_I f(x) dx:=c_1|I_1|+cdots+c_n|I_n|$
這裡 $|I|$ 表示區間 $I$ 的長度。（即對於 $I=(a,b),(a,b],[a,b),[a,b](aleq b),|I|=b-a$ ）

設 $f:I omathbf{R}$ 是有界函數，我們定義 $f$ 在 $I$ 上的下Riemann積分
$underline{int_I} f(x) dx:=sup_{gleq f:,g, ext{逐段常值}}mathrm{p.c.}int_I g(x) dx$
$f$ 在 $[a,b]$ 上的上Riemann積分
$overline{int_I} f(x) dx:=inf_{ggeq f:,g, ext{逐段常值}}mathrm{p.c.}int_I g(x) dx$
很明顯， $underline{int_I} f(x) dxleq overline{int_I }f(x) dx$ ，如果這兩個數相等，我們就說 $f$ 是Riemann可積的，並且定義 $f$ 在 $I$ 上的Riemann積分
$int_I f(x) dx:=underline{int_I} f(x) dx=overline{int_I} f(x) dx$ 。

----Lebesgue積分----
一個簡單函數 $f:mathbf{R} omathbf{R}$ 是有限個可積集合 $E_isubset mathbf{R} (i=1,cdots,n)$ 的指示函數 $1_{E_i}$ 的線性組合
$f=c_11_{E_1}+cdots+c_n1_{E_n}quad (2)$
這裡 $ngeq 1$ 是自然數， $c_1,cdots,c_ninmathbf{R}$ 是實數。一個非負簡單函數 $f:mathbf{R} o [0,+infty]$ 的定義是類似的，但 $c_i$ 在 $[0,+infty]$ 中取值而不是在 $mathbf{R}$ 中。
如果 $f=c_11_{E_1}+cdots c_n1_{E_n}$ 是一個非負簡單函數，積分 $mathrm{Simp}int_{mathbf{R}} f(x) dx$ 定義為
$mathrm{Simp}int_{mathbf{R}} f(x) dx:=c_1m(E_1)+cdots+c_nm(E_n)$
因此 $mathrm{Simp}int_{mathbf{R}} f(x) dx$ 在 $[0,+infty]$ 中取值。

設 $f:mathbf{R} o[0,+infty]$ 是非負函數（不必可測），我們定義 $f$ 的下Lebesgue積分
$underline{int_{mathbf{R}}}f(x) dx:=sup_{0leq gleq f,:, g, ext{簡單}}mathrm{Simp}int_{mathbf{R}} g(x) dx$
我們也可以定義 $f$ 的上Lebesgue積分
$overline{int_{mathbf{R}}}f(x) dx:=inf_{ggeq f,:, g, ext{簡單}}mathrm{Simp}int_{mathbf{R}} g(x) dx$
但我們很少使用這個積分，注意這兩個積分都在 $[0,+infty]$ 中取值，並且上Lebesgue積分大於或等於下Lebesgue積分。

如果 $f:mathbf{R} o[0,+infty]$ 是可測的，我們定義 $f$ 的Lebesgue積分等於它的下Lebesgue積分 $underline{int_{mathbf{R}}}f(x) dx$ 。（對於不可測的函數，我們不定義它的Lebesgue積分）

一個可測函數 $f:mathbf{R} omathbf{R}$ 說是絕對可積的如果積分
$|f|_{L^1(mathbf{R})}:=int_{mathbf{R}}|f(x)| dx$
是有限的。如果 $f:mathbf{R} omathbf{R}$ 是絕對可積的，我們定義 $f$ 的Lebesgue積分
$int_{mathbf{R}}f(x) dx:=int_{mathbf{R}} f_+(x) dx-int_{mathbf{R}} f_-(x) dx$
這裡 $f_+:=max(f,0),f_-:=max(-f,0)$ 是 $f$ 的正部和負部。

黎曼吃三明治法：從一角開始一口一口吃，每口都包括所有原料。
勒貝格吃三明治法：從上面開始按照」麵包-配菜-乳酪-肉「一層一層吃。

當三明治沒有上面那塊麵包夾著，一堆配菜堆得比較支離破碎的時候，勒貝格吃法更不容易掉渣。
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本來想匿名抖個機靈，一覺起來發現多了好多贊，那我還是補點乾貨吧，順便回答一下 @余翔的評論。

不，我不認為豎著切和橫著切本質是一樣的。雖然對於連續函數兩者的值是一樣的，但本質上的區別在於單調性，和隨之而來的完備性。

黎曼積分我們在豎著切的時候，由於我們對函數的波動起伏沒有假設，所以，每一個切片的大小都是未知的。每次細化切分/改變每段的參照點的時候，帶來的面積變化也是不固定的。

但對於勒貝格積分，由於只是在考慮單值函數下面的陰影面積，所以當我們橫著切的時候（用step function逼近的時候），我們可以保證切面的測度是隨高度單調遞減的。就像漢諾塔（或者我失敗的堆成小山一樣的午餐三明治），下面的一層總是比上面的高。所以我們每次細化切分/改變參照點的時候，面積的變化是單調的。從而單調收斂定理保證，我們總可以用簡單函數逼近得到勒貝格積分的值。而這種來自於單調收斂定理的對極限的封閉的完備性，正是我們引入勒貝格積分的重要原因之一。

再次考慮一下經典例子 $1_{mathbb{Q}}$ (有理數集的示性函數)，想一想豎著切和橫著切在細分/改變參照點時的變化。按照黎曼法吃三明治，只觀測區間中一點的大小，每一口你都不知道要張多大嘴，一不小心就掉渣/漏風了。但按照勒貝格法，你知道越往下每一層要吃的東西就越多，只要看到最底下那層的面積你就知道要用張多大嘴。這就是為什麼

「當三明治一堆配菜堆得比較支離破碎的時候，勒貝格吃法更不容易掉渣。」

吃貨再次遁走了……

先介紹兩個定理：
Arzela 控制收斂定理：設{ $f_{n}$ }是在 $left[ a,b ight]$ 上收斂於極限函數 $f$ 的可積函數列，且{ $f_{n}$ }在 $left[ a,b ight]$ 上一致有界，若 $f$ 可積，則
$lim_{n ightarrow infty }{int_{a}^{b}f_{n}(x) dx } =int_{a}^{b}f(x) dx$
Lebesgue控制收斂定理：設{ $f_{n}$ }是一列幾乎處處收斂於 $f$ 的函數列，如果 $left| f_{n}(x) ight|<g(x)$ , $g(x)$ 可積，則
$lim_{n ightarrow infty }{int f_{n} } =int f$ .
前者是黎曼積分裡面的控制收斂定理，後者是勒貝格積分里的控制收斂定理。
區別在於，黎曼積分中必須假定極限函數可積控制收斂定理才成立！而勒貝格積分中不需假定極限函數可積。
另外一方面在Arzela控制收斂定理中,即使極限函數不可積，函數列的積分的極限也是存在的,這就是黎曼積分相比于勒貝格積分不完備的地方的一個體現。
至於所說的勒貝格積分比黎曼積分應用廣，我真是沒看出來。勒貝格積分由於定義的原因是很難計算的，一般情況下涉及到具體計算都會使用黎曼積分，況且大多數情況下他們是相等的。
至於勒貝格積分的範圍比黎曼積分的範圍廣也是錯的，存在黎曼可積但是勒貝格不可積的函數，例子我就不舉了。
大概就這樣了

關鍵在於講Riemann積分的時候，你只接觸了簡單的矩形或其它直線形面積（再就是會算橢圓和圓），可不知道各種不規則的點集的「面積」。

而在值域劃分定義Lebesgue積分之前，人們已經建立了測度理論，能給很大一類不規則點集也定義測度。

否則你橫著切豎著切都差不多。

Lebesgue自己的解釋：
桌子上有一堆票子，從十塊到五毛都有，Riemann數錢法是撿起來一張算一張，最後得到總額；他自己是先費個事兒把面值一樣的票子湊一堆兒，把各個面值的總額加一起得個數。

當然這是一個直觀但粗淺的解釋，Lebesgue積分解決許多Riemann積分下無法解決的問題，而且想學好概率論，研究明白Lebesgue積分能讓你有撥雲見日之感。

首先是測度這個概念，非常重要。

然後，積分的時候，橫著分塊（Lebesgue）和豎著分塊（Riemann）確實不一樣。

橫著分塊：值x測度（對於奇葩函數也一樣算）

豎著分塊：長度x值（對於奇葩函數，沒法算，因為壓根兒就不能完成切分豎塊的任務）

看到過這樣的解釋。比如桌上有一疊錢，包括1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元這些面額的紙幣。我把這疊錢按照原本放在桌子上從上到下的順序一張張給你，這就是Riemann積分。如果我先把這疊錢按照面額大小1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元這樣排序，然後把排好序的這疊錢一張張給你，這就是Lebesgue積分。

—————————————— 以下是2016-10-04更新 ——————————————

從兩種積分本身的性質來看，Lebesgue積分是絕對收斂的積分，而Riemann積分不是。具體地說，我們知道，對於Riemann常義積分（定積分），可積則絕對可積，反之不對；而對於Riemann廣義積分，絕對可積則可積，反之不對。也就是說，Riemann積分意義下的絕對可積與可積是不等價的。而對於Lebesgue積分，我們知道，可積與絕對可積是一回事，也就是說，絕對可積與可積到了Lebesgue積分的意義下變成了等價關係，Lebesgue積分將絕對可積與可積統一起來。這是Lebesgue積分優於Riemann積分的一個重要區別。

從兩種積分意義下的可積函數類來看，Lebesgue可積函數構成的線性空間是完備的，而Riemann可積函數類不是完備的，也就是說，一個Riemann可積函數列的極限函數可能不再是Riemann可積的，而Lebesgue可積函數類對極限運算是封閉的。這是從函數類上看Lebesgue積分優於Riemann積分的另一個重要特點。

下面再說一個關於「Lebesgue可積等價於絕對可積」深刻的理解，是我辦公室一個大牛師兄講給我的。

我們知道，對於絕對收斂的級數，任意調換各項的次序不會改變收斂性以及該級數的和，而條件收斂的級數，調換各項次序可能導致所得級數發散，即便仍收斂，該級數的和可以是任意想要的值。我們反過來考慮這個結果，一個求和運算，如果任意換序都是收斂的，那麼這種收斂必然是絕對收斂，此時絕對收斂與收斂是一回事；而如果一個求和在換序後導致收斂性發生變化（包括發散或極限值改變），那麼這種收斂就是條件收斂，換句話說，是「有條件地」收斂，而非「絕對地」收斂。

好，回到積分的定義上來。Riemann積分的本質是分割定義域，近似求和取極限。我們把曲線下方圖形想像成被切成了很多個小豎條，Riemann積分是將這些小條的面積從左到右順次「加」起來，這種收斂只能是「從左到右」求和的收斂，是一種「有序求和」的收斂，這種收斂性是不可隨意換序的。而Lebesgue積分的本質是分割值域，再近似求和取極限，是先按照值域把高度（函數值）相近的一些小條拼在一起得到一個較寬的條，再把這些拼好的高矮不同的寬條的面積加起來，這種收斂是經過了重新排序再求和的收斂，是一種「可換序求和」的收斂，按照上面所說的，這種收斂必然是絕對收斂，因此Lebesgue積分就是絕對可積的積分。

Lebesgue積分想法挺自然的：首先對簡單函數積分就是級數求和，這個大家都沒意見。由於我們希望得到某種積分與極限的交換性，所以可以試著定義簡單函數極限的積分為相應積分的極限。然後事實證明it works。

提供兩個不同的角度，不一定恰當：1可測映射是用inverse image來刻畫的，所以積分從這個角度定義更natural.
2當我們試圖推廣積分到非交換積分的情形，比如trace class operator的trace，這時用Riemann的方法行不通了，因為非對角項（物理用語）的出現，對domain的分割非常不自然，instead ，spectrum作為eigenvalue和range的推廣，提供了一個natural的用於size counting的基底。

這個角度怎麼樣，專業治療頸椎病

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這兩個積分真是神奇，只是變換了思考問題的角度，結果卻有了翻天覆地的變化。感覺與橫軸能取到所有值，測度存在有關

一般情況下，黎曼積分和勒貝格積分是等價的，但是有些情況是勒貝格可積而黎曼不可積的，例如著名的狄利克雷函數，積分值為0，因為有理數是可數的。這個每一本實變的書都會講到這個

我們教授再三強調，勒貝格積分和黎曼積分的區別僅僅在於：黎曼積分把區間分成有限段，而勒貝格積分允許可數無限。

黎曼積分的定義：如果對於某個 $I$ ，對任意的 $varepsilon>0$ 都存在 $delta>0$ ，使得對任意的 $a=x_0<cdots<x_n=b$ （其中 $x_{i+1}-x_i<delta$ ）和任意的 $x_i^*in[x_i,x_{i+1}]$ 都有 $left|sum_{i=0}^nf(x_i^*)(x_i-x_{i-1})-I ight|<varepsilon$ ，那麼 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積，積分為 $I$ 。

它等價於下面這個看上去稍微複雜的定義：如果對於某個 $I$ ，對任意的 $varepsilon>0$ 都存在 $a=x_0<cdots<x_m=b$ ，使得對任意的 $a=y_0<cdots<y_n=b$ （其中 $[y_i,y_{i+1}]$ 包含在某個 $[x_j,x_{j+1}]$ 中）和任意的 $y_i^*in[y_i,y_{i+1}]$ 都有 $left|sum_{i=0}^nf(y_i^*)(y_i-y_{i-1})-I ight|<varepsilon$ ，那麼 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積，積分為 $I$ 。等價性大致可以看出來（把所有的分點都標上）。

勒貝格積分的定義：如果對於某個 $I$ ，對任意的 $varepsilon>0$ 都存在 $[a,b]$ 上的一個勒貝格可測的分法（即存在可數多個勒貝格可測的集合 $A_i$ ，互相不交，並起來是 $[a,b]$ ），使得對於任何比它更細的分法（對應集合 $B_i$ （ $B_i$ 總是包含於某個 $A_j$ 中）和樣本點 $x_i^*in B_i$ ），都有 $left|sum_if(y_i^*)mu(B_i)-I ight|<varepsilon$ ，那麼 $f$ 在 $[a,b]$ 上勒貝格可積，積分為 $I$ 。（這個定義不如上面「橫切」的那個常見，不過二者是等價的。）

容易發現，把勒貝格積分中的這些 $A_i$ 、 $B_i$ 改成有限個，從可測集合變成區間，那麼勒貝格積分就變成了黎曼積分。

為什麼不像黎曼積分的（傳統）定義一樣只涉及一個分法？回想數列極限的定義：如果對於某個 $l$ ，對任意的 $varepsilon>0$ 都存在 $N$ ，使得對任意的 $n>N$ 都有 $|a_n-l|<varepsilon$ ，那麼 $a_n$ 的極限是 $l$ 。所以勒貝格積分本質是極限，細的分法比粗的分法」大「（此事可以嚴格定義，見維基百科」directed set「頁）。黎曼積分的定義當然也可以這麼寫，不過由於區間總數有限，兩個分法對黎曼積分來說多此一舉。

抽象的測度空間上不再有區間的概念，所以區間要被換成可測集合。至於有限個還是無限個，可測集合天生允許無限並，想回有限也不可能了，所以勒貝格積分自然成了抽象空間上積分的首選。抽象空間上也沒有序的概念，所以誰先加誰後加是不一定的，只有絕對收斂才有良好定義（條件收斂的級數可通過重排收斂到任意值或乾脆發散）。於是勒貝格積分沒有條件收斂這一說。對於抽象空間來說這不是壞事。

關於反常積分（ $f$ 可能無界，積分的範圍 $X$ 可能測度無限，比如實數軸）。黎曼說：把 $a$ 、 $b$ 取極限即得反常積分（等價於什麼可以自行寫出並證明）；勒貝格說：如果對於某個 $I$ ，對任意的 $varepsilon>0$ 都存在正數 $N$ 和測度有限的集合 $A$ ，使得對於任何比 $N$ 還大的 $n$ 和比 $A$ 還大的測度有限的集合 $B$ （當然 $B$ 不能比 $X$ 還大），都有 $left|int_Bf_{[-n,n]}mathrm dmu-I ight|<varepsilon$ （ $f_{[-n,n]}$ 即把 $f$ 掐頭去尾，大於 $n$ 的部分和小於 $-n$ 的部分換成 $n$ 和 $-n$ 。注意 $int_Bf_{[-n,n]}mathrm dmu$ 我們是會算的），那麼 $f$ 在 $X$ 上積分為 $I$ 。發現沒有，反常積分的定義又是個極限：掐頭去尾更少、積分範圍更廣代表更「大」。黎曼要求 $B$ 始終是區間，因為他不支持任意可測集合；黎曼也不敢掐頭去尾，因為 $f$ 大於 $n$ 的部分可能長得很奇怪（不是有限個區間的並）。你看「有限」和「區間」真的是黎曼積分的硬傷。

關於廣義的極限再說兩句：數學總是重複自身，大一學的東西（比如極限）在大三大四和研究生時期變個模樣再次出現（比如黎曼積分、勒貝格積分、拓撲、直極限）。以不變應萬變才不致迷失方向。關於極限的內容可參看Kelley的General Topology。

定理：區間[a,b]上的有界函數f黎曼可積當且僅當f的不連續點是零測集。

它有一個簡單的推論：

對於區間[a,b]的子集E的示性函數XE，黎曼可積當且僅當E的邊界點是零測集，勒貝格可積當且僅當E可測。

積分給人最直觀感受就是求面積，上面這個推論說的就是，勒貝格比黎曼能求出更多的形如E×[0,1]這樣的圖形的面積。

Riemann積分是按順序積，Lebesgue積分是先分個類再分別積

完備性

曾經看到一個比喻，積分好比數錢，黎曼積分是看見一張拿一張數，勒貝格積分是把所有一百的一起數，然後依次按面額來數。

好像是什麼定理吧，告訴我們Riemann可積本質取決於不連續點是零測集，然而不連續點是零測集顯然是可測函數，那麼基本上就是勒貝格可積的。

反過來，lbg可積本質上只依賴於函數可測，也就是水平集的某種正則性，那麼像dilichlet函數這種從水平集層次來看很簡單的函數自然是lbg可積的，但是當然不是黎曼可積的。

怎麼理解一個積分呢，積分就是從函數空間到某個域的運算元，你自然要去理解定義域長什麼樣，值域是不是滿的，還有就是這個積分怎麼定義出來的。

教科書說法：以測度和「代數閉包」的準確定義，保證「可加性」
（參考caratheodory反例）

講一講聯繫好了。。。
大前提：在閉區間[a，b]中，
①非負連續的實值函數F1(x)
則∫（L）F1（x）dx=∫（R）F1（x）dx
②函數F2（x），若F2的正部和負部為非負連續的函數，
則∫（L）F2（x）dx=∫（R）F2（x）dx
③若其中F3（x）R-可積，則必定L-可積。
且∫（L）F3（x）dx=∫（R）F3（x）dx
④若F4（x）有界，R-可積，則若f∈L（R），且廣義∫f（x）dx絕對收斂，
則∫（L）F4（x）dx=∫（R）F4（x）dx

不連續點的個數為至多可數時，黎曼可積。在有限區間上勒貝格積分和黎曼積分是可以劃等號的。
在無限區間上，就變為了廣義黎曼積分。存在黎曼可積但是勒貝格不可積的函數，這是對廣義黎曼積分而言。這時函數廣義黎曼可積但函數的絕對值不一定可積；函數勒貝格可積等價於函數的絕對值勒貝格可積。

如果你做研究，你就會發現lebesgue積分與riemann積分的差別不大，換言之，只不過在你riemann的積分的基礎之上多了一種新的語言。如果你還在本科，只要記得lebesgue積分最重要的是收斂定理就好了。其餘，想多了，沒好處。

看到這個題目，我有一個不得不講的真實故事。（不喜請摺疊，但是我真的忍不住23333）

老師：來，你講講實變函數的lebesgue積分和你們大一數分學的黎曼積分有什麼區別。
我：。。。。。。
老師：這都不會！上課怎麼聽講的！來，旁邊那個同學，你來說！
同學A:。。。嗯？
老師：問題都不知道么？lebesgue積分和以前學的黎曼積分有什麼不一樣！？
同學A:我覺得，嗯，lebe...積分難一些。
。（大家努力憋著不笑）
。（大家努力憋著不笑）
。（大家努力憋著不笑）
。（大家努力憋著不笑）
。（大家努力憋著不笑）
老師：我真恨不得從窗戶跳下去...

搬運關於實變函數的幾個故事：數學系學生的你，有哪些課程覺得自己沒學明白？ - Frey 的回答