科學領域中目前有意義的最大數字是多少？

11-28

比如說已知宇宙的全部微粒數?

相關問題：
科學領域內目前有意義的最小數字是多少？ http://www.zhihu.com/question/53078780

科學領域的數字，都很小，用多重指數（多層科學計數法）就可以表達出來。

1層指數：粒子的數目。
1摩爾是6×10^23，而整個可觀測宇宙範圍內的質子數則是136×2^256（約為1.575×10^79。這個奇怪的表達式是Arthur Eddington給出的），光子數是1.1×10^89，而所有的基本粒子的數目則約為10^97。

2層指數：粒子的排列。
只需要很少的幾個粒子，它們的排列數就已經可以超過宇宙中所有基本粒子的數目了。比如6階魔方的狀態數是1.57153×10^116。「微觀狀態數」就是這樣一種排列的概念，而且參與排列的粒子數目更大。整個可觀測宇宙的熵大約是10^120，這意味著微觀狀態數大概是 $10^{10^{120}}$ 。

3層指數：龐加萊回歸時間。看這篇文章的第8頁
到這個層次，單位已經不重要了（於是會出現「Planck times, millenia, or whatever」）。
一個箱子僅包含一個質量為M普朗克質量的黑洞，那麼它的龐加萊回歸時間是 $exp(exp(4pi M^2))$ 。如果把整個可觀測宇宙的質量代入，就是 $10^{10^{10^{10^{2.08}}}}$ 這樣的數字。最後，如果用林德暴脹模型來估計整個宇宙的大小，再代入前面的式子，那就會得到
$10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}$
這樣的數字。

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題主一定會想：才這麼點大，太無趣了。因為現實世界實在是太小太小了。如果你踏入數學領域，那麼你將看到更加巨大的數字。
這些「更加巨大的數字」，我主張分成3類。第一類，最小的，是可定義、可計算的數，或者能被這樣的數限制住的數。第二類，更大的，是可定義、不可計算的數，或者能被可定義的數限制住，卻沒有演算法可以計算的數。第三類，最大的，則是不可定義的數。

一、Moser數
見白書旭的回答。作為對比，「5放進一個4邊形」就已經超過科學領域的最大數字了。

二、Graham數
見白書旭的回答。作為對比， $3underbrace{uparrowuparrowcdotsuparrowuparrow}_{3uparrowuparrowuparrowuparrow3}3$ （就只有2層）就已經超過Moser數了。

三、Goodstein數列
這是一個非常重要的東西，從這裡我們將引出序數在大數里的運用。

首先，把一個正整數n寫成下面這種形式，稱作「k進位形式」。
$n=a_1k^{b_1}+a_2k^{b_2}+cdots+a_mk^{b_m}$
其中 $a_1,a_2,cdots,a_m$ 都是小於k的正整數， $b_1>b_2>cdots>b_m$ 且都是正整數。

其次，定義「以k為底的遺傳記法」。如果n&接下來就可以定義Goodstein數列了。給定一個起始數 $a_1$ ，就可以得到一種Goodstein數列。
$a_{n} (n>1)$ 可以用這種辦法得到：先把 $a_{n-1}$ 寫成以n為底的遺傳記法，然後把裡面出現的n都改成n+1，最後減去1。
比如起始數為10，那麼
$a_1=10$ ，寫成以2為底的遺傳記法，就是 $1 imes2^{1 imes2^1+1 imes2^0}+1 imes2$ ，簡單一點就是 $2^{2+1}+2$ 。如果把2改成3，就得到 $3^{3+1}+3=84$ 。
$a_2=83$ ，寫成以3為底的遺傳記法，就是 $3^{3+1}+2$ 。如果把3改成4，就得到 $4^{4+1}+2=1026$ 。
$a_3=1025$ ，寫成以4為底的遺傳記法，就是 $4^{4+1}+1$ 。如果把4改成5，就得到 $5^{5+1}+1=15626$ 。
$a_4=15625$ ，寫成以5為底的遺傳記法，就是 $5^{5+1}$ 。如果把5改成6，就得到 $6^{6+1}=279936$ 。
$a_5=279935$ ，寫成以6為底的遺傳記法，就是 $5 imes6^6+5 imes6^5+5 imes6^4+5 imes6^3+5 imes6^2+5 imes6+5$ 。如果把6改成7，就得到 $5 imes7^7+5 imes7^5+5 imes7^4+5 imes7^3+5 imes7^2+5 imes7+5=4215755$ 。
$a_6=4215754$ ，寫成以7為底的遺傳記法，就是 $5 imes7^7+5 imes7^5+5 imes7^4+5 imes7^3+5 imes7^2+5 imes7+4$ 。如果把7改成8，就得到 $5 imes8^8+5 imes8^5+5 imes8^4+5 imes8^3+5 imes8^2+5 imes8+4=84073324$ 。
$a_7=84073323$ ，
……
這個數列看上去在一直遞增，似乎沒完沒了的樣子。但我們總還得問一句，如果某一項是0那怎麼辦？答：到此為止。如果某一項 $a_n=0$ ，那這個數列就只有n項，只有有限項。
下面的定理令人吃驚：

所有的Goodstein數列都只有有限項。

這樣我們就能定義出Goodstein函數了。 $G(n)$ 是以n為起始數的Goodstein數列的非零項數。
於是，G(1)=1，只有兩項：1,0。
G(2)=3，只有四項：2,2,1,0。
G(3)=5，只有六項：3,3,3,2,1,0。
G(4)則比較大。
第1項：2^2=4；
第2項：3^3-1，但這種寫法不是以3為底的遺傳記法，得改寫成2*3^2+2*3+2才行。
第3項：2*4^2+2*4+1
第4項：2*5^2+2*5
第5項：2*6^2+2*6-1=2*6^2+6+5
第6項：2*7^2+7+4
第10項：2*11^2+11
第11項：2*12^2+12-1=2*12^2+11
第12項：2*13^2+10
第22項：2*23^2
第23項：2*24^2-1=24^2+23*24+23
第24項：25^2+23*25+22
第46項：47^2+23*47
第47項：48^2+23*48-1=48^2+22*48+47
……
雖然我們沒有辦法把它一項一項地列出來，但可以想像出，這個過程，如果總是用遺傳記法來表示，那麼就像是一個倒計時的鐘錶，只不過每一個「小時」值好多「分鐘」，每一個「分鐘」值好多「秒」，而且隨著項數的增加，每一個「分鐘」值的「秒」數會增多，每一個「小時」值的「分鐘」數也會增多，但不管怎樣，這個倒計時總會結束。
無獨有偶，集合論中的序數（ordinal）剛好也具有這種性質。如果一個序數的序列，每一項都小於前一項，那麼一定只能有有限項。像剛才的倒計時那樣，「每一項都小於前一項」的方式，可以是扣掉這一「秒」，也可以是把一個「分鐘」換成許多「秒」，把一個「小時」換成許多「分鐘」等等。這就啟發我們定義一種通用的、基於序數的「倒計時」，稱作Hardy hierarchy。

$H_0(n)=n$ ，其中n是任意自然數。
$H_{alpha+1}(n)=H_alpha(n+1)$ ，其中n是任意自然數，α是任意序數。
$H_alpha(n)=H_{alpha[n]}(n)$ ，其中n是任意自然數，α是非零極限序數。

而最後這個表達式中的α[n]，就是把一個「小時」換成許多「分鐘」的方式。

用Cantor標準式來表示序數，即 $alpha=omega^{eta_1} imes a_1+omega^{eta_2} imes a_2+cdots+omega^{eta_m} imes a_m$ ，其中 $a_1,a_2,cdots,a_m$ 都是正整數， $eta_1>eta_2>cdots>eta_m$ 且都是序數。用這種方式表示的非零極限序數，可以定義 $(omega^{eta_1} imes a_1+omega^{eta_2} imes a_2+cdots+omega^{eta_m} imes a_m)[n]=omega^{eta_1} imes a_1+omega^{eta_2} imes a_2+cdots+omega^{eta_{m-1}} imes a_{m-1}+omega^{eta_m} imes(a_m-1)+(omega^{eta_m}[n])$ 。而且 $eta_m>0$ 。然後 $omega^{eta+1}[n]=omega^eta imes n$ ；如果β是非零極限序數，那麼 $omega^{eta}[n]=omega^{eta[n]}$ 。

於是我們就得到了Goodstein函數的一種比較簡單的表達式：
$G(n)=H_{alpha}(3)-3$ ，其中α是把n寫成以2為底的遺傳記法，再把2換成ω，所得的序數。

作為對比，G(12)大於Graham數。Graham數若用Hardy hierarchy表示，僅僅介於 $H_{omega^{omega+1}}(63)$ 和 $H_{omega^{omega+1}}(64)$ 之間罷了，而Goodstein函數卻能達到 $H_{omega^{omega^{.^{.^{.^{omega^omega}}}}}}(n)$ 這種級別。

四、TREE(3)
TREE(3)源於TREE函數。
在所有由「頂點k染色的樹」組成的，而且滿足下面的兩個條件的序列中，序列的最大長度就記作TREE(k)。

任意正整數i，序列的第i項只有不超過i個頂點
任意正整數i&嵌入第j項

這裡，頂點染色的樹之間的嵌入關係比較複雜，但可以轉換成下面這個比較簡單的定義。如果樹A能夠通過有限次「去掉一個葉子」和「去掉一個子頂點數為1的頂點，並把它的子頂點和它的父頂點連接起來」操作變成樹B，那麼B就能嵌入A。
定義到此為止。

來試一試吧！我們用一對括弧表示一個頂點，最外層的括弧表示根頂點，一對括弧裡面一層的括弧是它的子頂點。用不同括弧（如()、[]、{}、&<&>、（）、【】、《》等）表示不同的頂點顏色。
TREE(1)=1

()，只有1個頂點的樹

TREE(2)=3

首先是[]，然後我們就不能用任何帶有[]的樹了。
然後(())
()

接下來就到TREE(3)了。

首先當然是{}
然後[[]]，當然，這裡我們只列了一種可能的序列，因此我們只能得出TREE(3)的一個下限。
[()()]
[(()())]，注意，由於最外面的小括弧有2個子頂點，所以不能直接去掉，意味著這個樹不能嵌入[()()]。
[(((())))]
(([((()))]))
([((()))][][])
([((()))][]()())
([((()))]()()()())
([((()))](())(())())
([((()))](()()())()())

……
接下來的事情有點複雜，所以我們還需要一個輔助函數來幫忙——tree函數。

在所有滿足下面的兩個條件的「樹列」中，「樹列」的最大長度記作tree(n)。

任意正整數i，「樹列」的第i項只有不超過i+n個頂點
任意正整數i&

tree和TREE的不同之處在於，tree的序列中，頂點數可以更多，但它全都只能用一種顏色。但，tree和TREE的相同之處在於，有限樹的嵌入關係是Well-quasi-ordering。這就直接使得TREE(n)和tree(n)都是有限值，有點類似於Goodstein數列和序數。但和序數不同的是，樹與樹之間是可以互不嵌入的，但序數與序數之間肯定得有一個小於等於另一個。
不過，我們仍然可以作一個從有限樹到序數的對應，使得如果兩個樹之間有嵌入關係，那一定是序數小的樹嵌入序數大的；而任意兩個樹，序數大的樹一定不能嵌入序數小的。然後，把初始的樹選成一個儘可能大的序數，按照Goodstein數列那裡說的辦法，一點一點地降下來，直到0為止。最後用Hardy hierarchy把tree(n)還有TREE(3)表示出來！

於是，問題就轉化成了，如何作一個從有限樹到序數的對應，而且得到的序數上限可以儘可能地大？對於tree中的序列，這裡給出了答案，不過它討論的是有向樹（就是分左右的樹。其實無向樹的情況也類似，極限是 $varphi(1,0,cdots,0,0)$ ；作為對比，Goodstein函數的增長率僅僅到達 $varphi(1,0)$ 罷了）。
為了表示更大的序數，我們需要一點新記號——φ函數。
$varphi(0,alpha)=omega^alpha$
$varphi(gamma+1,0)[0]=0$
$varphi(gamma+1,0)[n+1]=varphi(gamma,varphi(gamma+1,0)[n])$
$varphi(gamma+1,delta+1)[0]=varphi(gamma+1,delta)+1$
$varphi(gamma+1,delta+1)[n+1]=varphi(gamma,varphi(gamma+1,delta+1)[n])$
$varphi(alpha,0)[n]=varphi(alpha[n],0)$ ，其中α是非零極限序數
$varphi(alpha,eta+1)[n]=varphi(alpha[n],varphi(alpha,eta)+1)$ ，其中α是非零極限序數
$varphi(alpha,eta)[n]=varphi(alpha,eta[n])$ ，其中β是非零極限序數
以上僅僅是二元φ函數罷了，還不夠。接下來是廣義的φ函數（標準記法是 $varphi(alpha_1@eta_1,alpha_2@eta_2,cdots,alpha_m@eta_m)$ ，其中 $eta_1>eta_2>cdots>eta_m$ ），只有這樣才能趕上TREE序列。

$varphi(#,alpha@eta)[n]=varphi(#,alpha[n]@eta)$ ，其中α是非零極限序數
$varphi(#,alpha+1@eta)[n]=varphi(#,alpha@eta,1@eta[n])$ ，其中β是非零極限序數
$varphi(#,alpha+1@eta+1)[0]=0$ ， $varphi(#,alpha+1@eta+1)[n+1]=varphi(#,alpha@eta+1,varphi(#,alpha+1@eta+1)[n]@eta)$
$varphi(#,alpha@eta,gamma+1)[n]=varphi(#,alpha[n]@eta,varphi(#,alpha@eta,gamma)+1)$ ，其中α是非零極限序數
$varphi(#,alpha+1@eta,gamma+1)[n]=varphi(#,alpha@eta,1@eta[n],varphi(#,alpha+1@eta,gamma)+1)$ ，其中β是非零極限序數
$varphi(#,alpha+1@eta+1,gamma+1)[0]=varphi(#,alpha+1@eta+1,gamma)+1$ ， $varphi(#,alpha+1@eta+1,gamma+1)[n+1]=varphi(#,alpha@eta+1,varphi(#,alpha+1@eta+1,gamma+1)[n]@eta)$

$varphi(0,alpha)=omega^alpha$

其中#表示任意多個（或者0個）形如「α @ β」的項，「α @ 0」項可直接寫作「α」，「0 @ β」這樣的項則可以省略。
那麼，接下來便是TREE(3)的序列中，有限樹到序數的對應。

[]對應 $varphi(1@omega,0)$
([])對應 $varphi(1@omega,0)+1$
(([]))對應 $varphi(1@omega,0)+2$
([]())對應 $varphi(1@omega,0)+omega$
([](()()()))對應 $varphi(1@omega,0)+varphi(1,0)$
([][])對應 $varphi(1@omega,0) imes2$
(([][]))對應 $varphi(1@omega,0) imes2+1$
(([][])(()()()))對應 $varphi(1@omega,0) imes2+varphi(1,0)$
(([])[])對應 $varphi(1@omega,0) imes3$
((([]))[])對應 $varphi(1@omega,0) imes4$
(([]())[])對應 $varphi(1@omega,0) imesomega=omega^{varphi(1@omega,0)+1}$
(([][])[])對應 $varphi(1@omega,0)^2=omega^{varphi(1@omega,0) imes2}$
((([][])[])[])對應 $varphi(1@omega,0)^3=omega^{varphi(1@omega,0) imes3}$
(([])([]))對應 $varphi(1@omega,0)^omega=omega^{omega^{varphi(1@omega,0)+1}}$
(([][])([][]))對應 $varphi(1@omega,0)^{varphi(1@omega,0)}=omega^{omega^{varphi(1@omega,0) imes2}}$
((([][])([][]))(([][])([][])))對應 $omega^{omega^{omega^{omega^{varphi(1@omega,0) imes2}}}}$
([]()())對應 $varphi(1,varphi(1@omega,0)+1)$
([](())())對應 $varphi(2,varphi(1@omega,0)+1)$
([][]())對應 $varphi(varphi(1@omega,0),1)$
([](())(()))對應 $varphi(1@2,varphi(1@omega,0)+1)$
([][][])對應 $varphi(varphi(1@omega,0)@2,1)$
([]()()())對應 $varphi(1@3,varphi(1@omega,0)+1)$
([][][][])對應 $varphi(varphi(1@omega,0)@3,1)$
([]()()()())對應 $varphi(1@4,varphi(1@omega,0)+1)$
[()]對應 $varphi(1@omega,1)$
[(())]對應 $varphi(1@omega,2)$
[((()))]對應 $varphi(1@omega,3)$
……

中間的過程比較繁瑣，不過最後還是可以得出結果的——
$ext{TREE}(3)>H_{omega^{varphi(1@omega,3)+varphi(1@omega,0)}}( ext{tree}( ext{tree}(3)))$
其中，tree(3)不像TREE(3)那樣巨大，但也至少是262140。而tree函數則增長得和 $H_{varphi(1@omega,0)}(n)$ 一樣快，遠遠快於Goodstein函數。

五、SCG(3)
如果說TREE函數是因為有限樹之間的嵌入關係是well-quasi-ordering而成為有限值，那麼SCG函數則是因為有限圖之間的嵌入關係是well-quasi-ordering而成為有限值——前者是後者的一種特殊情況。SCG是subcubic graph的縮寫，這個函數的完整定義如下：

在所有滿足下面的三個條件的「圖列」中，「圖列」的最大長度記作SCG(n)。

所有圖的所有頂點的度都不超過3
任意正整數i，「圖列」的第i項只有不超過i+n個頂點
任意正整數i&嵌入第j項

圖的嵌入關係又可以這麼定義。如果圖A通過有限次「把一條邊分成兩段，中間添加一個頂點」的操作，圖B通過有限次「去掉一個度為0的頂點」和「去掉一條邊」的操作，成為相同的圖，那麼圖A就能嵌入圖B。
因為有限圖之間的嵌入關係是well-quasi-ordering，所以我們也可以作一個從有限圖（每個頂點的度不超過3）到序數的對應，像前面tree函數中所作的那樣。只不過複雜得多，所需的序數也大得多——大得連φ函數都無法表示（可以用ordinal collapsing function表示）。然後把這些大得連φ函數都無法表示的序數放到Hardy hierarchy裡面，那就是SCG函數的增長率。
作為對比，SCG(3)&>TREE(TREE(…TREE(TREE(3))…))，其中有TREE(3)個TREE。
（不寫SCG(3)的近似表達式了，太複雜）

六、燃燒數（fusible number）

給你們足夠過的能夠燃燒的繩子，已知每根繩子燒完需要1分鐘，但是繩子不均勻，所以你沒有辦法在繩子燃燒的中途判斷時間。那麼你將如何測量出45秒？

這個問題看似簡單，其中蘊含的模型可不簡單。把這個模型中的數學關係提煉出來，可以得到這樣一個關係。假設S是用這些繩子能夠測量的所有時間（分鐘）組成的集合，那麼
$S_0={0}$
$S_{n+1}={frac{a+b+1}{2}|ain S_nwedge bin S_n}$
$S=igcup_{n=0}^infty S_n$
這樣，開頭的問題就很明顯啦。S中先有0，然後取a=0、b=0就有1/2，最後取a=0、b=1/2就有3/4。

但是，其中蘊含的模型可不簡單。你會發現，在0~1/2之間有一段空白，這段空白的時間用這些繩子是燒不出來的。換句話說，超過0的能燒出的最小數是1/2分鐘。於是定義
$m(x)=min{ain S|a>x}-x$
也就是說，m(x)是超過x的能燒出的最小數與x的差。
當x是自然數的時候，m(x)迅速地衰減。於是定義 $m_1(x)=-log_2m(x)$ ，這就是一個增長得飛快的函數。
$m_1(0)=1$
$m_1(1)=3$
$m_1(2)=10$
$m_1(3)>2uparrowuparrowuparrowuparrowuparrowuparrowuparrowuparrowuparrow16$
這個函數增長得比Goodstein函數快，但比ZFC的可證性極限要慢。而它的準確的增長率仍是個未解之謎。

七、Loader數
如果僅僅給你們512個字元（不計空白）的空間，編出一段程序，在一台假想的、有著足夠大的內存的計算機上，運行足夠長的時間，你最多能讓它輸出多大的數呢？乍一看，512個字元少之又少，甚至根本難以把像TREE函數、SCG函數那樣的東西定義出來，然而Ralph Loader卻寫出了下面這段C語言代碼，輸出一個瘋狂的大數——Loader數。

#define R { return #define P P ( #define L L ( #define T S (v, y, c, #define C ), #define X x) #define F );}

int r, a; P y, X R y - ~y &<&< x; } Z (X R r = x % 2 ? 0 : 1 + Z (x / 2 F L X R x / 2 &>&> Z (x F #define U = S(4,13,-4, T t) { int f = L t C x = r; R f - 2 ? f &> 2 ? f - v ? t - (f &> v) * c : y : P f, P T L X C S (v+2, t U y C c, Z (X ))) : A (T L X C T Z (X ) F } A (y, X R L y) - 1 ? 5 &<&< P y, X : S (4, x, 4, Z (r) F #define B (x /= 2) % 2 ( D (X { int f, d, c = 0, t = 7, u = 14; while (x D (x - 1 C B 1)) d = L L D (X ) C f = L r C x = L r C c - r || ( L u) || L r) - f || B u = S (4, d, 4, r C t = A (t, d) C f / 2 B c = P d, c C t U t C u U u) ) C c B t = P ~u 2 | B u = 1 &<&< P L c C u) C P L c C t) C c = r C u / 2 B c = P t, c C u U t C t = 9 ); R a = P P t, P u, P x, c)) C a F } main () R D (D (D (D (D (99)))) F

這裡，假定整數類型可以容納足夠大的數而不溢出，當這段程序從main函數結束的時候，它的返回值就是Loader數。
Loader數的建立是基於一種強規範化的形式系統——構造演算而得到的。它是如此巨大，直到目前，仍然沒有人能把它估計出來。

八、Busy beaver
現在，我們將遠離第一類大數，進入第二類大數的領域，而Busy beaver則是第二類大數的大門。毫不誇張地說，第一類數和第二類數之間的差別，正如人與神仙之間的差別。因為，

第二類大數是不可計算的。

不僅如此，生成第二類大數的函數，它們的增長率都會超過一切可計算的函數。前面所述的大數，不論是Graham數、TREE(3)還是Loader數，它們都有演算法把它算出來，只是你需要的時間、空間可能會很多罷了。
下面是這個函數的定義。

在所有n狀態、2色的、能夠停機的圖靈機中，從開始運行到停機為止所經過的最大步數，記作BB(n)。

很簡潔，對不對？但這個定義裡面就包含了一個不可解的問題——你怎麼知道一個圖靈機能不能停機？你可能會想，試著運行一下不就明白了？可是，當它運行了很多很多步以後，看上去還沒有停機，那樣你怎麼能知道它到底是「不能停機」，還是「能停機」只不過需要更多的步數呢？
不過，對於某個特定的圖靈機，如果你仔細琢磨，還是能得出它能否停機的結論的。但是，不存在這樣一種演算法，對於所有的圖靈機，都能判斷出能否停機。因此，也就不存在這樣一種演算法，能夠對於所有的正整數n，得出BB(n)的值。這，正是「不可計算」的含義。
BB(1)=1
BB(2)=4
BB(3)=6
BB(4)=13
$BB(5)ge4098$
$BB(6)ge3.514 imes10^{18267}$
$BB(7)ge10^{10^{10^{10^{18705352}}}}$ ，這就超過整個宇宙的龐加萊回歸時間了
$BB(10)>3uparrowuparrowuparrow3$
BB(18)&>Graham數
$BB(38)>H_{omega^{omega imes2}}(167)$
$BB(64)>H_{omega^{omega^2}}(4098)$
$BB(85)>H_{varphi(1,0)}(1907)$ ，這就超越Goodstein函數了
BB(1919)則被證明獨立於ZFC。
上面這些不等式中，很多都是很弱的下界。比如BB(10)的下界就是從 $BB(2n+4)>3uparrow^n3$ 得到的。而取n=1，你發現BB(6)遠遠大於27。又如從前人們認為BB(64)&>Graham數，但後來證明了BB(25)&>Graham數，然後這個界限一直被縮小到了BB(18)。

與Busy beaver處在同一等級的，還有從元胞自動機、標記系統、λ演算、組合子演算、各式各樣的高級編程語言等等這些系統引申出的函數。例如評論里所說的，如果我們定義f(x)為「一個長度為x的C語言程序能輸出的最大數（規則類似於Loader數）」，那麼f(512)至少是Loader數，並且這個f函數也是不可計算的，和BB(n)增長得一樣快的，增長得比一切可計算函數都快的。

神仙，也有俯瞰人間的時候。當這些不可計算的「神仙」下凡，來到人間的時候，便成了可計算的函數。然而這些所謂的可計算的函數卻可以輕輕鬆鬆地超越前面那些大數。這些「神仙」，一種通用的「凡間裝束」，就是——
設T是一個形式演繹系統。可以把某個圖靈機能停機這種命題轉換成T中的命題。首先列出T中所有不超過n個字元的證明，然後在這些證明之中找出「圖靈機M能停機」（其中圖靈機M是2色的、不超過n狀態的圖靈機）的證明，最後取所有這些圖靈機從開始運行到停機為止所經過的最大步數，記作BB(T,n)。
既然上面這個定義已經是一種計算的辦法，那麼這個函數就是可計算的了。對於任何形式演繹系統T，BB(T,n)的可計算性在T中不能被證明，而且BB(T,n)總是增長得比T能夠證明可計算的任何函數都要快。
比如Peano算術（PA），BB(PA,n)增長得和 $H_{varphi(1,0)}(n)$ 以及Goodstein函數一樣快。
二階算術的一個子系統， $BB(Pi_1^1 ext{-CA}_0+ ext{BI},n)$ 增長得比SCG函數還快。
ZFC，BB(ZFC,n)增長得肯定比燃燒數快，甚至可能比Loader數裡面定義的D函數還快。
而在ZFC之上，則是ZFC再加上「存在具有『某性質』的基數」一條公理，所得的玩意兒。其中最為強大的，加的是下面這條公理：（不知道怎麼翻譯）
I0: There exists a cardinal number ρ that satisfy "There exists a nontrivial elementary embedding $j:L(V_{ ho+1})mapsto L(V_{ ho+1})$ ".
即使「神仙」下凡，隱藏了絕大部分的實力，成為BB(ZFC+I0,n)，也能傲視「可計算的」群雄。

九、Ξ函數
即便是「神仙」一樣的第二類大數，它們之間也有高下之分。上面說到的busy beaver，雖然能夠傲視「可計算的」群雄，卻是第二類大數的領域裡最下等的角色。
Ξ函數是由組合子演算中的SKI演算引申出來的。為了理解它的定義，我們首先需要了解SKI演算。

首先定義SKI演算中的「公式」：
S是一個公式。K是一個公式。I是一個公式。
如果字元串a和b都是公式，那麼(ab)也是一個公式。

然後是演算本身。下面3種操作的有限次複合稱作β-規約：

把形如(((Sa)b)c)的公式變換為((ac)(bc))
把形如((Ka)b)的公式變換為a
把形如(Ia)的公式變換為a

SKI演算的計算能力和圖靈機一樣強。因此，按照下面的方法定義出的SKI函數，其增長率與busy beaver相當：
把不能進行β-規約的公式稱作β-範式。從所有長度不超過n的公式開始，通過β-規約，所能得到的最長的β-範式的長度記作SKI(n)。這裡，「長度」指的是一個公式里字母的個數，不計括弧。

例如(((SS)S)(SI))經過β-規約得到((S(SI))(S(SI)))，就不能進行β-規約了，這個((S(SI))(S(SI)))就是一個從長度為5的公式出發得到的β-範式，它的長度為6，所以 $ext{SKI}(5)ge6$ 。又如(((SI)I)((SI)I))經過β-規約得到((I((SI)I))(I((SI)I)))，然後又得到(((SI)I)(I((SI)I)))，又能得到(((SI)I)((SI)I))自己。不論如何操作，不論操作多少次，總是不能得到β-範式。

下面就是Ξ函數超越busy beaver的辦法。定義一個新符號：Ω，作為一種公式。它在β-規約中的地位相當特殊：

對於形如(((Ωa)b)c)的公式，如果a能夠通過β-規約得到I，那麼把(((Ωa)b)c)變換為b，否則變換為c。

這個符號有能力引起一些悖論。可以證明存在一個這樣的公式p，它可以β-規約為(((Ωp)(((SI)I)((SI)I)))I)。引出的問題是，p能不能β-規約為I呢？如果能，那麼根據新規則，(((Ωp)(((SI)I)((SI)I)))I)將變換為(((SI)I)((SI)I))，它就不能β-規約為I；如果不能，那麼根據新規則，(((Ωp)(((SI)I)((SI)I)))I)將變換為I。對於任意的公式，它是否會引起這樣的悖論，是不可判定的（沒有通用的演算法），這就使得它比busy beaver還要強大。

最後，Ξ函數定義如下：在含有Ω的SKI演算中，從所有長度不超過n的公式開始，通過β-規約，所能得到的最長的β-範式的長度記作Ξ(n)。
Ξ(1)=1
Ξ(2)=2
Ξ(3)=3
Ξ(4)=4
Ξ(5)=6
Ξ(6)=17
Ξ(7)=51
$Xi(8)ge98$
$Xi(9)ge167$
$Xi(10)ge296$
$Xi(11)ge513$
$Xi(12)ge846$
$Xi(13)ge196606$
$Xi(14)ge3 imes2^{256}-2$
$Xi(15)>256^{256^{257}}$
$Xi(18)>65536uparrowuparrow65536$
$Xi(24)>2uparrowuparrow(2uparrowuparrow65540)$
$Xi(43)>H_{omega^{omega+1}}(2) imes5$
$Xi(50)>H_{omega^{omega+2}}(2) imes5$ ，超過Graham數
$Xi(57)>H_{omega^{omega+3}}(2) imes5$
$Xi(68)>H_{omega^{omega imes2+1}}(2) imes5$
人們對Ξ函數了解得太少，還不知道當n有多大的時候Ξ(n)能夠超越busy beaver。

十、Rayo數
如果說busy beaver是第二類大數的大門，那麼Rayo數便是第三類大數的大門。與前兩類大數相比，Rayo數簡直就是開掛。簡單說來，Rayo數是在一階集合論語言中用不超過 $10^{100}$ 個字元能夠定義出的有限的數的上確界。

感覺是不是很像「用不超過十七個字能夠表示的最大的數」之類的定義方式？為了避免自我指涉的麻煩，Rayo數選定的是一階集合論語言這一形式語言，但為此付出的代價就是，Rayo函數（把Rayo數的定義裡面的「 $10^{100}$ 」換成自變數）不能在一階集合論語言中定義。
人們對Rayo函數了解得實在太少，還未發現它的一些函數值。

（全文完）

有人說這是數學領域不是科學領域，但是我記得數學是形式科學Formal Science的一個分支吧……
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已知宇宙的全部原子數（估計約 $10^{72}sim10^{87}$ 個）貌似還不到一個googol（ $10^{100}$ ）……
$10^{{ m googol}}$ 稱為googolplex
南非數學家Stanley Skewes提出了Skewes數，此數為滿足 $pi left(x ight)>{<br /> m li}left(x<br /> ight)$ 的最小的x的上界，其中 $pi left(x ight)$ 是素數計數函數， ${ m li}left(x ight)=int_{0}^{x} frac{{ m d}t}{{ m ln}t}$ 是對數積分。1914年，英國數學家John Edensor Littlewood證明了Skewes數的存在性，並證明兩個函數有無窮多個交點。1933年，Skewes在Riemann假設的條件下求出了一個上界，稱「第一Skewes數」： ${ m e}^{{ m e}^{{ m e}^{79}}}$ （這個數略小於 $10^{10^{10^{34}}}$ ），1955年他又在不需要Riemann假設的條件下求出了另一個上界，稱「第二Skewes數」： ${ m e}^{{ m e}^{{ m e}^{{ m e}^{7.705}}}}$ （這個數略小於 $10^{10^{10^{964}}}$ ）
不過在第一第二Skewes數之間可以插♂入一個googolplexplex（也就是 $10^{{ m googolplex}}$ ……
上面的數已經算是很大的了，更大的數需要通過超運算（hyperoperation）來定義：
超運算 - 維基百科，自由的百科全書
Hyperoperation - Wikipedia
比如Steinhaus–Moser表示法（多邊形記號）可以用來表示一些極其巨大的數
這是Steinhaus的最初定義：

例如Mega數②= $4^{4^{4^4}}$ ，這個數比googolplex還要大；還有Megiston數⑩，這個數……咳咳……
Moser擴張了Steinhaus的定義，不再使用圓形，而是使用正多邊形。這裡，三角形與正方形的定義同前，而「n放進m邊形中」=「n放進n個m - 1邊形中」。Moser定義了Moser數，這個數定義為「將2放進一個正②邊形中」（無與倫比的大！）
（Susan Steven對此定義了一個簡化符號：「n放進p邊形中」使用n[p]來表示；[]可以重複使用。例如「『n放進q邊形中』放進p邊形中」可以表示為n[q][p]；「n放進k個p邊形中」表示為n[p]k。）

再介紹一個神奇的超運算方式：Knuth箭頭號表示法
這一表示法由Donald E. Knuth於1976年設計，它的靈感來自冪是重複的乘法，乘法是重複的加法，因此Knuth童鞋定義了一種新的演算法來表示重複的冪——也就是Knuth箭頭號表示法。一個箭頭實際上等價於冪，兩個箭頭則表示重複的冪運算：

（上式最右讀作「b個a重冪」）

例如： $3uparrow uparrow 2=3^3=27$ ， $3uparrow uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$ ， $3uparrowuparrow4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}=cdotcdotcdot$

同理，可以定義

當然，如果要用很多個↑，可以表示為： $auparrow ^n b$

例如 $a uparrow uparrow uparrow uparrow uparrow b=a uparrow ^5 b$ 。

有了Knuth箭頭號表示法，我們可以引入一個極其、特別、非常巨大、龐大、huge的數：Graham數。

Graham數由著名美國數學家Ronald Lewis Graham提出，曾經被視為在正式數學證明中出現過最大的數，後來則被神一般的TREE(3)取代。它大得連Knuth箭頭號表示法也難以簡單表示，而必須使用64層Knuth箭頭號表示法才表示的出來。Martin Gardner於1977年11月在美國著名流行科學雜誌Scientific American的「數學遊戲」專欄將此數刊登出來，1980年被Guinness世界紀錄訂為在正式數學證明中出現過最大的數（現在已經不是了）。這個數是在Ramsey理論的某個問題中出現的。

問題如下：

考慮一個n維的超立方體，連結所有頂點，有一個2n個頂點的完全圖。將這個圖的每條邊填上紅色或黑色。求n的最小值，才使得所有填法中都必定存在一個在同一平面上有四個頂點的單色完全子圖。

這個n到現在也不知道準確值，但是Graham筒子找到了n的一個上界（也就是n再大也大不過這個數），這個數就是傳說中的Graham數：

（64L就是64層的意思……這都是細節，不要介意……）

看到這個數，我只能憋出五個字：真特么的大！

Conway鏈式箭號表示法可以為這個神tm大的數簡單地定出上下界： $3 ightarrow 3 ightarrow 64 ightarrow 2<G_{64}<3 ightarrow 3 ightarrow 65 ightarrow 2$ 。

不過尷尬的是，早在這個Granham數被刊登之前的1971年，Graham就已經找到了n的更小（小的多得多但是依然特別大）的一個上界 $F_{left(7 ight)}left(12 ight)=Fleft(Fleft(Fleft(Fleft(Fleft(Fleft(Fleft(12 ight) ight) ight) ight) ight) ight) ight)$ ，其中 $Fleft(n ight)=2[n+2]3=2[n+2][n+2][n+2]$ 。

唔，我試試能不能用破乎自帶的TeX寫出Graham數：

$3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{3uparrow ^{4}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3}3$

woc……似乎看不清了……不過無所謂了2333

接下來是比Granham數還要大的TREE(3)。TREE這個函數的增長是神tm地快，其定義如下：

TREE(n) is the length of a longest sequence of n-labelled trees T1,...,Tm in which each Ti has at most i vertices, and no tree is embeddable into a later tree.

易知TREE(1)=1，TREE(2)=3，然後……

TREE(3)就炸了。

關於TREE(3)的詳細信息，可以參考科學領域中目前有意義的最大數字是多少？ - HypCos 的回答 - 知乎

參考資料：

1 Googolplex - Wikipedia

2 Skewes" number - Wikipedia

3 Steinhaus-Moser notation

4 Knuth"s up-arrow notation

5 Graham"s number - Wikipedia

6 Kruskal"s tree theorem

龐加萊重現。龐加萊證明了一個孤立力學系統經過足夠長的時間後，總是可以恢復到初始狀態附近，如果該質量為整個宇宙的話，其時間上限大約是10^10^(10^(10^(10^1.1)))年經過這麼久之後，大概能到我再一次給你寫這個回答的時候。

數學領域和科學領域是兩碼事，要說科學領域的話，最大的有意義的數應該是龐加萊重現時間
詳細介紹可以看看這個有哪些顛覆了你原先對這個世界理解的理論/學說？ - ktangels 的回答 - 知乎
數學領域就走遠了……給你推薦本書叫《大數入門》
大數入門_圖文_百度文庫
單從目錄來看，宇宙的全部微粒數大概屬於章節1.3。而作為程序員一般能接觸到的最大的應該是2.3的阿克曼函數，當然實際使用的應該反阿克曼函數，有一個著名的演算法效率是反阿克曼函數。
而上面某答主提到的TREE（3），屬於章節6.1，已經基本是尾聲了。因為章節7序數實際上是在說無窮大，已經不能算是正兒八經的數了

不存在，假設M是一個科學領域最大的有趣的數字，那麼M+1就是第一個""從此以後再無有趣之數的數"", 而這個性質本身也很有趣，與M的最大性矛盾。

===抖個機靈，不要當真===

明確構造出來的應該是 TREE(3) 和 SCG(3)
用各種形式系統可以弄出一些增長速度超過你的想像力的函數，比如，「G?del 編碼小於 $10^{100}$ 的所有二階邏輯謂詞」構成一個集合，其中每個項目都可以對應一個新的集合，它表示滿足這個謂詞的所有一階邏輯命題。那麼所有非空命題集合中必然存在 G?del 編碼最小的一個命題，這些「最小命題」的 G?del 編碼的最大值就是一個大到超越想像的數。
但它仍然是有限的。

人生中第一次被一個數字所震驚。
12態忙海狸……

--來自《邏輯人生哥德爾傳》

我只知道有三個數是有意義的最大的數（或者它們不應該被稱作數，但絕對有意義）。
1.自然數的數目。
2.實數的數目：它比1大。
3.所有函數的數目：它是目前知道的最大的數，比2要大。
如果不考慮有意義，那麼
4.函數集合的所有子集組成的集合的元素個數比上面第3點的數要大。
但這樣無意義，因為對於4也由它的全部子集組成集合，元素個數比4也要大。
如果真的允許此無意義的數存在，那麼最大的數無疑是：宇宙中所有元素和集合組成的集合的元素個數是最大的。但是，這真的無意義，並且很危險，因為由此可以得出一個悖論：
該集合（稱為全集）包含它自己嗎？如果包含，則發現得到了新的集合，與全集包含所有集合矛盾。如果不包含，也與包含所有集合矛盾。所以，我們的宇宙是矛盾的，或者人類的邏輯是有局限的，當我們的思維觸及時空邊緣時，總會出現問題。

比較一下無窮大吧。

上面答案里提到的任何數，無論有多大，只要能表示為一個有限數，顯然都小於任何「無窮大」的數。「無窮大」可以有很多表示法，比如「所有整數的個數」和「所有偶數的個數」都是無窮的。那麼這些「無窮大」之間如何比較大小呢？

其實…

不同的無窮大數（超限基數）之間是可以比較大小的
上面提到的「所有整數的個數」和「所有偶數的個數」是相等的（注意到可以把每個整數 1, 2, 3... 一一對應到每個偶數 2, 4, 6... 上）
上面提到的「所有整數的個數」是「最小」的超限數，計作 $aleph_0$ （阿列夫零）。若選擇公理成立，則下一個更大的超限數計作 $aleph_1$ ，以此類推…

關於阿列夫數…

$aleph_0$ (Aleph Naugh 或 Aleph Zero)：實數集（整數、奇數、偶數、平方數、質數、代數數、有理數…集）的元素個數 —— 是的，他們都是「相等」（等勢）的
$aleph_1$ (Aleph-1)：實數集的冪集的元素個數
$aleph_2$ (Aleph-2)：基數為 $aleph_1$ 的所有良序集的所有等價類構成的集合的基數
……
$aleph_n$ ：基數為 $aleph_{n-1}$ 的所有良序集的所有等價類構成的集合的基數

阿列夫數有什麼「實際意義」？

$aleph_0$ 可以表示為上面提到的各種數的集合的基數
$aleph_1$ 可以表示為任何一條線段（一個平面、一個空間）內所有幾何點的數目
$aleph_2$ 可以表示為所有種類的幾何曲線的數目
$aleph_3$ 有什麼實際意義並不知道……

我不知道有意義的最大數字是什麼，但我覺得最有意義的大數字是googol。

[Larry] Page and [Sergey] Brin ... [eventually] changed the name to Google, originating from a misspelling of the word "googol", the number one followed by one hundred zeros, which was picked to signify that the search engine was intended to provide large quantities of information.

Google - Wikipedia

不存在這樣的數，因為：

每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a" ，a" 也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，例如，1的後繼數是2，2的後繼數是3等等）；

如果某個數滿足題主描述的科學領域中有意義的最大的數，那這個數的後繼數也算是「科學領域中有意義的數」吧。

不過，還是感謝幾個高票答案，學到很多。

我知道定義出各種新的函數來表示更大的數字當然可以很輕鬆超過本文這個數字，但是這樣的數很難找到一個真正對應的模型來描述它到底有多大，本文暫時只考慮能有模型對應的數字，本文最重要的也就是這個模型的建立。
另外，幾個高贊答案真的很乾貨，值得看一看

以下是原答案。

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看了幾個答案，發現大部分是抖機靈或者說的數都太小。是無數個數量級的意義上的小。

這是一個我能描述出來的，可在自然界里找到對應模型的最大數（這個數不能拿來運算變成其他數，否則無論這個數有多大，加上1或者乘個2都比它大，這也是我說通常意義下不存在最大數的理由）

最重要的是，這裡窮舉了宇宙範圍內時間和空間變化的所有可能性。

1. 以人類目前所觀測到的或理論計算得出的宇宙的體積作為討論對象a.
默認a=3.5×10∧48m3

2. 以人類目前所觀測到的或理論計算得出的最小粒子的『長方體體積』為討論對象b
默認最小粒子為夸克，b=10∧-54m3（存疑）。
忽略掉上帝粒子等未證實的更小粒子
ps：所謂長方體體積，是我胡謅的一個詞（本文要胡謅好幾個詞）比如直徑為n的球體粒子的長方體體積為n3，只是為了方便計算和建模。

3. 令c=a/b=3.5×10∧102為宇宙範圍內的基本微粒位置數（另一個胡謅的詞）

4. 令d為宇宙範圍內可計算的最小粒子數。
默認為夸克數加電子數，d=4.6×10∧79個，ps：電子直徑為夸克的若干千倍，但宇宙範圍內其數量只有夸克的0.28倍，所以忽略電子直徑遠大於夸克所帶來的影響，另外再忽略掉光子中微子引力子等沒有質量的粒子

5. 設e為時間最小尺度
默認e=10∧-43s
忽略這個時間尺度下，時間空間融為一體且空間維度高達十維的事實

6. 設f為宇宙年齡
默認為138.2億年，即g=4.4×10∧17s，忽略宇宙不同時期體積不同的事實

7. 把每個時間最小尺度里的宇宙片段定義成宇宙幀（胡謅詞），則宇宙誕生至今共經歷了g=f/e=4.4×10∧60幀

是不是覺得上面的假設和默認都很毀三觀？
還有更毀三觀的，也是本文最重要的假設！！！往下看。

再次預警！！！！！！！！！！！！！！

8. 假設宇宙里所有粒子在任意宇宙幀里隨意分布在宇宙的任意最小體積單元b里，且下一個宇宙幀又進行一次隨機分布。每一種可能的分布都誕生了一個獨立的平行宇宙。在138.2億年里共誕生出N個平行宇宙。

9. 一共存在著h=c！/d!=（3.5×10∧102）！/（4.6×10∧79）！種宇宙幀

10. 宇宙經歷了g=4.4×10∧60宇宙幀，且每一幀都是h種宇宙幀里的任意一種。

那麼！問題來了！挖……
額，不，有多少個平行宇宙？

答案是
N=h∧g=[（3.5×10∧102）！/（4.6×10∧79）！]∧（4.4×10∧60）

那這個N到底有多大呢？
下面解釋一下到底有多大

給個不太合適的參考吧：
100！=（10∧2）！≈9.3×10∧157，也就是說100的階乘是一個158位數。
我們常把增長的快形容為指數形式的增長，但是階乘函數的增長速度遠大於指數函數，學過高數的都應該知道階指冪對原理，我就不多說了。
也就是說，光h這個數你就已經無法想像了，更何況它還有一個指數是！而且g是一個61位數！！！
總之，就是，N有著你最最最無法想像的一個數量級。

再或者，就是把N用科學計數法表示後，把10的指數單獨拿出來再用科學計數法表示，然後這個10的指數的大小你都很難想像得出來！

這絕對是自然界中可以有對應模型的所有數字裡面最大的一個。因為這已經窮苦舉出了宇宙範圍內的所有空間和時間的可能性的組合。

就是那麼喜歡鑽牛角尖！！！
為腦洞而生。

寫在結尾:
手機打字真的不爽。
這個假說在我腦袋裡很早之前有了，今天看見這問題就想完善一下。
資料現找的，部分數據或定義目前還沒有統一，但是這肯定比這個問題里的其他回答里提到的數字要大的多。
而且最重要的是我的假設和建模沒有局限在已知的科學範圍里，其中最為精華的是第8條假設，誰能確定我們的宇宙就不是這樣運行的呢？也許下一個宇宙幀整個宇宙里所有基本微粒就隨機分布在任意的最小體積單元里也說不定。（所以就把下一個宇宙幀當成世界末日把，好好愛那些愛你的人……）
只不過我的這個假設無法被證實也無法被證偽。
我還把這個假設寫進了一篇科幻小說里，總感覺腦洞開到極致確實會累……

另：我還真的想知道N用科學計數法表示後，10的指數是多少？
有大神能知道大數階乘的位數有什麼規律嗎？比如一億的階乘是幾位數？
又另：看完葛立恆數，TREE（k）的定義，感覺到了別人的行文方式和用詞準確度確實遠勝於我，我只是開了一個腦洞，想計算出宇宙在空間和時間尺度上所發生的所有可能性。但是在新的特殊函數面前仍然不堪一擊。數學這東西，竟然可以有趣到想吐……詭異的形容。

以上。

謝邀，科學上不知道，但是我寫小說為了調侃小學生抖數字流，用了個「無數古戈爾個宇宙紀元」來表示時間。

∞

63.15

記得@雨亦奇的一篇文章中介紹過葛立恆數。

1024

以前有個朋友告訴我，42 is the answer.
我很想念那位朋友。