成功概率為 1% 的事件，理論上平均要嘗試到第幾次才能成功？

11-28

該問題是從成功概率為1%的話，理論上重複100次就有1次成功，那為什麼要嘗試450次才有99%的可能成功呢?引申過來的，感覺上之前題主可能想知道的是這個問題。

簡易解法。
假設需要平均嘗試x次。
第一次嘗試，有兩種結果：
1) 1%的可能性一次就成功。在這種情形下嘗試了1次。
2) 99%可能性要繼續嘗試，接下來的嘗試中，平均需要嘗試的次數還是x。在這種情形下嘗試x+1次（包括第一次失敗那次）。
這兩種情況的平均值，就是平均需要嘗試的次數。所以
$x = frac{1}{100} cdot 1 + frac{99}{100} cdot (x+1)$

解方程得x=100.

P.S. 這個問題下面幾乎所有的解答都是錯的，只有一樓和那些用到了幾何分布的答案才是正確的。這其實是一個幾何分布的first passage time的問題。

如果不滿足幾何分布：
假設題目變成「理論上要扔多少次硬幣，才能得到兩個連續的正面」。答案不是1/0.25=4（兩個連續正面的概率是0.25），而是6次。
假設題目變成「理論上要扔多少次硬幣，才能得到三個連續的正面」。答案不是1/0.125=8（三個連續正面的概率是0.125），而是14次。

@vczh 給的式子是對的，不過沒給答案， @komari kamikita 給的答案是對的，不過大神不屑於回答。我這裡寫得稍微詳細點，其實就是幾何分布，這個題目不是以前經常是以射箭首次擊中目標的形式出現么？換成成功大家都不敢答了？？
定義X為首次試驗成功的試驗次數，p=0.01是一次試驗成功的概率，則題主要求的首次試驗成功的平均試驗次數就是
$E(X)=1*p+2*(1-p)*p+3*(1-p)^2*p+..... =1/p=100$
千萬別問上面的1/p怎麼得到的，這種等差乘等比數列（無窮級數）的形式高中生都知道乘個公比再求差畫簡。
這種題目還有個有意思的版本，見我在如果一個社會長期重男輕女，大家都想生男孩，最終會導致這個社會男的多還是女的多？ - 眭以寧的回答中的回答。

期望等於

1 * 第一次就成功的概率

+ 2 * （前1次都不成功的概率 * 第二次就成功的概率）

+ 3 * （前2次都不成功的概率 * 第三次就成功的概率）

……

列出來取個極限就知道了，現在都不記得怎麼求極限了

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這個問題不需要算的
假設我們不間斷地重複做獨立實驗x次，x特別特別大。那平均來講有x/100次成功
(嚴格地說是極限情況下成功次數除以x以概率1等於0.01)
平均試幾次就等於x/100次成功需要試的次數求和再除以成功次數，剛好就是x/(x/100)=100

因為每一個事件都是獨立的，沒有記憶性。

沒有記憶性的話，第幾次的概率都是1%，我們算出來的其實是"至少有一次成功"的概率，而不是第幾次成功的概率，因為第幾次都是1%。

只有存在記憶性的時候，次數才可能影響概率，比如一百個球裡面有一個紅球，第一次沒抽到，把球扔了不放回去，第二次抽的概率就是九十九分之一了。不放回抽樣的情況，抽到第一百次就肯定能抽到。

另外，彩票是放回抽樣的，所以彩票第幾次中獎的概率都一樣！

這是典型的幾何分布. 題意中說"理論上平均", 統計學上的說法就是求期望. 所以, 此題就是求幾何分布期望. 答案是 1/p, p在此題中是0.01, 所以是100. 這跟樸素直覺一致, 這中間藏著一個重要原理, 叫大數定律, 即當試驗次數很大時, 會呈現出概率性質的定律.

原來問這個問題的人可能沒有學過這方面知識. 所以不列求解公式. 如果感興趣, 可了解"概率分布", "伯努利試驗", "期望" "幾何分布"等概念.

可以用馬爾可夫鏈來解答。

兩個狀態：成功(s) 或失敗(f)
三種過渡：a，成功至成功 100%； b，失敗至失敗 99%； c，失敗至成功 1%

初始狀態為失敗。我們定義 $X_s$ 為累積嘗試次數； $mathrm{E}[...]$ 為期望。不難寫出如下等式以及其解：
$egin{align*} mathrm{E}[X_s | s] = 0\ mathrm{E}[X_s | f] = 0.99 * (1 + mathrm{E}[X_s | f]) + 0.01 * (1 + mathrm{E}[X_s | s])\\ mathrm{E}[X_s | f] = 100 end{align*}$

另外一種解法相對好理解一些：期望簡單講就是加權均值。對於任何一種可能嘗試的次數 $iin [1, infty)$ ，相對應的概率是 $0.99^{i - 1} * 0.01^{1}$ 。解的時候用到一點無窮級數的概念。
$egin{equation} egin{split} mathrm{E}[X_s | f] = lim_{n ightarrow infty}{sum_{1}^{n}{0.99^{i - 1} * 0.01^{1} * i} }\ = frac{0.01}{0.99} * lim_{n ightarrow infty}{sum_{1}^n{0.99^i * i}}\ = frac{0.01}{0.99} * frac{0.99}{(1- 0.99)^2}\ = 100 end{split} end{equation}$

不難發現以下通解：
我們定義 $p$ 為成功概率，則 $frac{1}{p}$ 即為預期的在到達第一次成功時的嘗試次數之和。

稍微延伸一下這個問題：
1. 在嘗試不超過預期的 $frac{1}{p}$ 次之前即成功的概率有多大？
$egin{equation} egin{split} P(X leq frac{1}{p}) = sum_{1}^{frac{1}{p}}{(1 - p)^{i - 1} * p}\ = 1 - (1 - p)^{frac{1}{p}} end{split} end{equation}$
具體在這個 $p=0.01$ 的問題上，在嘗試100次之前就可以成功的概率約為63.40%。

2. 在 $q in [0, 1)$ 的置信水平上，若想成功預計需要多少次嘗試？
$egin{equation} egin{split} 1 - (1 - p)^N geq q\ N geq log_{1-p}(1-q) end{split} end{equation}$
具體在這個 $p=0.01$ 以及 $q=0.99$ 的問題上，預期需要至少嘗試約459次 $log_{0.99}(0.01) approx 458.21$ 。

謝邀。

成功概率1%的事情並不是100次嘗試就能以高概率遇到成功。

給個簡單點的例子就好理解了。假設成功概率是50%，例如拋硬幣，並不是拋兩次一定得到一次正面的。實際上

拋兩次得到一次正面的可能性
=1 - 拋兩次都是背面的可能性
=1 - 0.5*0.5
= 75%

對於1%的事件，嘗試N次遇到一次成功的概率是
1-0.99^N (感謝朋友們指正)
要追求99%概率，解方程就可以得到N=458

-------- 神出鬼沒分界線
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仔細看樓主的題，發現我的回答是針對」 N次嘗試里出至少一次」的概率。

「平均多少次才能成功「應該是這樣的:

1-&>無窮對N積分：f(N)
= {N * (N-1次嘗試連續失敗，第N次成功的概率)}

也就是：

1-&>無窮對N積分：f(N)
= N*0.99^(N-1)*0.01

我就不想算了……

來值乎問我問題

任何概率不是100%的事件，理論上要重複無窮多次可以確保必然發生。

這問題有意義么......
怎麼感覺很多人被題目擺了一道.....

題主說的是平均，當然是100啦，因為1%的意思就是在試驗次數足夠多次的情況下「平均」每100次能成功1次是為1%.......

這就好像...數學裡1+1+1為何=1*3一樣...是因為*3就代表重複相加3次....

至於之前那個問題....那是因為人家求的是成功率99%的次數而不是「平均」幾次能成功啊....

其實還有更簡單的解釋方法。。。

成功的概率是1-（1-0.01）^n, n代表嘗試次數，如果是平均多少次可以成功，那就是100次，嘗試一百次的成功率是多少，那就約等於1-1/e,大約0.63

用期望值來算吧，期望值為1的時候，就是這個平均數了。剛好就是100

題主玩玩百萬亞瑟王試試⑨次十一連就懂了，或者問問非洲人。。。╮(╯▽╰)╭

這種問題應該從兩個角度考慮答案: 第一，成功的期望次數是多少，答案就是100，解答過程見其他回答；第二種，一定會成功的次數至少是多少，答案當然是458,解答過程見其他回答！