如何證明透射電鏡菲涅爾條紋，在 underfocus 和 overfocus 下分別是白色和黑色的？

關鍵字：Fresnel Fringes；Cornu"s Spiral；Conjugate Planes；Weak Phase Object approximation

第一部分，菲涅爾條紋（Fresnel Fringes）的直觀感受；
第二部分，菲涅爾條紋物理模型的簡介；
第三部分，在透射電鏡中，菲涅爾條紋與欠焦和過焦的聯繫。

進入正題，菲涅爾條紋是電子顯微學裡一個重要的概念的，我給題主的問題補充一個圖，在透射電鏡中，可以看到碳孔的邊緣在欠焦，正焦和過焦條件下分別是亮，襯度不明顯和暗的。

提取出的物理概念就是，在相干光源（電子或者光子）照明下，物體邊緣的干涉條紋就是菲涅爾條紋。（比如把電子槍從熱電子發射的換成相干性更好的場發射的，可以看到更明顯的菲涅爾條紋，如下圖）

接下來介紹菲涅爾條紋的物理模型，主要來源費恩曼物理學講義第一冊。

如圖30-7，考慮一個完全不透光的障礙物AB的邊緣，在平行光照射下，那麼遠處的熒光屏上接受到的圖像是什麼樣的呢。首先把透光部分看成由無數個無窮小的光源的排列而成，那麼在熒光屏上某一點接受的光就是由這些無窮小的光源的作用的疊加效果（由於各個無窮小光源到熒光屏上的點，比如P點的距離不同，所以光程差也不同，也就是他們之間有相位差，疊加的時候需要在複平面內用矢量來疊加）。舉個例子，D到P和E到P的光程差是，也就是離中心D越遠，他們之間的光程差越大（並且光程差的變化率也是越來越大），把光矢量寫出複數形式，A是光矢量振幅，theta是相位角，那麼相位差也就越大，如果在複平面內畫出來，那麼就是相位角對於弧度的變化率也越來越大。如圖30-8，若以D處的光矢量為參考，向右是往DC方向走，進行疊加，那麼無窮小矢量將會旋轉得越來越快，最後呈螺旋狀，收斂於某一個點，也就是無窮遠處；往相反的DB方向，假如不存在障礙物的話，那麼是對稱的。現在存在障礙物AB，那麼在圖30-8中，只能往左走到的位置，最後在熒光屏P點的光矢量就是連接圖30-8中的這個矢量了，其中就是右側螺旋的收斂處，最終的亮度取模的平方就好了。這個雙螺旋的圖就是Cornu"s Spiral。
那麼熒光屏上其他店的亮度呢，與上述推理完全一致，只需要整體平移一下就好了，比如說R點的強度，這個時候體現在Cornu"s Spiral圖上的就是，你往左能夠走的更遠了，也就是矢量的出發端沿著螺旋線向左逐漸墜入左側的螺旋中心。
最後也就能定性畫出熒光屏上光強的變化曲線了，如圖30-9所示，以B對應的熒光屏上的點為分界線，往下，熒光屏逐漸變暗，也就是在Cornu"s Spiral圖上，矢量出發端逐漸向右，直到墜入右側螺旋中心，光強為零；往上，在邊緣附近，光強會出現一段振蕩區域，這來自於Cornu"s Spiral圖上，矢量出發端在旋轉墜入左側螺旋中心的時候，矢量的長度在振蕩，並且振幅越來越小，這就是菲涅爾條紋的來源，最後完全墜入左側螺旋中心的時候，矢量長度為定值，就是平行光的強度。

思考題：熒光屏與障礙物的距離對菲涅爾條紋有什麼影響？

最後終於鋪墊完了基礎知識，可以進入問題環節了。
簡單提一下共軛平面的概念（Conjugate Planes），在光學系統中，由於透鏡的存在，每一個物平面都存在一個與之共軛的像平面。如下圖，載透射電鏡中，熒光屏是固定的（略去了投影系統），物體所在位置假如也是固定的，能改變的物鏡電流大小，那麼在過焦情況下，與image plane共軛的就是object plane，它實際上在物體位置的下方（圖上是右方，電鏡光路通常是從上到下，習慣叫法是下方）！！
也就是熒光屏上看到的是，在電子束照射下，物體在object plane上所呈的像，然後這個像通過物鏡才傳遞到了熒光屏上。

所以現在要想知道在熒光屏上會看到怎樣的像，就要先知道從Actual obeject 到Obeject plane所呈的像，這個時候就可以用到在上一部分的分析了，不過這一次光矢量變成了電子的波函數，但是它們都是用一個複數來描述的，本質上可以進行同樣的分析。如下圖所示，小箭頭表示的都是每個無窮小光源對應的複平面裡面的矢量。

但是問題來了，過焦情況等價於object plane在actual plane的正下方；欠焦情況等價於object plane在actual plane的正上方，相當於光路往上。然而這樣的話，過焦和和欠焦條件下並沒有區別啊！！！邊緣看到的菲涅爾條紋第一個都應該是亮的！！！
那麼問題出在哪兒呢，回到模型最開始的假設處，我們假定了障礙物完全不透光！但是在透射電鏡中，我們知道碳膜和薄樣品都是透電子束的。所以我們又來做另外一個極端的假設了，假設障礙物完全透光，但是會改變透過電子的相位，這就是弱相位近似（Weak Phase Object approximation），在樣品非常非常薄的情況下可以認為是對的，

那麼這個時候障礙物那部分的透過電子束對最後的強度也有貢獻了，不同的是所有這些小矢量都有一個相位角的偏移，如下圖所示

往下的方向是過焦情況，，經過障礙物的電子相位角都有一個逆時針的偏移（觀察WPO的公式就知道為什麼了），而原來的從左向右都是相位角順時針旋轉，那麼這在Cornu"s Spiral圖上的表現是什麼呢，我簡單的畫了一下，剩下的大家腦補吧。
首先考慮對應於正好在邊緣的像，看下面的A圖，由於右側所有的小矢量都有一個旋轉角，但是它們的內稟關係沒有改變，這就好像剛體的旋轉一樣，所以是繞著Cornu"s Spiral中心對稱點逆時針旋轉一個相位移偏轉角，然後連接上兩個螺旋的中心（因為沒有電子是全透過去的，所以得一直加到無窮遠處！！！）。那麼從障礙物邊緣再往外面走一點點的地方呢，如下B圖，參考前面Fig 3的作圖方式，這樣得順著螺旋往右邊走上一段距離，然後再繞著該點，旋轉相同相位角偏移量。顯然我們發現在從邊緣往外的過程中，我們將會迎來一個最小值，這就是過焦條件下的黑線！！！所以越往外走，就好像在把右側的螺旋越壓越緊！！！

再來考慮欠焦條件，這時螺旋旋轉的方向變了，如下。大家可以自己分析一下，這時越往外走，右側螺旋就在慢慢被揭開，就像一個線團逐漸打開了一樣！！！

論證到這裡我們已經講清楚了在兩種極端假設情況下的菲涅爾條紋隨著defocus的依賴關係了，那麼實際情況，既有一定程度的吸收，又有相位角的怎麼解釋呢？
現在我們會發現把這兩個極端假設解決了之後，實際情況就非常明朗了，當我們考慮一定程度的吸收（準確的說是非彈性散射）的時候，答案是我們只需要把右側的螺旋大小按照一定比例收縮就行了，相當於強度降低了！
如下圖（過焦條件下）

細心的童鞋們一定已經發現了這個B不是比A的要大嘛，(╯‵□′)╯︵┻━┻，這不坑爹嘛，怎麼會出現黑線。。 ミ ?Д?彡
這個是因為我從邊緣往外面走得太多了，已經越過了第一個最小值了，進入了振蕩的區域，大家畫圖的時候，把往右的距離走的稍微小一點就可以得到這個結論了。以上。