二維空間的封閉是圓，三維空間的封閉是球，四維空間的封閉是什麼？

11-28

話說，我們現在所生活的宇宙，是不是就是一個四維的封閉？

這不是一個嚴肅的物理題，我只是希望知道一些科普知識。謝謝！

圓是一種兩維空間里的一維封閉曲面，又叫一維球面(1-sphere)。
球面是三維空間里的兩維封閉曲面，又叫兩維球面。
在n+1維空間里的n維封閉曲面，拓撲上是n維球面。
前一陣被證明的龐加萊猜想就是關於三維球面。

歷史上，曾經有一套幾何術語，把圓叫做兩維球面 (2-sphere)，依此類推。
n 維球面意為 n 維空間里到定點距離相同的點的集合，和上面的定義不同。
這種說法可能已經過時，待驗證。

另外你說的四維空間來自相對論。
這不是歐氏空間，而是Minkowski空間。
距離的定義變了，球面的定義也變了。
在閔氏空間，球面不一定封閉，也不一定連通。

在三維空間里我們用球極平面投影[1]將球面映射到平面。
方法是，把球放在桌子上，在球的頂部裝個燈，球的影子就投在桌面上。
投影的效果是，球的底部仍在原點，球的頂部被投影到無窮遠。
數學上我們用同樣的方法，把四維球面投影到三維空間[2]，從而將其表示出來。

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/3-sphere

這是一個很嚴肅正經的數學問題。

我這裡給出嚴格數學意義上的歸納。你看完之後，會發現其實四維空間沒有你想像中的複雜，要理解4維的球形並不是不可能。本文盡量不用公式和術語，方便大家理解。

你看不到不代表它不存在，更不代表我們想像不到；18世紀被提出時就被認為無稽之談的四維幾何在愛因斯坦提出相對論之後，越來越有實際應用價值。

在這裡並沒有引入除公設公理之外任何的假設，整個數學大廈的構建依靠的基礎就是如此簡單，高維空間也不例外。如果你能夠在一張二維紙上具象三維物體，我就能引導你在一本三維「書」上具象四維。

某維空間的球(Hypersphere)可以看成該維度空間內所有到某一固定點小於等於相同距離的點的集合。

空間內的封閉可以是不規則圖形，如果用最簡單的圓形封閉，本句可作為該問題的答案，但要如何理解呢？四維空間里，就算是最簡單的圖形，解釋起來也要花點功夫。

開始前，首先要明確四維空間的定義。
少數人認為「第四維就是時間」，是的，這是四維時空的第四維，但不是四維空間的第四維。詳見四維空間為什麼不是三維空間加上時間？ - 視限的回答

Part 1：關於四維球

為方便記述，記一點為原點，建立歐氏幾何直角坐標系（其實建立球坐標系描述要簡單得多，但為更多人所理解，此處用大家熟悉的歐幾里得空間建系）。封閉距離設為1。在n維空間就有n個任意兩兩都垂直的坐標軸。

所以在一維空間，球的邊緣只有兩個點，-1，和1。
沒錯，一維球在我們三維空間來看就是兩個點：
. .
雖然可能感覺很奇怪，但從定義上（x2=1的實解）討論，就是這樣，一維世界的圖形除了點線還有什麼呢？
如果我們將這兩個點繞著中心的點在平面旋轉一周會得到什麼呢？
在二維空間，我們可依勾股定理公式得出所有到原點相同距離的點的集合，x2+y2=12，得到的是無數個實數解，這些點形成二維空間的封閉圖形：
〇
圖形內的點在二維空間內無法不通過此圖形而越到外面。
如果我們將這個圓繞著中心的線在三維空間旋轉一周會得到什麼呢？
在三維空間，相同道理，x2+y2+z2=1，也得到無數個實數解，這些解的集合是一個三維球，是很易理解，每個點都是上述方程的解

如果我們將這個球繞著中心的面在四維空間旋轉一周會得到什麼呢？

看起來這三段話都是廢話，但是這些都是作為理解四維球的鋪墊，為了方便理解概括這些規律與對應關係。

那麼正文

請看下圖，點P在三維坐標系的位置，屏幕里畫著的實際上不是立方體，而是一個立方體在二維平面的投影（projection）。但這時候你的想像力已經把這個圖形勾勒成一個立方體了，相信所有生活在三維空間的我們都可以做到這一點。現在請把你的手指垂直立在下圖原點，你的手指與屏幕垂直，也與該三維膜垂直。

在四維空間，為了找出在四維空間內所有到原點相同距離的集合，我們要建立一個方程來確定這些點的集合，這個方程為x2+y2+z2+w2=1。推理方式和三維球體相同，可以輕易理解此方程的可以直接跳過下面的推理。

因為三維空間在第四維（你手指的方向）沒有厚度，我們把它看成在屏幕上，所以我們也把它叫做三維膜。
假設新維度的坐標軸為w軸，一般習慣叫它w軸。假設將上圖點P向w軸方向平移w，記為P" ，則其位置為 (x,y,z,w)。P" 離XYZ空間的距離為w，現在我們得到一個三角形，直角邊之一為PP"，另一個直角邊為OP，斜邊為半徑OP"。此時斜邊長即為P到原點的距離，也是四維球的半徑。
已知半徑為1
則通過勾股定理可以得到d2+w2=12
我們又知道d2=x2+y2+z2
所以x2+y2+z2+w2=1
以上

注意w軸在這裡並不特殊，因為任意兩個坐標軸都是相互垂直的。我們也可以把x軸或者y，z軸單獨提取出來，得到相同的結論，因為不管從哪個軸的方向看，歐幾里得四維空間的坐標軸結構都是相同的，所以以上公式也是如此，式中的xyzw可以隨意替換。

通過這個方程我們得到一個龐大的集合，也就是一個四維球體(4-sphere)，更高維球體也是如此推理得到。

可能有些同學會問，就算你這麼說，就算我能在代數上理解這些點的集合。我還是想像不出來高維球到底是什麼樣子啊。

1.2 找到w軸的方向

又是一個新的問題了。各位請打開你們的腦洞，最好換張顯卡，我們沒有關於四維空間的任何實際經驗，這很可能是我們一生中最難想像的東西。建議你在想像四維球之前先想像超立方體：人類如何感受四維空間？ - 視限的回答

你正在尋找一個方向，一個在此之前你從未知道的方向。

相信大家感覺最困難的是如何想像出一條坐標軸與現有三維空間的三個維度相垂直。這也是第一步。因為在我們想像的時候，總是有意無意地把這條第四維坐標軸放進了我們的三維空間裡面，我在剛學的時候也是這樣，這是個很容易或者必定會走入的誤區（就像你試圖把z軸放進XY空間內），然後建出個斜角坐標系。
我先列舉幾條關於這條坐標軸的幾何屬性，避免大家把這條直線禁錮在自己熟悉的三維空間內。
1: w坐標軸與原有xyz空間僅有一個交點
2: w坐標軸垂直於xyz空間（一條線垂直於一個空間是指，這條線垂直於這個空間里的每條線，每個面）
3: w坐標軸可與xy平面構成一個三維空間，一個垂直於z軸的空間。
4: 經過任意一點，必定可找到4條相互垂直的直線，這四條直線必定可經過xyzw軸旋轉平移得到。
5: wxyz 可以任意互換，以上4條描述依然成立

代數構建：

當w=1，函數解為x=y=z=0，就是說這個四維球體在w=1的三維膜上只有一個點(0,0,0,1)
當w稍小於1時，xyz的函數解開始形成一個三維球。
…
當w=1/√2，函數解為x2+y2+z2=1/2，即一個半徑為1/√2的三維球體，在十六個象限中的第一象限的其中一個點可以表示為（1/√8，1√8，1/2，1/√2）
…
當w=0，函數解為一個半徑為1的三維球體
…
w為負時偶函數對稱。

在四維空間，三維空間也叫三維膜。

這個膜的意思指無厚度，而不是指三維空間里的一個平面切片。三維空間是四維空間的一個切片。一個三維物體只有長寬高，不管你在四維空間中如何擺放，總有一個方向，它是沒有厚度的。
如果你把眼前的屏幕想像成一個三維膜（實際上是二維膜，所以需要靠你想像），那麼以下方法可以幫助你想像w軸，但前提是你想像力必須大到可以同時在腦中印象大量的立方體。如果要想像四維球，必須同時印象大量的三維球；就好像你想像三維球的時候，你腦中印象大量的圓形。

四維空間很難想像，但是我們已經生活在了一個四維時空，我們想像三維空間+一維時間是沒有問題的。我們也可以暫時先把時間當成w方向處理。把每個三維圖像在w軸方向發生的變化從腦中過一遍。

然後再把時間當成x方向處理，想像圖像在x軸的變化，描繪出每個yzw三維膜內的圖像。

yzw三維膜是指，2維空間平面和1維時間組成的三維時空，因為也是三個維度，完全可以放在我們熟悉的三維空間內想像。舉個例子比較好理解。比如一個蘋果，xyz空間下是我們最熟悉的一個近似球體，而它在yzw空間里，是一片蘋果切片跟隨時間發展的變化，由長大成熟到腐爛，形狀近似圓柱。如果這個蘋果被吃了，那麼每一口都相當於銷去圓柱的一大塊，形狀看起來比較像迪拜塔。

如果對yzw三維膜想像有困難，可以具體觀察下面這三個時空圖：

時間取幀疊在三維空間的跑步：

三維空間加時間形成的四維球：

太陽系在四維時空中的運動軌跡：

螺旋看起來是三維的，那是因為太陽系接近平面，可以看成是二維空間加時間形成的三維

1.3 構建你腦中的四維球

想像你有透明的200張紙，每張紙厚度是0.01，如果在每張紙上面畫出不同大小的球體。

繼續沿用之前四維球的方程x2+y2+z2+w2=1；將書的厚度代入w，得到方程關於xyz的解。

第1頁是一個點，往下翻能看到越來越大的球，第50頁是半徑√2的球，第100頁是半徑1的球…按頁數對應的值畫出不斷變化大小的200個球在這些紙上。這時便在一本三維書上畫出了一個四維球。

熟練之後請你把所有時間發生的200個三維圖像同時在腦中印象，你就能體會到四個互垂直的方向。
還記得之前說的經過任意一點必定有四條相互垂直的直線嗎，沒錯，根據這本三維書的四條坐標軸。經過任意一點，你都能找到這四條直線的位置。你發現你打開一個新的世界，一個由無限個本身就是無限的三維空間構成的四維空間。
你要不斷的琢磨並想明白每條線的垂直關係。

有一個可怕之處在於，完整的四維球由無限多個球體組成，而不是200個，但你要知道的是，想像無限只是讓這一切變得平滑連貫。

當你腦中有一個三維球時，裡面已經包含了無限的圓，而一個圓里也有無限條線和無限個的點，想像圓並不是什麼難事，你的想像力早已超越無限，要做的，只是突破下一個無限。

於是映在你腦海中的，是一個四維球

你在腦海中，擁有了四維的視野，

如果沒有理解，沒有關係，這不是一時半會兒能搞定的。細想一個住在平面國的人，永遠也接觸不到第三維空間，你會怎麼和他解釋？試圖用相同的辦法說服自己。

我下面簡要的畫一個四維球，把這個球在所有坐標軸形成的平面上重疊的部分（也就是圓，四條軸交錯形成6個面）也畫出來。
為什麼要這麼做呢？
因為當我們簡要的畫一個三維球時，通常把這個球在坐標軸形成的平面上重疊的部分（也就是圓，三條軸交錯形成3個面，用這個方法表示球很形象，因為在平行於這個圓的所有圓裡面，這個圓是最大的）也畫出來：

請把你的手指豎立在上面圖的圓心上，這時你的手指與紙面上的三維空間相互垂直。
我們已經可以很好想像在在紙面上的三維球，這時垂直於這個紙面的新坐標軸就可以看成是第四維度。每張紙都是一個三維空間，每張紙里的三維空間都相互平行

w軸垂直與紙，你腦海中應該深刻印象出3個圓：xw面上的圓，yw面上的圓，zw面上的圓。

加上xyz的三個圓，於是我們便很容易地得到了我們想簡要畫的六個圓以及他們在球面上的平行圓。他的表面大概像這樣：

此圖只畫出了5張紙上的球，因為畫太多畫面就看不清了。四維球擁有6個互相垂直的二維球（圓）和4個互相垂直的三維球。
一個四維球體是由連續的規律變化半徑的無限個三維球的集合，當然，他們各自在相互平行的三維空間，也被稱為：平行空間[注1]。
三維球的表面有經線與緯線，四維球也類似：一個四維球的表面可以看成是無數個緯「球」和經「球」構成，每個緯「球」互相平行，半徑在南北極方向按公式±√(r2-x2)不斷變化：在南極是一個點，在赤道到達最大半徑，再縮小至北極。
這張圖是四維球的表面，在四維空間沒有內外之分。如果你在分清四個方向前以三維視角看此投影，很可能出現誤區，覺得存在內外：

經「球」不止存在圖中投影的表面，而是充滿整個四維球表面（圖畫就是一個四維球表面投影）圖中每個緯「球」的每個幾何相似點的連線都是經線，每個緯「球」的每個幾何相似圓的連線都是經「球」。看到圖中密密麻麻的左右方向的線了嗎，它們都是經線，構成了無數個球體，最外層的經「球」可以通過內層的經「球」旋轉得到，它們是完全對稱的。四維球的經線除東西方向外有另一個方向，這個方向區別於已知的東西方向，當然也區別於南北和內外方向。
圖中的緯「球」看起來被一個經「球」包裹，其實不是的，圖中赤道的緯「球」可以通過旋轉變為任意一層的經「球」。
每個緯「球」上的任意一個圓都是緯線，通過南北極方向的每條每條緯線的經線與其連接都能形成一個三維球。
圖中的每個三維球都是標準的正球體，不存在扁球，看上去是扁的只是因為投影。你看到的那些比較大個的三維球，只是因為你視角垂直它而已，而那些在你側面方向的三維球，因為非正交投影，就變扁了。這些描述有違常識，因為在三維空間內，這種情況不會發生，因為你永遠與你所觀測的三維球同處一個三維空間，於是你必定與這個球的一個圓正交。但是你可以避免與獨立的一個圓正交：你從側面方向看一個圓便投影出一個橢圓。

當你把不斷變化的w替換成不斷變化的x，結果亦是相同。
若仍覺的困難，想像一下一個三維球是怎麼用不斷變化半徑的圓積分組成的。
注意要想像成功，無論如何，請做到這點：勿試圖在三維空間內想像第四維方向（廢話）。

想像篇完，以下解釋理論

Part 2：為什麼四維球可以封閉三維空間？

很高興能不以降維比喻而用微分解釋這件事情:

我們繼續動用剛才畫出的四維球，在 (1,0,0,0)處做一個點，通過這個點，有一個垂直於x軸的空間。接下來我們在每個x2+y2+z2+w2=1 成立的位置（即四維球的表面）作無數點，與球心連線，我們可以經過該點作無數個與連線垂直的空間。因為點是連續的，所以在球表的空間也是連續的。

我們也可以用拓補解釋:

均勻內裹三維空間，使其與其空間外一點保持相等距離，每條測地線都圍繞該點一周後閉合。

我們不難發現，在四維球的表面，存在一個有限但是無邊界的三維空間。

有限是因為這個空間沒有在四維空間上無限延伸；

無邊界是因為這個空間均勻的散布在四維球表面，你找不到這個空間的任何斷層或裂縫。

如果你是這個表面空間的一個三維生物，你永遠都無法逃脫這個封閉，你會發現一個三角形的內角和永遠大於180；即空間存在曲率，因為這個空間的曲率導致其永遠與球心保持相同距離；，任何一條無限延伸的直線都能閉合；往空間的任意一個方向走都會回到原點。除非你能把你的腿沿著不屬於你空間的位置彎曲，產生在半徑方向的行動力。

那麼有限無邊界的空間該怎麼理解呢？

或者說身處這樣一個空間是什麼體驗？

如果這個空間很小，你可以很貼切的感受到。

你就是那個站在自己後面看自己的人；不管你看向那個方向都能看到自己的後腦勺；你可以追著自己的像前進，但是你永遠也追不到，會看到你追的自己也在往前面跑；如果你的手夠長可以往前伸夠到自己的後背，或者夠到前面第n個自己的後背。如果你是這個空間的一條貪吃蛇，你最後一定會撞上自己的身體。

注意你在各個方向上看到的無數的像不是自己的鏡像，他不和你鏡面對稱，而是和自己一模一樣的像。

你當然可以向前摸到自己的後背，找不到有這種圖。為了讓你們體會一下無邊界，還是畫一個給你們看吧~

2.2 克萊因瓶

三維封閉圖形都必定存在內外之分,

而在四維空間中，並不成立

任何封閉的拓補平面，不管是你的籃球還是飲料瓶還是你住著的房間，都有內側和外側。一隻蒼蠅不可能從外面飛到內部而不穿過其邊界。

但在四維空間中存在例外：

克萊因瓶(Klein bottle)[注2]無法在平坦三維空間中存在。他的內部和外部[注3]通過在四維空間的摺疊連到了一起，沒有內外之分。而在三維空間內，瓶身不得不穿過自己的瓶壁，導致上圖的水並不會漏出來。
而當你現在理解四維空間後，我可以很簡單的向你解釋你之前想不通的疑惑，它到底是怎麼摺疊的？

觀察下圖，假設這張圖在zy平面，假設水面在xy平面開始流動（紅）[注4]，x軸垂直於屏幕，y軸平行於屏幕，水面之後可以繞著瓶子走回到自己原來的位置。水面首先沿著y方向前進，向右彎折，沿著x軸旋轉180度回到-y方向（黃），然後「神奇」的穿過瓶壁，到達瓶子外部（綠），再沿著瓶壁走一圈重新回到瓶內（紫）。

很顯然，最難理解的部分就是瓶口是如何不碰到自己而到達自己內部。而剩下的部分和三維空間內的表示完全一致。

我相信大家都能迅速理解下面這句話了：瓶口在將要碰到瓶壁時，向w軸方向彎曲[注5]，再按原來方向繼續前進，在一個平行於我們的另一個三維空間越過瓶壁，再向著w軸折回，回到原來瓶子所在的三維空間，這時候，瓶口就已經越過了瓶壁把自己的內側和外側相連。

如果有困難，請在剛才教給你的三維書上面作畫便可。
這個圖形畫起來比四維球簡單得多，僅需要幾張紙足夠。

要注意克萊因瓶並不是莫比烏斯帶(Moebius strip)的升維版，雖然一個克萊因瓶可以用2個莫比烏斯帶拼接而成。可能有很多人不解。稍微科普一下。

通過上面對方向的分析可以看出，當物體通過克萊因瓶回到原來地方時，並沒有成為自己的鏡像。
克萊因瓶不分內外，而莫比烏斯帶是有內外的，被兩條封閉的曲線封閉。
二維的克萊因瓶可以叫做克萊因帶，至於長什麼樣，就和上面的圖一樣。
三維的莫比烏斯帶可以叫做莫比烏斯甜甜圈，我敢打賭你沒有聽過（因為是我自創的…）。那他長什麼樣呢？

他長的就跟甜甜圈的表面一樣。他是個分內外的曲面拓撲圖形。

為什麼被咬了一口呢，這就是普通甜甜圈與莫比烏斯甜甜圈的區別了，其實它仍然是個連通的圓環，但是部分被摺疊進了四維。

在此處，甜甜圈被切斷，沿著前進的一個方向的一個面[注6]在四維空間被旋轉180°，然後再將兩個斷口連接。

當然，沿著面旋轉在三維空間無法實現:

你從這個被重新連接的斷口上去的時候。你的上下方向沒變，左右方向沒變，但是前後方向倒過來了，從此你變成了自己的鏡像。你好像穿過了一枚鏡子來到了裡面的世界。

以上都是純幾何，那麼四維空間有什麼實際應用呢，宇宙學，廣義相對論，弦理論，M理論都會用到，以下科普一下空間曲率。

Part 3：宇宙存在空間上的第四維嗎

我們最經常用到的是用來解釋空間的曲率，我們知道空間的曲率來自於物體的質量。

類似下面這樣的圖你一定看過很多遍了，這次我們用四維幾何把他仔細研究一下。

首先是橫縱交錯的兩分方向的線，這兩個方向的線在我們空間內。

接著是一串的同心圓，這些也是曲率的等高線。對於同一條等高線，空間的曲率是相等的。

$R+Delta R =sqrt{ frac{3c^{2} }{8πGρ}} arcsin(sqrt{frac{R_{s} }{R} } )$

我們可以用以上數學公式算出來空間任意一處曲率的大小。這時候我們發現物體在空間中的運動可以很形象的解釋。

任何物體總是會沿著曲率更大的方向產生加速度。如果空間平直沒有曲率，就會沿著直線前進或靜止。
相同狀態下的物體運動速度越慢，軌跡往大麴率方向偏移越明顯。運動速度越快，軌跡越直。
物體的運動速度有限，非平直空間軌跡永遠不可能變成直線。當物體的速度為光速時，將其運動軌跡稱為測地線。
時空作為整體；在曲率的作用下，時間的度量也被拉伸。

下面的兩幅動圖很形象的解釋上面第1-3條規律。

http://pic.92to.com/anv/201602/14/hngozsmcaw0.gif

http://pic.92to.com/anv/201602/14/nflueegcjyg.gif
看起來我們可以用其解釋時空的在質量各種分布下的運動了，和四維沒啥關係。
但是，如果在三維空間內看待這個問題[注7]。只能解釋某個平面內物體的運動。
而我們空間的質量分布是三維的，物體運動的方向也是三維的。這時候我們再回來看這個問題，我們應該把彎曲放在哪個方向呢？
相信看懂這篇文章的你，已經找到了答案答案。這個方向區別於我們空間的三個方向，也區別於時間的方向。

3.2 我們現在所生活的宇宙，是不是就是一個四維的封閉？

我們目前還不知道，這要取決於宇宙的四維形狀。
廣義相對論認為我們的時空都被質量彎曲，是一個有曲率的時空，相對於牛頓的平直時空，如果要將空間的曲率在直角坐標系(Cartesian coordinate system)中畫出，必須需要多一個方向的坐標軸。我們把這個彎曲的三維空間稱為三維曲面；我們把這個三維曲面在四維空間的形狀稱為宇宙的形狀(Shape of the universe)。
我們目前不知道宇宙在四維空間是否無限延伸。宇宙的形狀是大體上空間的曲率決定的，曲率小但是範圍廣，不同於質量星體所造成的小範圍大麴率。
測量空間曲率就是測量測底線的彎曲程度。找個一個由測底線連成的三角形，然後測量它們的內角和。
如果內角和大於180度，那宇宙是個三維球面；
如果內角和等於180度，那宇宙是個三維平面；
如果內角和小於180度，那宇宙是個三維雙曲面；

只有第一種情況，宇宙可以有限無界。

另一條垂直於此屏幕的空間軸沒有被畫出來

根據我們目前的測量結果，看起來仍是平直的，但是物理學家仍未下結論。因為這個參照的三角形的大小要與四維球體具有可比性才能發現空間的不平坦（比如在地球上，至少要畫出千米級以上的三角形，才能測量出內角和&<180度）。很可能原因是我們所觀測到的區域太小。當半徑相對無限大時，四維球的表面可以看成平直空間。

3.3 如何在四維空間理解蟲洞？

如果你能接受以上的理論，而且對曲率和曲率的極限奇點（請參考我對於奇點的解釋：現實世界有哪些 Bug？ - 視限的回答）也有充分認識。我可以在四維空間幫助你理解蟲洞。

希望你在理解四維之後，更了解蟲洞。

蟲洞是因為質量，能量和暗物質帶來的或宇宙自身的曲率彎曲形成的時空與自身連接的拓補結構。

蟲洞並不是你在別的地方看到的示意圖那樣，蟲洞的三維示意圖不能直接按照他所展示的理解。

有很多類似這樣的圖片，來展示蟲洞，這些圖片的錯誤之處在於把飛行器放到了蟲洞的中間。真實情況是，蟲洞的「牆壁」就是我們生活的空間，圖片沒有畫出其中一根我們的空間坐標軸，用之前加維的方法想像出少掉的坐標軸。畫中蟲洞的牆壁就是我們所在的三維空間。飛行器應該在這個牆壁中運動。

大家很可能有個誤區，雖能明確知道蟲洞是一個洞，但洞的結構在四維，你在下落過程中，你周圍仍是無限延伸的空間，不可能看到任何三維形狀的的洞。如果蟲洞穩定，我們也可以在洞壁上停留，除了額外的曲率我們看不出和原來空間的區別。

因為不是這個洞屬於我們的三維空間，而是我們三維空間的彎曲產生了這個洞。

剛才探討過宇宙的形狀，可以發現，一個Ω0=1的宇宙，蟲洞很難連接這個宇宙的兩個位置，空間需要彎折超過垂直。

蟲洞更容易在一個Ω0不等於1的宇宙可以把兩個空間的距離拉近。

蟲洞的形狀不一定規則，它可以是複雜的拓補學結構。

http://zh.arslanbar.net/Files/PictureBase/458/458_120_20110514172619_608845320.jpg

如果宇宙是個三維曲面，三維曲面有兩個點曲率無限向垂直曲面彎曲（奇點），則這兩點的空間有可能相連。但這個時候出現的蟲洞，是兩個黑洞。即使你能從一邊進去，但不能從另一邊出來，因為另一邊的光錐向內，不允許你往外走。如果要讓時空穿梭實現可行性，時空彎折不可以太劇烈，至少光錐不能偏向時空的一側，需要將小部分的高曲率分攤到周圍的空間。使物體至少在蟲洞另一端可以離開。如果宇宙有類似這樣的在連接自身的四維拓補結構，理論上時空穿梭是可行的。

註：

物理上的平行空間一般指時間方向上的平行
四維空間不存在沒有厚度的三維物體，這裡假想克萊因瓶在第四維方向上的厚度為無限小。
實際上並沒有瓶外瓶內之分，暫且把圖內「三維封閉」的空間稱為瓶內。
如果把克萊因瓶放入四維空間，水會直接沿著w軸方向撒完（即使水在三維意義上的瓶內），因為在w軸方向沒有任何物體阻攔著水，這裡假設水面流動時一直「粘」著瓶壁。一個能裝住水的四維「水瓶」是一個三維球殼沿著第四維方向運動形成的連續「球柱」，再以一個實心三維球封底。能否將此三維球柱的內外連接？不可以，這種「超克萊因瓶」連接只能在五維空間進行。
6. 四維空間中的彎折或旋轉必須繞著一個面進行。可以通過數學方法證明。
假設一個四維物體在旋轉。而且該旋轉與x軸對稱，則此物體上面的每個點必定繞著x軸作圓周運動；而此物體作為一個整體，所有在他上面的點的運動只能朝向同一個方向。則這個點運動時必定在以下平面中的其中一個之中：yz平面，yw平面，zw平面。假設此點在yz平面運動，則此四維物體在xw平面上的點不發生位移，即圍繞xw平面旋轉。
要想像四維旋轉也很容易，比如說想像繞xw面的旋轉，只需要保持w軸方向不變，同時想像很多張三維膜上的物體繞著x軸旋轉即可。

7. 四維物體在五維時空中運動。

知乎處女答，部分圖片來自網路，說句題外話，自己當了一遍答主才理解各知乎答主的不容易，要把自己知道的知識解釋恰當給所有人聽並非易事。本人以後看到好答案後會更傾向於給答主點贊，因為這是不但是給每個答主的小小鼓勵，讓他們就更加有動力去答題，也是個讓普通知乎用戶受益的反饋機制（後來發現有些被自己點贊的人也會過來看看你，也算是種互動吧）。我們不是也期望去看到更多好答案嗎。有建議和問題歡迎提出，我感謝你們的每個意見，不論好壞，都可以幫助我改進答案，提升各位的體驗，這是大家都希望的。我也很希望在知乎這個不錯的平台與大家作學術討論。

Why hesitate to make Dost Thou Know a better place？

圖片素材兩張自製，其餘來自網路。

轉載請聯繫。來自某三維生物的腦洞 / 2016 Apr. 3

後記

剛來知乎一周就能受到這麼多的關注，答主很是感動，一直在關注評論。各種有新意的降維類比，無限遠磁感線的四維閉合和降維打擊什麼的，你們說的都很精彩，也讓我知道了有三體這麼一本有趣的書，我這就去看。能和大家有精彩的學術討論，了解到新知識。一直是我所希望的，有任何什麼腦洞，請發表。我就是喜歡有想法會思考的人。

寫給評論里有希望了解四維球結構但遇到瓶頸的。

請注意想像四維球是有門檻的，如果你不理解四維空間，應該去想想四維空間最基礎的形狀。

人類如何感受四維空間？ - 視限的回答或許能解答你對於的疑問。

發現評論里很多人把四維球想像成了糖葫蘆或者像下圖這樣

區別是四維球上每個三維球邊界的連線也是一個三維球，而這裡得到的是直線

這是一個「在三維空間呆多了「的人很容易進入的一個誤區

試圖在三維空間中想像四維空間，這是不可能的，包括任何人包括我。

能想像的只能是四維在三維的切片或投影。

想像四維空間首先要找出第四維的方向，否則想多久都沒有用。

然而第四維空間的方向又必須要在第四維空間中想像，就這樣進入循環。

要走出這個循環，需要在腦中拓展出一個新的坐標軸。這也是為什麼我一直說要把三維空間看成三維膜的原因。因為任何一個三維物體都沒有在w軸的厚度。這厚度不在我們的三維空間，w坐標軸穿過我們的三維空間，而且與我們的空間只有一個交點。

關於五維又是一個新的廣袤世界，五條直線兩兩垂直，裡面存在的物體至少要在五個方向上有厚度。把這麼一個物體投影到三維空間都是是件很麻煩的事，何況我們現在的書寫材料還僅限於平面。
所有想在評論里問我問題的朋友請先看一下本條。可能你在閱讀過程中遇到各種各樣的難題，想像過程中穿不過各種各樣的瓶頸，在提問之前，在你有任何疑問的時候不妨降維思考，不管你問什麼樣的四維問題，我都可以降維反問你。但是要注意這種降維類比也是有例外的，四維的點沒辦法降維，四維的線降到點時有可能得出錯誤的結論，需要你稍加思考。比如四維球的圓周和超立方體的邊長。如果你有任何問題，歡迎來我的值乎向我提問。
還有你們啊，點贊的比收藏的還少，這樣真的好嗎。。請給我愛的供養！請賜予我無限創作與答題的力量!

數學上說一個流形是「閉」的就是指它是緊緻無邊的

這是個純粹的數學問題，昨天正好剛看了一點兒有關這方面的數學。

數學上研究這種問題的分支叫做微分拓撲，簡單來講大概是一門研究任意維度下性質良好的拓撲形狀和定義在其上的微分結構的分支。首先要嚴格定義題主的問題。我們要考慮的是任意維度下compact and connected topological manifold 一共有幾種類型。零維就是一個單純的點。一維則是圓，注意這裡的圓是拓撲上的含義 (任何與通常意義上二維平面上的圓homeomorphic的曲線都叫做圓）。例如一個打結的閉曲線在這種意義上也是圓。

二維要更複雜，分為orientable 和non-orientable兩種類型。簡單來講orientable的曲面就是說，在曲面上畫出任一條不自交的閉曲線，你沿著它始終朝同一方向走，在同一點的時候，你的右手必須總是在這個曲線的同一側。常見的曲面例如球面和各種平面圖形都是orientable的。至於non-orientable的曲面，沿著曲線走下去，在同一點的時候，你的右手有可能會處在曲線的不同側。比如 Mobius band, Klein bottle, projective plane.

那在二維的情況下，有多少種滿足上述定義的拓撲結構呢？對於orientable的情況來講，我們可以用一個叫做genius的概念來給它們分類。直觀的來看genius是指曲面上洞的個數。例如球面就是genius-0的圖形，甜甜圈就是genius-1的圖形。所有二維compact and connected orientable的曲面都由genius-n的圖形構成。至於non-orientable 的情況，我們可以由Mobius band和一個genius-n的圖形構造出任意一個non-orientable的曲面 (數學上的術語叫做surgery)。例如Klein bottle可以看做是由一個Torus (甜甜圈）切掉一小部分然後和Mobius band 拼接成的。

(剩下的維度要進行分類的話需要額外引入幾何結構的概念，寫起來有點兒長，先簡要說下，有時間再補完...)
對於三維的情況，我們同樣有滿意的分類情況，它的根基是Thurston提出的geometrization conjecture, 由Perelman於2003年證明。例如其中一類simplely connected smooth compact的曲面則是3-sphere (Poincare Conjecture, 同樣由Perelman於2003年證明）。

四維，這大概是情況最差的一個維度，至今還沒有滿意的對微分結構的分類方式。但是如果僅對於拓撲結構來說，Freedman 解決了simply connected (在流形上任意的閉曲線都可以通過homeomorphic transformation到一個點）情況下的分類情況。至於non-simply connected 的情況，分類很困難，目前還沒有解決。

五維及以上，由於更多維的引入我們有更多的活動空間，使得情況變得更加簡單（出乎意料呢）。對於simply-connected 的情況我們同樣有完全的拓撲上的分類。Non-simply-connected的情況依然十分困難。

以上內容主要參考自Taubes IV.7 Differential Topology, The Princeton Companion to Mathematics.
想要仔細了解的同學請一定要去看。

好老的問題……預感會被騰騰再次頂火。
1.四維封閉就是四維球，難以直觀畫出，就像二維生物(如果有的話)直觀展現不了三維。但是可以代數展現為:{(x,y,z,w)|ρ2≤R2}，其中ρ2表示到圓心的距離平方，為:ρ2=Δx2+Δy2+Δz2+Δw2。
tip:注意ρ的定義必須滿足一個條件，改變參考系(類比二維或者三維，也就是圖形實物不變，重新畫坐標系統)，不會改變這個值。滿足真實世界的規律——兩點間的距離和觀察者無關。
2.宇宙不是四維封閉空間，因為時間這個維度和空間很不一樣。因為在定義兩點(x1,y1,z1,t1)、(x2,y2,z2,t2)距離的時候，我們發現，由於相對論效應(尺縮鐘慢)，Δx2+Δy2+Δz2+Δt2不是不變的，而是會依賴於觀察者的速度，所以這不適合於定義實際中的四維距離。
3.我們發現，現實中不變的量是:ρ2=Δx2+Δy2+Δz2+(icΔt)2，(c為光速，i為虛數單位)尺縮和鐘慢效應相互抵消，這就是四維空間中的距離定義。按照之前的說法，與某點距離相同的點組成的是類似雙曲面的東西，沒有圍出封閉空間。
4.如果強行定義時間和空間一樣性質。問宇宙的歷程是不是和其上四維球一樣的先從點開始快速膨脹然後速度放慢開始收縮再回到點。我可以回答一個觀測結果:目前宇宙的膨脹速度是在逐漸加快的。

x^2+y^2+z^2+w^2&<=r^2

偏振或不偏振的光子

一日囚

我不是這方面專家，只是看過類似的介紹。我有個比較通俗的解讀方法供你參考：
想像一下我們人做CT
我們人是立體的，但是CT可以幫我們做切片。所有切片的組合就是我們在做CT那一刻的全部三維立體結構了。
而作為我們完整的人生而言，我們每個時刻所拍下的三維全息照片的組合，才是我們完整人生——四維空間的我們的真實寫照。
對結構而言也是可以如此理解：
就四維空間球而言，可以理解為在一個時間段內，在你眼前出現的小球從無到小，到大，再變小到無的過程。整個變化曲線應該和半圓剖面的曲線一樣。

沒人給它命名……但知道那東西在3維空間中投映是兩個重在在一起的球，而不是一個球……

看到這麼多大牛的回答, 又看到提問者這句"這不是一個嚴肅的物理題，我只是希望知道一些科普知識", 就又激發自己民科的一面. 呵呵....

以下純屬無稽之談, 求摺疊....

提到四維, 很多人會困惑是四維空間或四維時空, 這兩個有很大的差別. 四維空間是人類根據所見的一維, 二維, 三維從數學角度推算而得的, 沒人見過, 也無從證明. 四維時空也被稱為閔可夫斯基時空是由人類可見的三維空間和人類可感知的一維時間組成的, 我們即生活在其中. 提問者提問時雖然用的是四維空間, 幾位大牛回答時也在講四維空間, 但鑒於很多人都搞不清楚它們的差別, 我個人從感情上也更偏向於後者, 我就按著四維時空來回答.

很多人會覺得四維時空相對四維空間而言不夠嚴謹不夠簡單. 前三個維度都是空間的可見的且相互間存在如正交(任意維度於其它維度成直角)等特性的. 而時間維度與其它維度沒有這種特性. 但我覺得這問題既是人類受自身感官限制所形成的自然世界觀的問題, 而不是四維時空本身的問題. 這猶如古人類難以理解零或虛數一樣, 是自身的問題, 而不是數學的問題.

提問者提到"宇宙的形狀", 多數人認為我們看到天空中的某個恆星是一個三維空間物體, 但其實它是個四維時空物體, 在你看的那一刻, 它也許根本不在那兒或根本已經不存在了. 相對宇宙, 人類太渺小, 我們日常視覺範圍所形成的世界觀對於宇宙這個尺度來說是不準確的或有問題的. 小時候我們總問父母或老師宇宙外邊是什麼? 就是因為我們還在用三維空間來思考宇宙的形狀.

提問者提到"完美封閉", 我不知道這個詞從何而來, 但我的頭腦中一直有這樣類似的一個概念, 我叫它"不可超越的特例". 二維空間中, 當周長確定時, 面積最大的是圓. 這是不可超越的. 四維時空中, 當間隔時間確定時, 位移最大的是光. 這是不可超越的. 三維空間中, 當表面積確定時, 體積最大的是球. 這是不可超越的. 長度是一維空間重要特性, 是一維坐標系X的動態結果, 周長是長度的特殊一種. 面積是二維空間重要特性, 是二維坐標系XY的動態結果. 表面積是面積的特殊一種. 體積是三維空間重要特性, 體積和三維位移和都是三維坐標系XYZ的動態結果.速度是四維時空重要特性. 說這麼一大堆都是希望可以解釋在不同維度中都包含了一個特別的特例, 圓是一維空間到二維空間的特例, 其圓周線在一維空間中是無頂點循環的, 在二維空間中不可突破的最大面積. 球是二維空間到三維空間的特例, 其表面積在二維空間中是無端點循環的, 在三維空間中不可突破的最大體積. 光是三維到四維時空的特例, 光子是波色子在三維空間中不遵守泡利不相容原理, 光速在四維時空中不可突破的最大速度.

說到這兒, 我已經回答了提問者的問題. 但很奇怪, 我找到的光是沒有形狀的或說其是波粒二象性的. 我們在三維空間尋找光子, 在四維時空尋找光波. 這猶如構成圓的線在一維空間它是條線嗎? 是啊! 只不過它彎曲封閉了, 一維空間生物永遠找不到它的盡頭, 一維空間的小朋友會問父母或老師線的外邊是什麼? 構成球的面在二維世界它是個面嗎? 是呀! 只不過它彎曲封閉了, 二維空間生物永遠找不到它的盡頭, 二維空間的小朋友會問父母或老師面的外邊是什麼? 提問者問宇宙是不是個完美封閉, 我不知道完美封閉是什麼, 但從相對論而言我們無法超越光速也就無法找到宇宙的盡頭, 宇宙是個完美封閉.

p.s. 其實可以說我們處在二維時空, 一維空間 ( x, y, z .... 多維空間 ) , 一維時間 ( t1, t2, t3 .... 平行世界 ) . 我始終認為對維度的研究, 無論是空間維度或時間維度, 都將對未來的物理學與哲學有很大的推進....

可以三維宇宙理解為四維超球體的表面。
所以宇宙是有限無邊的封閉系統。

科學家們對我們已認知的維與可能存在但未被認知的維之間的區別是如何解釋的呢？
他們打了一個比方：一隻螞蟻在一張紙上行走，它只能向右或向左，向前或向後走。
對它來說高與低均無意義，這就是說，第三維的空間是存在的，但沒有被螞蟻所認識。

我們的世界是由四維構成的（三個空間維，一個時間維）。
大多數人生活在三次元也就是現實空間，他們不關心歷史，不了解歷史，只關心自己的當下。

先認識自己
自己是否是一個活在當下，關心當下人。
如果是的話，那麼不過就是一個在紙上到處找食物的螞蟻。
因為你們還沒達到無我的境界
只有達到無我的境界，才能跳出自我，用第三者眼光去看待這個世界。
這世界有人就會發現，人們不過是白紙上的螞蟻。
這時候腦中就會產生一種【事象地平線】的現象

視線從到處找食物螞蟻的視角，變成了一個被拉伸、拉遠視角。
先看到的是自己，隨著視角被拉伸，就會發現自己所處的環境。
看到的不再是一種到處找食物的螞蟻看到的蒼白世界。
而是發現了，自己不過是白紙上的螞蟻。
如果拉的夠遠的話，就可能發現，那張白紙所在高度。
發現人類是一張白紙上的螞蟻后
第二步，就是加入時間維。
也就是那個螞蟻，以前所走過的路線。

神話，其實就是一個高緯度故事（四維構成融入了五維度）
（三個空間維，一個時間維，對五維度的憧憬與想像）
這也就是為什麼，很多人看不懂神話的原因

而動畫，電影是一個用低緯度二次元視角去訴說一個三元次故事
當然，也會加入時間維度，不過這個時間維度往往都是架空真實人類歷史的時間表。
掌握大量知識和思想思考的人
很容易就能從動畫，電影（低緯度）里發現問題
不過，他們在裡面參雜里很多變味的東西
會混交大部分人的視線和判斷結果
而很多神話最終的夙願就是達到五維。
但神話的基礎確實是四維，只是有融入了對五維的憧憬與幻想。

現代的動畫、電影是二維的，跳躍現實的三維，到四維（不過進入四維後時間線也是架空和混亂的）來講故事的。所以，裡面就會有很多變味的東西。

三維(超)曲面

四維空間里有沒有封閉概念都還都兩說。

我來放視頻，從一維到十二維
http://www.tudou.com/programs/view/UNwCiGoqqwE/

想像出一個四維的球並不複雜，也不需要太多的數學知識。

假設時間單位秒，與空間單位米等價，那麼我們均勻的吹一個氣球到一定大小後，再均勻放氣的整個過程的氣球內的空間，在xyzt四維「空間」中就是一個「四維球」。至少是一個「四維橢球」。

我們知道球在xyz三維空間中的任意一個軸的切面，都應該是個圓。
同理，我們這個「四維球」，在xyzt「空間」的任意一個軸的「切面」，也應該是個球。
證實下我們的猜想：

在t軸上做這個「四維球」的切面，即在吹球過程中的任意時刻採樣，均會得到一個三維球。

在x軸上做這個「四維球」的切面，以球心位置為例，得到的應該是過球心且與x軸垂直的平面，與氣球表面相交的一個圓的從無到大再到無變化過程，我們把這個過程在三維yzt空間中畫出來，好像也是個球。

其他軸的切面同理。

藉助人類對時間這個維度的感知能力，「四維」空間的有些東西還是可以理解的。
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思考題：如何藉助時間軸理解克萊因瓶？

一部電影告訴你～
四維空間封閉《恐怖游輪》
五維空間封閉《前目的地》

好，我們簡單地討論一下這個答案，討論一下純幾何的高維空間。

答：二維空間的封閉叫圓，三維的封閉叫球，那麼四維空間的封閉——可以想像成「克萊因瓶」。因為我們能想像的是它在三維空間的投影，所以具體形狀細節不用細究，呵呵。

很簡單，把三維空間之外多加一個變數，「正，反面？」，來做成一個四維空間。當然，我們生活在幾何上的三維空間，所以我們在三維空間能想像（看到）的四維空間的基本的對稱的形狀，未必是看起來對稱的。三維空間的人看到的四維空間的東西，應該都是個四維向三維的投影，呵呵，所以顯示其對稱性的基本量變化了，就變得不對稱和美了。

「封閉」這個詞可以這樣理解，二維空間（白紙）中我們要畫一個圓，可以不破壞邊界，從無窮遠縮小得到一個圓，而不會碰到它的內部；三維空間我們要得到一個球（而不是指球面），也可以把任意泥巴捏成一個球，而不會碰到它的內部；那麼，四維空間內呢？我們自然地可以得到一個克萊因瓶，而不會碰到它內部。而，這在三維空間中是不能實現的，要製作一個克萊因瓶子，必須穿破一次它的表面，做一次曲面邊界的連接，呵呵。

如果無法想像，可以再藉助一下「莫比烏斯環」。「你可以把一條紙帶的一段扭180度，再和另一端粘起來來得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有一莫比烏斯帶、一個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿著它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶-莫比烏斯帶（當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。」

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幾何上四維的空間，從三維延伸作簡單地假設，可以認為它類似三維空間，不過不是處處性質相同的。在某些區域，空間可以扭曲，可以摺疊，可以變形，呵呵。這些特殊性質的區域，可以看作「蟲洞」（而並不等同蟲洞）。

因為多增加的一維變數的選擇不同，所以每一個人假設的四維空間都可能不同，但是最終它們都會在更高維的空間中得到統一的解釋，呵呵。以上只是我假設的四維空間，多了一個「正，反面？」的變數，你的四維空間可以不一定是這樣的。