音樂與數學之間的關係是怎樣體現的？二者又是如何相互影響的？

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比如古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯是單弦琴（monochord）的發明者，提出了以其名字命名的和弦（harmony）理論，並被認為是音高比例的發現者。
查了一下相關資料，發現數學與音樂之間的關係是西方較熱門的話題，能否有了解者淺談一下二者關係及相互作用發展史，若能推薦相關讀物資料更佳。
如有指教，不勝感激。
看了幾個答案，覺得描述有不妥之處，特將「密切」刪去。
本問題關注點在於「數學與音樂兩個學科如何互相作用影響」不在於「數學與音樂兩個學科在某個體上的影響的具體表現」

轉載一個師兄的文章. 文章的出處為: 律學小記 - 弦樂四重奏, 作者為鮮於中之.

===以下是正文===

律學小記

最近看到不少人人好友轉發一篇關於「數學和音樂之關係」的日誌，大致涉及到了（例如鋼琴琴鍵的）音高應當如何確定的問題。可在我看來，此文就關鍵問題只是隔靴搔癢，並未切中要害，且行文並不明凈，難以卒讀。可另一方面，我相信，諸如「音階的高度應如何確定」這樣的問題，對於和我一樣有理科背景的音樂愛好者來說，是極富趣味和吸引力的。於是有了寫這篇小文的想法。我自然不是專家，對這些問題的些許知識，僅限於此前讀過的一點律學書。好在律學，就其基本內容而言，並非高深的學問。有理科背景的讀者若想明白這些道理，應該是易如反掌的[1]。

簡言之，本文要討論的內容大致起源於這樣一些樸素的疑問：

為何是十二平均律？亦即，一個八度內的音何以需要（按等比數列）作12等分，而不是10等分、或者13等分？
為何要在12個半音音階內選出特定的一些音級，以構成大調音階、或者五聲音階？這種選擇是純然基於文化習俗、還是另有物理的原因？
何謂諧和的音程？為什麼純五度諧和而增五度不諧和？更尖銳地：為何小三度諧和而增二度不諧和，即使它們依十二平均律是相等的音程？再一次：諧和與否的判據，在何種程度上基於習俗的約定、何種程度上來自物理的考慮？
據Pythagoras學派說，和諧音程的諸頻率具有簡單的整數比。但是十二平均律的12個半音級中，任何兩個音的頻率比都是無理數。這如何解釋？

這些問題的答案，有的很容易想到，另一些則未必。同時，這些問題也相互關聯。我並不試圖在下文完全回答它們，而只是簡單地展開之。

讓我們以一些老生常談開始。具有固定頻率的單頻諧振動，被人耳反應為一定的音高。例如，A4音（舊稱a1）的頻率通常約定為440Hz。實際上，樂器很少能發出單頻諧振動，而往往是在一個較強的單頻模式上，疊加若干較弱的高頻模式。這裡，頻率最低、幅度最大的模式，我們稱之為基音，而其上較弱的高頻模式，稱之為泛音。當泛音的頻率是基音的整數倍時，它們就不易為人耳所單獨察覺，而是起到修飾音色的作用，其總的效果是，我們聽到了一個具有固定音高（等於基音頻率），同時具有特殊音色（由泛音頻譜決定）的樂音。在這方面，弦樂器和管樂器都是典型的例子。反之，如果在基音上方疊加的高頻模式並不是基音頻率（基頻）的整數倍，我們的耳朵通常就不會聽出固定的音高，從而將其識別為噪音（這裡並非在噪音的日常意義上使用之）。典型的例子如各種打擊樂器[2]。

人耳對頻率的響應，如同對響度的響應，具有對數的模式。所謂相等的音程，是指頻率比的相等而非頻率差的相等。所謂八度，是指頻率比為2的音程。如此一來，只要確定一個音的頻率，其上下八度間隔的各個音的頻率也就確定了——無非是乘以2的整數次冪[3]。請注意這裡的邏輯：我們為行文方便計，將2倍頻定義為「八度音程」。至於「八度」，則來自大調音階的約定，並無特殊的理由。而為何是大調音階，確是有待回答的問題。

只有八度音程的音樂自然是過於單調了。我們仍需在一個八度之內添入新的音。這些音的頻率該如何指定，正是我們現在要解決的問題。

為敘述方便，讓我將頻率的單位取為八度之內第一級音的頻率。如此一來，一級音的頻率就是1，而其上八度音的頻率就是2，其下八度音的頻率就是1/2。

另一個重要的約定是，由於此後我們只關心一個八度之內的音，所以將相差若干個八度的兩個音視為等同。換言之，我們將頻率模掉2的任意整數次冪。這樣，我們所關心的頻率只在1到2之間取值。例如，前述的自然泛音列具有頻率 (1, 2, 3, 4, 5, 6, …)，按照此處的約定，它們在一個八度內所對應音高的頻率就是 (1, 1, 3/2, 1, 5/4, 3/2, …)。當然，這並不單純是約定，而和人耳的聽覺特性有關。否則，我們就會問，為什麼要模去2的整數次冪而不是，比如說，3/2的整數次冪？一個可能的回答是，2倍頻處於自然泛音列的第一級，在所有泛音中，其響度通常最大。這種與基頻長期的共生，大概會使我們的聽覺傾向於將這兩者視為相同的音。

如此一來，可以立即依定義寫出十二平均律中各音高的頻率值，如下圖：

這圖一目了然：十二平均律即將八度音程（2倍頻）按等比序列作12等分。

由此我們立即明白，十二平均律的明顯好處，就是「平移不變性」：將八度之內任意音重新認作第一級音，則其上八度之內的十二個音的間距（在等比例的意義下）仍然不變。這對音樂的移調自然是重要的。

為了以下行文方便，我們在此借用十二平均律的好處，將其半音音程（2的十二分之一倍頻）按等比例作100等分（或者乾脆，將頻率取對數然後作100等分），並將其中的一份的音差（即2的1200分之一倍頻）稱為1音分（cent）。如此一來，十二平均律的每個半音都是100音分，每個全音都是200音分，而八度則是1200音分。音分和頻率的換算公式，這裡就不詳列了，因為實在是很簡單的算術。

此刻我們立即遇到之前提到的兩點疑問：一是，為何是12平均律，而不是隨便的13、14、15平均律？——如果我們想到任何「平均律」都有平移不變性，都適合移調，那麼這個問題就很突出了。二是，12平均律的任何兩個音的頻率比都不是簡單的整數比，我們為何會聽到和諧的旋律呢？（比如，請試聽Bach平均律鍵盤曲集第一卷的C大調前奏曲[試聽][4]。）

這其實是相互關聯的兩個問題。音樂的奇蹟，律學的糾結，都在於此。其答案，一言以蔽之，就是如下約等式：

$2^{7/12}simeqfrac{3}{2}$

二分之三，顯然是自然泛音列第二泛音與第一泛音的頻率比，這樣簡單的整數比，按照Pythagoras學派的看法，當然也依照我們耳朵的意見，是諧和的。另一方面，十二平均律的第八級音，2的7/12次方，與之僅有2音分的差別（即五十分之一個半音）。這微小的差別基本無法為人耳所分辨。因此，十二平均律的純五度（即700音分），應當是足夠諧和了。

那麼其餘各音呢？為理解之，這裡考慮另一種「有理的」律制。其出發點是：既然「7個半音」很接近3/2倍頻，那麼不妨就取7個半音的音程為3/2。又因為7與12互質，所以可取3/2倍頻為生成元，上下行逐個生出十二個音。如果取C音為第一級音，則向上，我們依次得到：

G, D, A, E, B, #F, #C, …… ;

向下依次為：

F, bB, bE, bA, …… .

這樣，每個音的頻率都是第一級音的有理數倍。比如，上行序列前七個音的頻率為：

$frac{3}{2}, frac{1}{2}left(frac{3}{2} ight)^2, frac{1}{2}left(frac{3}{2} ight)^3, frac{1}{4}left(frac{3}{2} ight)^4, frac{1}{4}left(frac{3}{2} ight)^5, frac{1}{8}left(frac{3}{2} ight)^6, frac{1}{16}left(frac{3}{2} ight)^7.$

下行同理可得。這種以純五度為生成元生出各律的律制，習稱為五度相生律(circle-of-fifths system)。

顯然，在五度相生律的生律序列（而不是音高序列）中，距離第一級音（比如C）愈近，則愈諧和。所以，G、F都可與C構成諧和的音程，而#C、bA就不可。依照這種邏輯，我們大概會覺得，構成大三和弦的第二級音（如C-E-G中的E）在生律序列上離第一級音過於遠，以致大三和弦不如我們期待的那樣諧和。一種解決的辦法，是在純五度=3/2的基礎上，引入大三度=5/4，用這兩個生成元同時生律。由之而得的另一種更複雜的律制，習稱純律(just intonation)。此不詳述。

五度相生律有一個獨特的性質，在十二平均律是沒有的。那就是，如過我們按照上下行生律序列繼續下去，就會發現，#C和bD並不是等音。實際上，#C比bD高24音分，約合1/4個半音。這似乎有助於理解，為何小三度諧和而增二度不諧和：因為在五度相生律的生律序列中，bE距C較近，而#D距C則遠得多。

你也許早就看出五度相生律的麻煩了：它的生律序列，無論上行下行，在生完12律之後，並不閉合。同時，在這種律制下移調，也是蠻複雜的問題，不若十二平均律那樣簡單。有趣的是，西方音樂和中國音樂對律制的探索，都以五度相生律始，最終都達至十二平均律。現在，十二平均律公認的最早提出者，是明代的朱載堉（1584年）。

關於十二平均律，我們尚未回答的問題是：除了純五度，十二平均律其餘各音的諧和性如何？既然我們已經有了一種「有理」的五度相生律，那麼不妨將這兩種律制中的每個音逐個比較，以見其差別。你大概早已想到，這差別的音分值按生律序列成等差數列，如下圖所示。

此圖的縱坐標是音分值。可見，兩種律制最多不差15音分，略大於半音的1/7。所以，十二平均律的和諧性，大概不是嚴重的問題。

最後，我們回到本文一開始提到的問題：為何是十二平均律？

我們已經看到，如果從五度相生律出發，去尋找一種具有周期性和平移不變性的律制，大抵會找到12平均律，而不是別的。但這並不意味著十二平均律是唯一可能的平均律，換言之，在其它平均律中，我們也常能找到與（比如說）純五度相近的音程。

A. Schoenberg用自然泛音列來說明十二平均律、大調音階，以及半音音階的由來[5]。按照他的說法，基音（比如C）上的前六個自然泛音，加上其上屬音（即基音上方純五度，比如G）上的前六個自然泛音，以及其下屬音（基音下方純五度，比如F）上的前六個自然泛音，除去冗餘的音（即模2的整數次冪相等的音），即得大調音階。（請讀者自己驗證。）這就是為什麼要在12個音中選出那7個音（C,D,E,F,G,A,B）作為「白鍵」的原因。

Schoenberg繼續說，如果將基音及其上下屬音上方的自然泛音列從前6個擴展到前12個，就得到了12個半音音階。按照他的說法，就像物理規律挑出了我們聽來十分諧和自然的大調音階一樣，他的十二音作曲法，也有物理規律的支持。這種說法有多少道理，我並不清楚。比如，這種辯護至少也可用於中國的五聲音階。同時，我們還可以懷疑兩點：一是，第七個、以及更高的自然泛音，在通常情況下都極弱，難以為人耳分辨。二是，從第7到第12泛音中的好些音，與十二平均律的半音有相當顯著的差異。比如，基音上方第11泛音合551音分，介於十二平均律的F與#F之間。

事實上，我們完全可以考慮其他可能性，6平均律，19平均律，24平均律，等等。可以想像，這些律制將產生非常特別的調性音樂——至少對於熟悉西方音樂傳統的耳朵來說。比如，6平均律正好對應於八度之內的全音階。一個應用全音階的例子是Debussy的《前奏曲》第一卷第二首的開始兩小節[試聽]。再如，24平均律[試聽]是阿拉伯音樂的基本的生律法。考察其他文化傳統中的音樂，或者考察20世紀以來的各種探索，種類繁多的平均律更是不勝枚舉。

簡單總結之，單從物理的角度看，律學的主要問題是諧和性、周期性與簡單性三者之間的矛盾[6]。十二平均律相當漂亮而平衡地調和了這組矛盾，從而能夠成為一種廣泛使用的律制。

同時我們不應忘記，律制的選擇和差異，並不單純是物理或數學的問題，它同時還受到不同文化背景的影響。我以為，單純從物理規律出發為某一種律制辯護的方式往往是十分可疑的。

另外，人耳對音高的聽辨顯然有一閾值[7]。低於10音分的差別，一般來講就很難聽出了。作為對比，小提琴手揉弦的幅度，通常在50音分左右。在實際操作中，注意到不同律制間的差異有時是重要的。比如，純律和十二平均律可有十幾音分的差異。所以，普遍使用純律的小提琴與使用平均律的鋼琴在合奏時可能就需要注意到這差別。可是，如果離開這些實際問題，單純討論這些相當平凡的算術，就顯得過於學究氣了。

所以我們不妨就此停住。

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[1] 即使如此，仍然得說，我無法像在此前關於物理的日誌那樣，保證這篇文章的專業性。以我有限的經驗看，此類知識性的文章，若非出於本行專家之手，即使可以做到敘述正確無誤，也不易保證純正的品味。所以我請讀者提防這個危險。另外，這篇文章不是科普，我無意為每個術語作花哨的名詞解釋。所以請讀者去wiki自行搜索那些不明白的概念。

[2] 對波動方程有經驗的讀者會很容易理解這一點：管樂器的振動體是空氣柱，弦樂則是琴弦，所以都是一維的。一維波動方程的模式呈等間隔排列，所以高頻模式的頻率自然是基頻的整數倍。與此相對，打擊樂的振動體通常是二維（鼓、鈸），其高頻模式往往不是基頻的整數倍，所以很難被耳朵聽出確定的音高。在軸對稱的情形（如大鼓），請回憶Bessel函數的節點。當然，如定音鼓、編鐘等樂器能奏出近似但不純凈的樂音。這是由於它們的形狀經過了特別設計，接近整數倍頻的模式被特意強化了。

[3] 暫不考慮人耳的聽覺在遠離中頻時的非線性。

[4] 1、Bach的十二平均律鋼琴曲集，依原文Das Wohltemperierte Klavier，本意是為調律良好的鍵盤樂器所寫的音樂，並無平均律之意。但這些遍歷24個大小調的作品的確顯示了十二平均律在移調方面的優勢。2、本文所用各音頻資源均來自wikipedia或IMSLP，以下不再標註。

[5] A. Schoenberg, Style and Idea, Philosophical Library, New York, 1950.

[6] 這讓我們立刻想到另一個非常相似的例子，即曆法學。在那裡，需要調和的矛盾是地球自轉、公轉，以及月球轉動的周期不可「通約」。

[7] 請試聽相差1音分的兩個音首先分別演奏、然後疊加演奏的效果[試聽]。再試試6音分[試聽]和10音分[試聽]。你應當能夠聽出這些細微音差在疊加後形成的拍。你也可以用諸如mathematica之類的軟體試驗更多的例子。

卸腰。

等了這麼久，終於又出現了一個高質量的提問，我也盡量試著詳細地答一下。

古希臘時期關於音樂和比例之間的關係，題主自己也在問題描述中說到了，我就不說了。其實早期的古希臘包括中世紀時期的作曲家和理論家，都是被當做科學家來看待的。早期的音樂大概有兩個大的分類，"music as theory"和"music as practice「，前者從純粹的理論方面來研究音樂，後者是從表演方法的角度來研究。前者的研究，很多都是和數學重合的。

另外，從很多音樂創作技法和觀念上來說，也是和數學有緊密聯繫的。比如早期音樂中時值最開始是以三等分來劃分，後來才發展出兩等分；以及各個模仿聲部之間的比例的確定（早起音樂是沒有我們今天樂譜上的小節線的，所以，音與音之間的時值比例在那時是一個更本質的音樂理論和創作元素）；早期對八度、五度的運用，到逐漸加入三度和六度的過程，以及一直避免三全音的觀念；音樂高潮放在黃金分割點上的技法；另外，一個實際的音樂作品的例子是Dufay的Nuper rosarum flores. 這部獻給佛羅倫薩大教堂的委約作品，其音樂結構中包含了各種影射教堂建築結構的數學比例，比如：talea的6：4：2：3的比例就是教堂圓頂的nave, transept, apse和高度（實在不知道怎麼翻譯-_-）的比例等等。

巴洛克時期發展成熟的各種復調手法，從某種程度上來說也就是數字的遊戲。比如對主題的倒影，逆行和倒影逆行。

整個巴洛克時期、古典時期和浪漫主義時期通用的功能和聲，也是和數學模式緊密相關的。比如V-I(i)就能確立一個新調，或者傳統的轉調都是在近關係調之間轉，或者模進中的「首調模進」和「變調模進」的區別在哪（音階不變或者音程不變），本質上都是長久以來從一個數學的邏輯推導出來的。

20世紀初，勛伯格打破傳統調性體系後，不論是自由無調性還是序列音樂，還是再往後一點的octatonic音樂，都是建立在」音集「(set或者collection）理論上的。這個」音集「，就是把一個音高組合的材料數字化，然後再去用各種方式進行變形和」變奏「來發展。另外，不論是十二音的完整matrix，還是octatonic的音階的移位，還是梅西安自己的有限移位調式，只要涉及到調式或者音階的移位(transposition), 那都是和數學緊密相關的。另外一些音樂創作手法比如新複雜主義，根本性的構思就在於更加多變的音符時值比例，樂譜都是這樣的：

再到後來，當電子音樂發展起來以後，很多電子音樂」創作「的軟體或程序，其本身就是一種編程行為而不是傳統的"音樂創作」思維了，比如Max.總結一下來說，只要是以音程和音階及其移位作為基本的音樂理論基礎和創作素材的音樂作品，都是和數學思維緊密相關的。

音樂中的音程有嚴格的數學理論，一個大調中如果以根音C（do)的頻率為1，那麼其他音的頻率分別為D(re)=9/8, E(mi)=5/4, F(fa)=4/3, G(so)=3/2, A(la)=5/3, B(si)=15/8, 高音do=2，而如果我們從B大調出發就可以得到其他音的頻率：小二度(升do)=16/15, 小三度(升re)=6/5, 三全音(升fa，增四度)=64/45, 小六度(升so)=8/5 ,小七度(升la)=16/9。

不同音之間的協和程度則是看兩個音的最小公倍數，其本質是頻率相合的程度。比如C4 (do) 和C5 (高音do)的最小公倍數為2，是所有音中最小的，它們被稱為純八度，是最和諧的音。其次則是純五度(do 和 so), 公倍數為3。而增四度（三全音）則是最不和諧的音，公倍數為64。和弦的協和程度也可以用最小公倍數比較。

上述都是在C大調的情況，轉到其他調只要把所有音移動相應的音程即可，但是上述演算法在其他調上的音並不和原來C大調上吻合，如轉到D調時D和E的頻率關係為10/9，和原來C調上的9/8不同，這導致各個調的「情感」會有很大差別。為了修正這點，人們採用了十二平均律。十二平均律是指將八度音程按頻率等比例地分成十二等份（注意這裡的等分並不是等差而是等比），每一等份稱為一個半音即小二度。一個大二度則是兩等份。在數學上，一個小二度的頻率比則變成了2的12分之一次方。

下面是原有的頻率關係和十二平均律的比較，可以看到兩者是十分接近的。由於人耳有0.5%的頻率誤差，所以基本聽不出來。

在19世紀，數學家傅里葉證明了任何周期函數都可以寫作正弦函數的和（下圖）（學傅里葉變換的同學傷不起），而聲波正是一種周期函數，聲音的三種品質：音量、音調、音色分別對應該函數的振幅、頻率和分解得到的正弦函數序列（人耳自帶傅里葉變換功能我會亂說？）。現代電子樂的音色大部分都是合成器調出來的，本質上就是對於聲波的各種包絡和形狀的操作，背後有著一套嚴格的數學理論和演算法。

沒有很多時間細答，就不負責地胡亂貼幾個圖挖坑吧。

1. 朱載堉首創十二平均律樂器

2. 泛音與傅里葉（正餘弦）級數分解

3. 巴赫的螃蟹卡農（Musical Offering - Canones diversi super Thema Regium: Canon 1 a 2 (Canon cancricans)）

4. 賦格（注意重複的 Thema 之間五度（四度）的關係）

5. 調式關係（Circle of Fifths）

6. 電子音樂減法合成器原理

7. 畢達哥拉斯音差

推薦書籍/鏈接：
1. 哥德爾、艾舍爾、巴赫 (豆瓣)
2. 萊比錫之旅（附譜例別冊） (豆瓣)
3. Logic Pro 9 幫助文檔附錄：合成器基礎
4. The International Society of Music Information Retrieval
5. Mozart"s Musikalisches Würfelspiel -- A Musical Dice Game for Composing a Minuet
6. Computer music (Experiments in Musical Intelligence)TBC

騷年，看你能問出這個問題，大有前途啊！！
來，跟我一起看這本書吧：Mathematics and Computation in Music
裡面涉及的數學有群論、拓撲、概率論、機器學習，更不用提傳統的信號處理那一大灘東西。

乾貨，上公式：
$y=x imes 2^{frac{i}{12} }$
這是一個在十二平均律中，給定一個音的頻率，算任意一個音的頻率的公式。x代表給定音頻；y代表要算的音頻；i代表半音個數。
不難看出，十二平均律中，一組音被分成十二個，它們之間以等比的關係排列。
為什麼純八度最和諧？
因為純八度差12個半音，i=12，代入一算，x和y剛好是二倍的關係，也就是說，兩者的震動周期是二倍關係，聽起來很和諧。
但未必悅耳。因為純八度的兩個音太像了，一般人會以為只彈了一個音。下面隆重請出和諧又悅耳的純五度君~
純五度相差7個半音，代入公式一算，得1.498307077，近似於1.5，兩者差1.5倍。
1.5倍！這意味著什麼？如果把它們轉換成正弦波圖像的話，你會發現它們周期性相似，一個周期內又有所不同，如梁思成所說，千篇一律又千變萬化，即和諧又悅耳~

呶~手邊沒有畫函數圖像的軟體，autocad畫的，湊合看吧，大概就這意思。

首先，音樂是可以量化的，其次它屬於聲音的藝術，所以一定是和數學有關聯的。

至於這其中的關聯有幾分？我建議多數答主不要以自己淺薄的知識來討論這個問題，當你在討論學科交叉這樣一個高標準的命題時先掂量下自己肚子里的乾貨有多少。

一百多年前的奧運會能和今天相比麼？不能。那時候培養運動員的方式和現在完全不一樣，我們都知道，不少運動員的培養體系裡加入了許多科學因素，科學家加入了這個團隊，用數據來做出評估。

這樣的局面會出現在現代音樂教育中嗎？我認為有可能；但是和微博上某位二流通信專業中年教師觀點不同，這樣的時代還沒有來臨。這其中原因包括：音樂也好藝術也好並非完全競技性的，藝術之優劣有很多套審美標準。

但是音樂所有的審美標準大體上傾向於一套核心──樂音的和諧、節奏的律動、音樂中多方面多個對象的對比與統一等等。音樂不是純粹和諧的，律動不是純粹統一的，有時候我們要去打破它，我們要時常製造緊張然後緩解，需要高潮也需要鋪墊。

那麼音樂與數學有多少聯繫，就目前來看和數學的交叉還並不算多， @大仙不睡覺的答案相當一部份算是人類目前已知的樂音頻率與音樂和諧與否之間的關係，這一部份實際上也屬於律學的範疇。

其餘的部份，音樂本身也不是一門單一的學科，它也包含著很多方面，很多分支。以我最了解的作曲方面為例，大多數時候恐怕以簡單的數理學計算來續寫音符，比如我轉調後要重複主題，比如我要用各種副屬和絃，我要用X連音時計算下這小節還剩下多少拍，我要嚴格地做一個主題逆向或者鏡像時怎樣保證相對關係是準確的，我寫完第一樂段花了多少小節接下來我怎麼平衡這個結構，我用了F調圓號怎麼移調等等。這些作曲中的運算需要太多數學技巧嗎？答案當然是否。

在音樂科技方面，音樂與數學的關聯會更多，比如錄音中涉及到的各種參數，比如音色庫的製作，比如MAX/MSP與Kyma之類的新一代交互音樂計算機語言等等。這些專業在國內鮮有開設的專業（其中多數為錄音專業），大眾知之甚少，在國外它也並非一個成立很久的專業。

演奏與音樂學方面，現代演奏專業的學生整體演奏水平比20世紀初提升了很多，但是尚未耳聞科學測量與數據評估走進了它們的琴房；音樂學方面我偶爾瀏覽過一些20世紀先鋒派的作曲技法的論文，牽涉到一些數學方面的例子，這方面了解甚少。

但是據此可否篤定音樂與數學聯繫很少呢？從當下我們的教學設計來看估計是的，從未聽說過哪個音樂音樂學院要開設高數課程（敝校音響導演專業倒是有這個要求）。但是在未來我並不否認，正如這個答案啟迪我的那樣，在未來不僅僅是數學，諸如神經科學與人工智慧等學科的研究進步才能為我們解讀出更多關於音樂的答案：譜得好的和弦為什麼那麼好聽？ - Owl of Minerva 的回答

為什麼我會提到神經科學？因為研究音樂本質上是研究我們自己，音樂、聲音本身不產生美，它們只是美的誘餌。音樂是不可視的，時間的藝術，這是它獨立於其他藝術形式最本質的特性。在時間的流動中，我們並不是將所有和諧的和絃放在一起依次出現就能有「好聽」的音樂，我們必須要去組合，去設計，去構架。奇怪的是，音與音之間的空隙里什麼都沒有，我們卻對一個音到下一個音產生一種感覺，有時候我們甚至迫切希望某一個音能到某一個音，這就涉及到和聲學中的一個概念──解決，但是它在聲音中是不存在的。和聲學是研究和絃的構成與和絃之間如何排列組合的學科，但是主要研究的內容是後者。所以有這樣不太客觀的一句話──「音樂存在於音符與音符之間」。

和聲學是研究音樂語言之本質的基礎中的基礎，和聲手法跳脫出課本擴大到現實中應用的範圍的話實在是太多了，各種和絃結構，各種排列組合和聲連接的方式究竟和我們人耳，大腦有何聯繫？這是從科學的眼光探究音樂的下一個目標之一；除此之外，人們對音色的感受是怎樣的同樣也亟待研究，目前我們甚至都還沒有看到一本能夠像和聲學、對位法、配器法那樣至少能總結出一定經驗科學體系的教材。如果我們能等到出成果的那一天，再來討論這個問題吧。

音樂系畢業後不忍直視口袋裡的數字

我突然想到以前看過的一句話：

音樂是數學在靈魂中無意識的運算。

嗯，摺疊我吧。

我只知道現在絕大多數樂器都是用的十二平均律。而發明十二平均律的是中國人，明朝萬曆皇帝的叔叔----朱載堉。很早就用珠算的方法把平方根精確到小數點後面20多位，以此來準確的給音階定位。誤差率極小。

音樂能被人理解的本質是數學吧，從表面上看主宰我們的世界的最穩定的東西就是數學。
到了微觀粒子層面，比如原子或者比原子更小的東西，他們的表現和行為就已經無法用純粹直觀的物理或者「現象」來表示了，既無法看見，也無法捉摸，可參見量子物理的相關科普讀物，而數學框架和數字是唯一實在的能夠描述它們的東西：
再舉一個例子，笛卡爾坐標系大家都知道X Y Z軸，用坐標系的好處就是確定一個參考標準，在這個參考標準裡面所有位置都能被唯一的精確定位，實際上古希臘和埃及人都已經開始使用，而笛卡爾證明了所有幾何問題都可以歸結成代數表達，就像我們高中做立體幾何可以用向量法來做。在人類研究高維度空間的時候，幾何就更不起作用了，比如假設我們研究的第四個維度是時間，那麼理論上這條時間軸應該同時和X Y Z成90°，在向量裡面成90°就表示互不相關、互不影響，自己走自己的線路，但是你根本畫不出來一個與另外三個軸都成90°的第四條軸，反而我們的代數能夠繼續表示四維五維六維……
所以人類目前所能感知到最高程度的世界的「本質」，都是數學告訴我們的，更高層次的倘若有那暫時停留在想像層面。有興趣可以了解一下自然常數e和圓周率pai的相關性質，你更能體會到這種「本質」是怎樣的一種感覺。
而至於音樂，一排音階的組成都是按頻率規律能表達的，不過傳輸到腦海里為什麼能產生愉悅感，悲傷感等等呢，那隻能說明我們的神經系統裡面有能識別頻率的結構，並且這個結構在感受到音階頻率刺激的時候倘若符合數字規律則能產生情緒，在音階體系內有高低變化的時候又能產生情緒，歸根結底它識別頻率和運算是高度依賴數學的，實際上就是音高頻率數字的加減乘除。而音樂除了旋律外另一個基礎就是節奏，節奏亂而旋律優美的音樂不能稱之為音樂，這說明大腦裡面還有計時並且檢查計時的功能，一個優秀的架子鼓手，錄下來歌曲如果是三分鐘，則現場演奏可以達到一秒不差。
不過人類目前找不出這麼一個生理結構，但我們可以找到很好的類比，比如人類的出生性別比依賴於概率，斑馬的條紋分布服從數學公式等等，要定義什麼樣的音樂好聽，那麼從本質上可以這麼描述：
大腦里存在著多種可以判定為「音樂和諧」的思維模式，其可表示成數學公式，把聽到的音高頻率輸入進去，再把節奏信號輸入進去，那麼可以得出一段音樂在各個公式下的評分，然後大腦再將這個評分加起來得到一個總評分，形成好聽或者不好聽的概念。這個過程在科學上類似「模糊計算、模糊評價」，即它可以通過計算或處理命題來對一組不明確的數據給出一個高低評價。

《歌德爾艾舍爾巴赫——集異璧之大成》

沒有人說說音樂和代數的關係嗎？其實人最開始掌握的是音樂，然後才是數學。但在學校里人們忽視音樂思維，反而用數學的邏輯反過來看待音樂本身

上述有不少學者講了音高、音頻和數學的關係，補充一點點鄙人愚見，講講音樂與數學的關係：
音樂的最近本組成可歸為：音色、音高、節奏；往作品的緯度描述，還可以進而引入調性、曲式、聲部、色彩等。如果我們不研究那麼深，不可以歸類類同，那我們就先從音色、音高、節奏這三方面說下去。
數學類比：音色=音頻+發聲介質；音高=音頻變化；節奏=節拍時長的變化和組合。
聽一部作品、聽一個聲部，人們直觀的感受是：這個是女聲/鋼琴/小提琴/架子鼓/貝斯……那麼我們先確定了音色。進而極端的說，有一群特工人員用遠程監聽設備確定頻譜，得出結論：這個是一個中年男人在唱歌。他們也確定了音色，（也或者一個老牛在哼哼）
然後，我們會分辨他/他/它的旋律，總會有一個旋律讓人們分辨，無論好聽與否，哪怕是架子鼓，也有旋律可言，因為大家每一個音的頻率不同。音頻不同從而形成高音低音，從而形成十二平均律，進而形成各種音階、大小調式。這個簡單，隨便找一個示波器、校音器、電腦midi設備，哪怕是K歌軟體，就可以測出這個人是否唱准，是否跑調、是否調準音。不同的音高組成能夠形成一條旋律線，就像音樂之聲里唱的，5 1 6 4 3 1 2 ， 5 1 6 7 1 2 1……就可以形成millions of songs。然而只有音高變化的旋律線也是不行的，我們還需要節奏使其規範、有力的表達。
節奏，簡而言之就是音的時值組合，音的長短組合。有了節奏，我們可以做出高速均勻的練習曲，可以寫出軍樂雄壯有力的進行曲，可以變態的用現代爵士、funky去各種solo，同步；我們讓每一個不同音高的音有了它空間存在的坐標。
於是，霎那間，帶有聲音信息的音點、片段有了二維坐標，一切如建築、天體運動、DNA排布一般活動了起來。願意的話，數字化音樂製作其實最直觀的把上述所講的一切都切實規範的表達了出來，那麼我們就找一個Nuendo, logic去做音樂吧，因為數學原理都懂了。但數字化的東西還是卻一點點，是什麼？感情。
感情表達不是寫一個記號就能清晰完成的，每一個失誤都可能早就經典，每一根沒調準的弦也有可能形成鮮明的風格，每一次演奏者腦子裡形成的畫面也會被接收者重新理解，所以感情是不可量化的。
所以，對比春晚，大家可能會更喜歡聽現場演唱的樂隊或者歌唱家；對比完美無瑕的midi製品，大家更喜歡有錯誤和不穩定發揮的bigband；比起按部就班的爵士教程作品，大家更喜歡improvise的soloer。類比來說，音樂更像美術、建築、有其不確定性，以及無法量化的美感和意境。數學可以解釋、可以評論，但無法替代。

在司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到∶「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」在司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到∶「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」

意思是取一根用來定音的竹管，長為81單位，定為「宮音」的音高。然後，我們將其長去掉三分之一，也就是將81乘上2/3，就得到54單位，定為「徵音」。將徵音的竹管長度增加原來的三分之一，即將54乘上4/3，得到72單位，定為「商音」。再去掉三分之一（三分損），72乘2/3，得48單位，為「羽音」。再增加三分之一（三分益），48乘4/3，得64單位，為「角音」。而這宮、商、角、徵、羽五種音高，就稱為中國的五音。

關係肯定是有的，具體是什麼我個數學渣也不知道。但是！！！題主你造嗎！！！大部分音樂生上了大學是不用學數學的！！！！！簡直感動！！！！！

有篇文章可以看看，叫《音樂是數學的奇蹟》。文章把12平均律的律法講的挺清楚的。所謂奇蹟其實是在講某音和其2倍波長的泛音以2^（n/12）「等距」切成12份後能得到一些音，這些音與某音（根音）的頻率比值與「和諧音」的頻率比值契合。並且呢，一旦採用了12平均律，人哪，就徹底自由了，任何兩對音只要間隔音程相同，其和諧的程度就是一樣了。湊調式的時候也就不會有什麼從低往高走好聽，從低往高走不好聽的情況了。嗯，一種弦樂中心主義的視角：）

當然這其實並不是數學的奇蹟，一個呢是四五個接近1的有理數，分布在[1,2]的區間上，把這個區間「等距」剁成十幾份找到幾個相似的值似乎並不是很特別的事；更重要的是數學可沒有告訴你什麼是好聽什麼是和諧，這是謎語。

你注意到了嗎，我們的身邊有很多的魔法師，每天就在你身邊匆匆行過，可以說這個讓我們寄身的世界就是由法師們建立的。沒有飛行的掃帚，沒有貓頭鷹，也不怎麼說abracadabra，那都是麻瓜們的臆想。法師們醉心於神秘對外物也不怎麼感興趣，所以你從沒發現的話也很正常，麻瓜畢竟比不上魔法嘛。當然，你更不要指望他們會配合著穿上法袍，那太麻煩了，法師們都很懶，越厲害的那種越是。坊間一般認為，法師們有四個學派，崇拜我們所在的這圓低魔世界的四種神秘，倒不是什麼格里芬多和斯萊特林什麼的，法師們要直白的多，我說過的，他們都很懶。有觀察家表示，法師們似乎並不互知，流派間又常有愛怨，這加劇了法師群體的沉默。一個常被提起的八卦是這樣的，他們一派人內熱外冷，容易被人誤解，常常幫助其他兩派研習而和另外一派有些誤會和齟齬，一派人喜怒無常痴迷於撩撥所有人的心弦，剩下的兩派嘛，怎麼說呢，只能說習性過於複雜八卦難以描述。這關係，糾結又深刻，迷人又凌亂。對了，我是不是還沒有提那四個學派的名字，他們是數學，音樂，星辰大海與愛。

什麼是謎語呢。謎語是排中律。謎語是AOC。謎語是我從來沒能辨別的大調明快，小調憂鬱。謎語是調性包含的情緒。謎語是和弦無端的悅耳。謎語是編排越來越複雜卻越來越無法共情的琴曲。謎語是《星際穿越》里一群幾百公斤的人操縱了幾十噸的質量穿越光年尺度的距離，又因為一對海馬體杏仁核里幾微克的相互思念，完成了「宏量子」的糾纏和吸引。謎語是《三體》里的光速陷阱讓兩對情侶互換伴侶並時空永隔--不是相距天涯因為他們都在同一個行星的同一個坐標，不是生離死別因為對方的生活還在繼續--而一切都不再相同，每一個個體都只有自己的時空，體會永遠的孤獨。時間把我們暴露在有結構的不確定性中，與音樂形成了某種奇妙的同構。約定著拍子，說好了調性，甚至把曲式都寫在了抬頭，可旋律和弦編排配器依然能帶著你翻飛。潮起潮落，個人的奮鬥，歷史的行程，然後就突然就理解了在還擁有上帝的人類幼年，那種對旋律進行最後回歸主和弦的安全感的執著。

那跟數學有什麼關係呢，關係並不大。數學也許長於刻畫音樂的美和神秘，但尋找和創造美？我不確定，至少經典的作曲法並沒有給他留下太多的空間。常見的音樂里大概只用了算數水平，至多離散數學。比如說我從沒聽過超越數或無理數比例的和弦，什麼派和弦，正弦和弦之類的，沒有聽過各小節時值拍子變化的曲子，比如黃金分割節奏型，多項式時長型小節什麼的。畢竟音樂是美喵聲音的遊戲，聲音是時間和波幅的二維平面，在連續的數軸上有不可數的可能性，已經走過的路，總是不夠多。

可是呢音樂是演奏與聆聽的相合。我們這個時代的音樂繼承了源自西方的記譜法、樂器、樂法、創作習慣、演奏習慣、甚至審美，一種源自古希臘發酵於經院哲學試圖求證上帝追求絕對的審美。這種追求選擇了平均律，讓不同的樂器可以奏出同一個音表，讓不同的聲音和起來讚揚唯一的主。也因為其時的主流樂器，比如鍵琴，不能奏出連續變化的音而不得不有了拍子。要知道在五線記譜法的視野之外阿拉伯人和印度人早就在演奏和吟唱那平均律以外的廣闊天地。所以我們熟知的音樂是一個在振幅和時間兩個維度都均勻離散的舞台。

湊齊了各個元素。再加上像對大小調和弦這樣有數量結構的謎語的偏愛，關於美，一些計算也確實得到了自己的小小舞台。

當今的音樂製作的基礎是數字信號處理，數字信號處理的基礎是數學

音樂是上帝賜給人類最美好的禮物，它讓我們枯燥無味的生活變得鮮活起來。

正如法國作家雨果所說的：

The key to open the treasury of human wisdom are three: one is the number, one is
the text, one is the music.

人類的智慧掌握著三把鑰匙，一把開啟數字，一把開啟字母，一把開啟音符。

然而，音樂與數學的關聯性，其實早在很久就已經被證實，世界上有三大音樂教學法：達爾克羅茲教學法、柯達伊教學法和奧爾夫教學法。其中達爾克羅茲教學法是後兩者的基礎。

達爾克羅茲教學法

由著名的瑞士作曲家、音樂教育家愛彌兒?雅克?達爾克羅茲（Emile Jaques-Dalcroze）創立，主要通過體態律動教學、視唱練耳訓練和即興創作三方面來讓孩子們理解複雜的韻律。

聽到音樂時，孩子們會隨著節奏起舞。通過統一調動其視覺、聽覺、感覺，並隨音樂而動，孩子們會得到完整的音樂體驗，在這個過程中，孩子們也能鍛煉自己的注意力和記憶力。

今天，達爾克羅茲方法的應用遠遠超出了音樂的範疇，廣泛地用於舞蹈、戲劇、繪畫、運動等方面的訓練，而且還被推廣用於音樂治療、殘疾與弱智兒童以及康復醫療等領域中。現在，五大洲都有專門的學校以及培養該教學法的教師。

再來看看古希臘數學家畢達哥拉斯的故事：

2500年前的一天，畢達哥拉斯外出散步，經過一家鐵匠鋪，發現裡面傳出的打鐵聲響，要比別的鐵匠鋪更加協調、悅耳。他走進鋪子，量了量鐵鎚和鐵砧的大小，發現了一個規律，音響的和諧與發聲體體積的一定比例有關。

之後，他又在琴弦上做試驗，進一步發現只要按比例劃分一根振動著的弦，就可以產生悅耳的音程：如1:2產生八度，2:3產生五度，3:4產生四度等等。就這樣，畢達哥拉斯在世界上第一次發現了音樂和數學的聯繫。他繼而發現聲音的質的差別（如長短、高低、輕重等）都是由發音體數量方面的差別決定的。

其實，千百年來，研究音樂和數學的關係在西方一直是一個熱門課題，開普勒、伽利略、歐拉、傅立葉、哈代等人都潛心研究過音樂與數學的關係。在數學公式中，數字和運算符號進行排列組合，通過量上的抽象揭示出客觀世界的內在規律。而音樂是對音符加以排列組合，將自然聲響抽象化，從而表達各種情緒，概括世間百態。可以說，音樂與數學有密切的聯繫，相互滲透，相互促進。

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真的數學好的人學樂理就跟玩似的好多東西就算忘了也能現推出來另外很多音樂上的表現方法都能轉化成數學數學就是一門藝術